Potenza apparente – Teorema di Boucherot

Potenza apparente – Teorema di Boucherot

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Le considerazioni fatte e le definizioni ricavate per la potenza attiva e reattiva, permettono di fare ulteriori precisazioni.

Per quanto visto, ogni volta che in un circuito la corrente è sfasata di un certo angolo φ rispetto alla tensione impressa, una potenza attiva si associa alla componente della corrente in fase con la tensione e una reattiva alla componente in quadratura. In corrente continua, con cos φ = 1 (sen φ = 0), la potenza è solo attiva e le perdite nelle linee dipendono da tale corrente (effetto joule). In corrente alternata invece, in presenza di uno sfasamento, la potenza attiva ricavabile è proporzionale a I·cos φ mentre le perdite dipendono, sempre da tutta la corrente che attraversa il circuito (valore efficace), tenendo quindi anche conto della componente di quadratura I_q = I·sen φ della corrente.

Nella tecnica delle correnti alternate si considera accanto alla potenza attiva e reattiva una terza potenza, fisicamente non elettrica, detta potenza apparente.

Questa, indicata col simbolo P_a, è definita semplicemente dal rapporto fra i valori efficaci della tensione e quelli della corrente:

P_a = V·I

e viene misurata in voltampere (simbolo VA) quando tensione e corrente sono rispettivamente in Volt e in Ampere. L’introduzione di questa grandezza nello studio delle correnti alternate è giustificata dal fatto che costituisce un parametro di grande utilità in talune importanti applicazioni pratiche: ad esempio macchinari elettrici, impianti elettrici, misure, ecc…

Concludendo, un’impedenza o un circuito di determinate caratteristiche che assorbe la corrente I e ai suoi capi ha applicata la tensione V, presenta in generale un certo valore di potenza attiva, reattiva e apparente.

Le relazioni trigonometriche, poi, della potenza apparente (P_a = V·I), della potenza reale o attiva (P = V·I·cos φ), e della potenza reattiva (Q = V·I·sen φ), dimostrano che le tre stanno tra loro come l’ipotenusa ed i cateti di un triangolo rettangolo: il triangolo delle potenze.

Osservando la figura 1 possiamo anche ricavare, dal teorema di Pitagora, la seguente espressione:

da cui otteniamo la definizione di fattore di potenza e, dalla trigonometria:

il rapporto tra la potenza attiva P e quella apparente P_a.

Alcuni tipi di carico (ad esempio le lampade ad incandescenza, i fornelli ed in genere tutti gli apparecchi per riscaldamento costituiti da un resistore) che richiedono una corrente in fase con la tensione, hanno fattore di potenza praticamente uguale a uno: il generatore deve erogare per loro solo potenza attiva.

Altri tipi, come i motori, le lampade fluorescenti ed in genere gli utilizzatori che producono dei campi magnetici, richiedono una corrente sfasata in ritardo rispetto alla tensione, per cui si avrà una potenza attiva ed una reattiva con un fattore inferiore ad uno, e quindi una potenza apparente somma vettoriale delle due.

Il caso di carichi capacitivi, con correnti in anticipo sulla tensione, è in pratica molto più raro.

Ricaviamo ora delle espressioni per le potenze da utilizzare quando conosciamo i parametri di un circuito, o di un tronco di esso. Questo, come sappiamo, è rappresentabile in regime sinusoidale mediante un’impedenza o ammettenza equivalente.

Considerando il primo caso, abbiamo già visto che per la potenza attiva vale l’eguaglianza:

P = V·I·cos φ = R I²

allo stesso modo possiamo associare alle reattanze la potenza reattiva in gioco:

Q = V·I·sen φ = X I²

per la potenza apparente abbiamo quindi:

In altri termini, per i parametri del circuito equivalente serie, possiamo esprimere le potenze sia in funzione di questi sia in funzione della corrente elevata al quadrato.

Considerando il secondo caso (circuito equivalente parallelo) che si presenta quando gli elementi circuitali possono essere descritti da una conduttanza G, da una suscettanza B e quindi complessivamente da un’ammettenza Y, le potenze possono essere espresse in funzione del quadrato della tensione:

P = V·I·cos φ = G·V²

Q = V·I·sen φ = B·V²

La risoluzione dei circuiti elettrici attraverso le espressioni delle potenze sarà compresa alla luce delle considerazioni che faremo sul triangolo delle potenze.

