04-Quante dita hanno i marziani?

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Come abbiamo visto, il computer può essere anche una potente e versatile macchina calcolatrice. Questo significa che deve essere in grado di riconoscere e manipolare i numeri. Non solo: deve essere in grado di farlo in una forma che sfrutti al meglio le risorse a disposizione – come memoria e tempo – per poi restituire i risultati in una forma comprensibile agli operatori.
Queste due forme (che chiameremo rappresentazione interna dei numeri macchina e formato di output) sono radicalmente diverse: come è facile immaginare, uomo e computer non hanno le stesse esigenze e anche quando trattano di numeri Io fanno ciascuno a modo proprio.

LE BASI DI NUMERAZIONE
Il sistema in cui scriviamo i numeri è posizionale. Si tratta di una caratteristica importantissima che lo distingue da altri sistemi usati in passato e che storicamente si è imposto come il più pratico agevolando moltissimo la pratica del calcolo (nel sistema romano, per esempio, una semplice moltiplicazionedi numeri con poche cifre risulta un’impresa improba: per non parlare delle divisioni o di operazioni ancora più complesse).
“Posizionale” significa che le cifre vengono interpretate a seconda della loro posizione all’interno del simbolo usato per rappresentare il numero. Così come viene insegnato fin dai primissimi anni di scuola, la scrittura 372 è un modo convenzionale per indicare il risultato del calcolo 3´100+7´10+2´1 cioè la quantità che otteniamo sommando 2 unità a 7 decine a 3 centinaia (leggendo da destra a sinistra). Utilizzando le potenze di 10 (e ricordando che qualunque numero positivo elevato alla potenza 0 dà come risultato 1) lo possiamo riscrivere come 3´10²+7´10¹+2´10⁰.
In maniera analoga, facendo ricorso a potenze di 10 successive e utilizzando unicamente le dieci cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, possiamo rappresentare qualunque numero intero. Il numero 10 viene per questo indicato come la base del sistema di numerazione.
Possiamo a questo punto esprimere alcune considerazioni di carattere generale.

• Il numero di cifre usate in un sistema di numerazione prende nome di BASE
• Le potenze crescenti della base definiscono il PESO di ciascuna singola cifra
• Mediante una notazione di tipo posizionale è possibile ottenere, con diverse basi numeriche, rappresentazioni equivalenti dello stesso numero

Si può, pertanto, definire un sistema di numerazione nel seguente modo:

Un sistema di numerazione è un complesso di simboli (cifre) e di regole aventi lo scopo di produrre ulteriori simboli diversi fra di loro ed in corrispondenza biunivoca con le grandezze numeriche da rappresentare.

In sostanza, per avere un sistema di numerazione bisogna disporre di un insieme di cifre da associare secondo determinate regole per rappresentare le grandezze numeriche, in modo non ambiguo.
Il concetto di sistema di numerazione non è certo stata una conquista semplice per la mente umana. L’uomo ha dovuto, prima di tutto, superare l’idea del singolo oggetto concreto e cominciare a ragionare per concetti astratti. È immediato dire “questa mela, quest’altra mela”, perché ogni mela è, di per sé, un oggetto distinto da ogni altra mela. Dire “due mele” o qualcosa del genere, implica un grande salto di qualità nel rapporto con la realtà, perché una tale espressione può essere pensata se si va oltre il singolo oggetto, con i suoi particolari connotati, e si comincia a ragionare per modelli: non più la singola mela, “quella” ben precisa mela, ma il concetto di mela, cioè l’idea della mela costruita nella nostra mente. Solo quando si è compiuto un salto logico di questo tipo diventa possibile rappresentare insiemi di oggetti tramite i numeri.

I motivi della scelta del numero 10 sono storicamente molto discussi. Secondo un’osservazione che risale almeno ad Aristotele, deriverebbe dal numero delle dita delle mani dell’uomo, cioè del primo “strumento” utilizzato per contare gli oggetti.
Sarebbe questo il motivo del successo di sistemi a base quinaria (in base 5) e decimale (in base 10), che sarebbero però di introduzione più recente rispetto a sistemi binari (in base 2), ternari (in base 3) e quaternari (in base 4).
Di questi ultimi particolarmente antichi, rimangono documentazioni incomplete e frammentarie, dato che le origini del concetto di numero e della pratica del contare affondano le loro radici nella preistoria, molto prima della nascita della civiltà e della scrittura (il reperto più noto, relativamente recente, è un osso rinvenuto in Europa centrale, risalente a circa 30.000 anni fa e recante incise 55 tacche raccolte in gruppi di cinque).
Molto più abbondanti i “fossili linguistici”, come il termine indoeuropeo che indica il numero 8, probabilmente una forma duale di “quattro”, e il termine latino novem (“nove”) che sembra derivare da novus (“nuovo”), a indicare l’inizio di una nuova serie, in riferimento a un sistema in base 8. Più recenti, prima del prevalere definitivo del sistema decimale (documentato anche nei termini inglesi eleven – 11 – e twelve – 12 – che significherebbero “uno in più” e “ due in più ”), sarebbero forme come il danese halvfirsindstyve, che significa “ a metà strada tra 3 e 4 volte 20”, a indicare il numero 70, e il francese quatre-vingt, cioè “quattro volte 20”, che designa 80, a testimonianza di sistemi in base 20 (le dita delle mani più quelle dei piedi). Non stancano esempi di sistemi ancora più complessi e bizzarri, come quello sessagesimale (in base 60), in uso presso i babilonesi e di cui resta ancor oggi traccia nella suddivisione dei minuti in secondi, delle ore in minuti e nella misurazione degli angoli.
Non c’è un motivo teorico per privilegiare una base rispetto ad un’altra, ma solo pratico: indipendentemente dalle sue eventuali origini antropologiche, la base 10 si è imposta perché permette di rappresentare numeri relativamente grandi utili in maniera sintetica e utilizzando un numero ragionevole di cifre. Per altri usi, essa è decisamente poco pratica: “Dal punto di vista matematico è un peccato che l’uomo di Cro-Magnon e i suoi discendenti non avessero quattro o sei dita per ogni mano”, afferma lo storico della matematica Carl B. Boyer.

