Esercizio 1: Soluzione

$\text{Utilizzando il } \textbf{principio di sovrapposizione degli effetti (P.S.E.)} \text{, trovare la corrente } I_3.$

Dati:

$\begin{aligned} E_1 &= 11 \text{V} \\ E_2 &= 7 \text{V} \\ R_1 &= 2 \Omega \\ R_2 &= R_3 = 1 \Omega \\ I_3 &=\ ? \end{aligned}$

Caso 1: funziona solo il generatore E₁

$\text{Se funziona solo il generatore } E_1\text{, il circuito può essere rappresentato in forma semplificata: la corrente } I_1' \text{ viene erogata dal generatore e incontra, lungo il suo percorso, la serie } R_1 + R_p\text{, dove } R_p \text{ è il parallelo di } R_2 \text{ e } R_3.$

$\text{Calcoliamo la resistenza equivalente } R_p\text{:}$

$R_p = R_2 \parallel R_3 = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{1 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \Omega$

$\text{Ora possiamo calcolare la corrente } I_1'\text{:}$

$I_1' = \frac{E_1}{R_1 + R_p} = \frac{11}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{11}{\frac{5}{2}} = \frac{22}{5} = 4{,}4 \text{A}$

$\text{la tensione } V_{AB} \text{ si trova ai capi di } R_p\text{; per la legge di Ohm applicata ai capi della stessa } R_p\text{:}$

$V_{AB} = R_p I_1' = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{5} = \frac{11}{5} V$

$\text{ma la } V_{AB} \text{ essendo ai capi del parallelo } R_2//R_3 \text{ è anche la tensione ai capi di } R_3 \text{ sulla quale passa la corrente } I_3'.$

$I_3' = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{11}{5} A$

Caso 2: funziona solo il generatore E₂

$\text{Per le stesse ragioni viste prima notiamo che:}$

$I_2'' = \frac{E_2}{R_2 + R_p} \quad \text{con } R_p = R_3 // R_1 = \frac{R_3 \cdot R_1}{R_3 + R_1} = \frac{2}{3} \Omega$

$I_2'' = \frac{E_2}{R_2 + R_p} = \frac{7}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{7 \cdot 3}{5} = \frac{21}{5} A$

$V_{AB} = R_p I_2'' = \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{5} = \frac{14}{5} V$

$I_3'' = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{14}{5} A$

$\text{per il p.s.e. risulta essere}$

$I_3 = I_3' + I_3'' = \frac{11}{5} + \frac{14}{5} = \frac{25}{5} = 5 A$

$\text{Verifichiamo col teorema di Millmann}$

$V_{AB} = \frac{\sum\limits_i \frac{E_i}{R_i}}{\sum\limits_i \frac{1}{R_i}} = \frac{\frac{11}{2} + \frac{7}{1} + \frac{0}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{\frac{11}{2} + 7}{\frac{1}{2} + 1 + 1} = \frac{\frac{11 + 14}{2}}{\frac{1 + 4}{2}}$

$V_{AB} = \frac{25}{5} = 5 V$

$I_3 = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{5}{1} = 5 A$

Caso 1: funziona solo il generatore E₁

Caso 2: funziona solo il generatore E₂

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