In un circuito costituito da più tronchi (o più impedenze) che impegnano rispettivamente le potenze attive P₁, P₂, P₃… e reattive Q₁, Q₂, Q₃…, la potenza attiva totale P_t è calcolabile come somma delle singole potenze e la potenza reattiva totale Q_t è data dalla somma algebrica delle singole potenze reattive. Questo è possibile perché i vettori che rappresentano sia le potenze attive (P₁, P₂, P₃ …), che le reattive (Q₁, Q₂, Q₃…), hanno la stessa direzione.

Possiamo quindi scrivere:

Pt = P₁ + P₂ + P₃ + …

Q_t = Q₁ ± Q₂ ± Q₃ ± …

La potenza apparente totale P_at, è invece data come somma vettoriale delle potenze apparenti dei singoli tronchi (impedenza).

Possiamo scrivere cioè:

La potenza apparente totale in valore può essere calcolata comunque sempre con la seguente formula:

Le relazioni scritte per le potenze attive e reattive sono ricavabili dai due enunciati di Boucherot.

1. In una rete comunque complessa, costituita da generatori e utilizzatori, la somma delle potenze attive erogate dai generatori eguaglia la somma delle potenze attive assorbite dagli utilizzatori.
2. La somma algebrica delle potenze reattive erogate dai generatori eguaglia la somma algebrica delle potenze reattive assorbite dagli utilizzatori.

Espresso in tal modo il teorema di Boucherot può intendersi come un corollario del principio di conservazione dell’energia.

Questo teorema inoltre stabilisce un metodo di calcolo particolarmente semplice per i circuiti elettrici, in quanto richiede soltanto somme aritmetiche o algebriche. Per tale motivo è sempre consigliabile sviluppare i calcoli per via energetica tutte le volte che ciò è possibile.

Qualche esempio chiarirà quanto detto.

Sia dato il circuito riportato in figura 2. Proponiamoci di calcolare la potenza attiva, reattiva e apparente assorbita e il fattore di potenza complessivo.

La potenza attiva del tronco è la somma delle due dissipate delle resistenze R₁ e R₂. Cioè:

La potenza reattiva è dovuta all’induttanza e alla capacità. Se consideriamo, secondo l’ipotesi fatta in precedenza, di assumere positiva la potenza reattiva di tipo induttivo e negativo quella di tipo capacitivo, possiamo scrivere:

La potenza apparente totale è quindi:

Infine ricaviamo il fattore di potenza complessivo:

Un artigiano vuole collegare a una presa a 220V, 50Hz che può dare sino a 25A, i seguenti utilizzatori:

una stufa da essiccamento 220V, 2kW cos φ = 1

illuminazione, complessiva 220V, 500W cos φ = 1

un motore a c.a. 220V, 1,7A cos φ = 0,8

un motore a c.a. 220V, 2kVA cos φ = 0,7

È sufficiente questo tipo di presa per allacciarvi contemporaneamente tutti gli utilizzatori?

Le potenze attive che possono essere assorbite sono:

P₁ = 2.000 W

P₂ = 500 W

P₃ = V · I·cos φ = 220 · 1,7 · 0,8 = 300 W

P₄ = P_a · cos φ = 2000 · 0,7 = 1.400 W

e complessivamente:

P_t = P₁ + P₂ + P₃ + P₄ = 2.000 + 500 + 300 + 1.400 = 4.200 W = 4,2 kW

Le potenze reattive che possono essere assorbite sono:

Q₁ = 0

Q₂ = 0

Q₃ = V · I·sen φ = 220 · 1,7 · 0,6 = 224,4 VAR

Q₄ = P_a ·sen φ = 2.000 · 0,715 = 1.430 VAR

e complessivamente:

Q_t = Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ = 224,4 + 1.430 = 1.654,4 VAR = 1,65 kVAR

La totale partenza apparente è:

Ricordando poi che:

P_at = V·I

la corrente che può essere assorbita è:

Tutti gli utilizzatori indicati assorbono, una corrente totale di 20,5A e quindi una presa da 25A, permette di allacciare contemporaneamente tutti gli apparecchi voluti.

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