QUALCHE ESEMPIO
In generale, se N è un numero positivo, possiamo sceglierlo come base e rappresentare i numeri interi tramite successioni di N simboli d₁,d₂, d₃, …d_N-1, (le cifre del sistema) che rappresentano i valori tra 0 e N – 1 (da cui deduciamo che N deve essere almeno 2). Se N>10, per i primi 10 si conservano di solito le familiari cifre da 0 a 9 e per i successivi si ricorre alle lettere dell’alfabeto latino. In base N=16, per esempio, le cifre utilizzate sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F dove A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Poiché nei sistemi posizionali le cifre indicano il numero di volte per cui contare la corrispondente potenza della base (a partire da destra, con la potenza 0-sima, cioè l’unità), possiamo affermare che in base 16 la scrittura 30DB rappresenta il valore 3´16³+0´16²+D´16¹+B´16⁰ che in base 10 scriveremmo come 3´4096+0+13´16+1=11507.
Quando il contesto può dare adito a confusione o ambiguità, è buona regola specificare la base nella quale si sta onerando. indicandola esplicitamente in piccolo, a fianco del numero. Così, la scrittura 30DB₁₆ ci dice che il numero 30DB è da intendere in base 16 e non in qualche altra base superiore, in cui il simbolo 30DB sarebbe comunque definito ma avrebbe un valore diverso. Secondo il calcolo effettuato poco fa, possiamo scrivere 30DB₁₆=11507₁₀.
Più in generale con abc…zN indichiamo un numero rappresentato in base N dalle cifre a, b, c, …, z, scelte tra le N cifre del sistema d1, d2, d3, …, d_N-1.
Così, 5₇ e 5₁₀ sono rappresentazioni in base 7 e 10, rispettivamente, del medesimo valore numerico. 35₇ rappresenta invece un numero diverso da 35₁₀.
Infatti 35₇ = 3₁₀´7₁₀¹+5₁₀´7₁₀⁰ = 21₁₀+5₁₀ = 26₁₀ ¹ 35₁₀ .
Le regole per eseguire operazioni – e in generale tutta l’aritmetica in basi diverse da 10 – sono identiche a quelle tradizionali, semplicemente tutti i numeri sono espressi utilizzando le N cifre del sistema in base N del caso.

Se da un punto di vista teorico il cambiamento di base è poco più di una curiosità aritmetica, in alcune situazioni concrete esso può invece costituire la differenza tra calcoli elaborati e complessi piuttosto che semplici ed eleganti. Nel corso dei secoli Io hanno scoperto a proprie spese i progettisti di macchine calcolatrici, dalle tradizionali e ormai obsolete calcolatrici da tavolo meccaniche ai moderni computer.
Ma ora siamo pronti per rispondere alla domanda del titolo.

LE DITA DEI MARZIANI SONO…
Supponiamo che un marziano, chiacchierando con un terrestre che non abbia del tutto dimenticato l’algebra studiata a scuola, ci comunichi che l’equazione di secondo grado x²-16x+41=0 ammette due soluzioni, la cui differenza è 10.
Naturalmente il marziano intende i numeri 10, 16 e 41 nella propria base di numerazione (pari al numero delle sue dita) che a noi è ancora ignota e che chiameremo N. Cioè, più precisamente, il marziano sta parlando dei numeri 10_N, 16_N, 41_N.
Osserviamo che N è almeno 7 (perché la cifra più alta che compare è il 6) e che tutte le cifre inferiori a N (quindi almeno da 0 a 6) hanno lo stesso significato sia per noi che per i marziani. La seguente tabella ci indica di quali numeri parla il marziano.

Il terrestre non del tutto a digiuno di algebra ricorderà a questo punto che per una equazione di secondo grado del tipo ax²+bx+c=0 la differenza tra le due soluzioni è data da:

e quindi. sostituendo secondo le indicazioni del marziano i valori a=1, b=N+6, c=4N+1

Risolvendo questa semplice equazione (come il terrestre non avrà problema a fare) otteniamo N=8, da cui risulta che i marziani hanno 8 dita (anche se non necessariamente quattro per mano).

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