Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori

Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori

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Per lo studio delle correnti alternate, occorre conoscere alcune nozioni di matematica senza le quali la comprensione di tali argomenti presenterebbe non poche difficoltà.

Un concetto molto importante è quello di funzione. Sappiamo che le quantità che mantengono sempre lo stesso valore sono dette costanti. Per contro, una quantità alla quale si possono assegnare valori arbitrari si dice variabile, e viene indicata solitamente con le ultime lettere dell’alfabeto x, y, z.

Diciamo che la variabile y è funzione della variabile x e si scrive y = f(x), quando esiste una relazione che fa corrispondere ad ogni valore di x, variabile indipendente, un ben determinato valore di y, variabile dipendente. Sono esempi di funzione le seguenti dipendenze:

l’area della superficie “di un quadrato” (y) che dipende dalla lunghezza del suo lato; il volume di una sfera (y) che dipende dal suo raggio (x); la corrente y, in un circuito che abbia una resistenza determinata, dipende dalla tensione applicata.

Le funzioni vengono studiate mediante la loro rappresentazione grafica o diagramma cartesiano. Per fare questo si fissano nel piano due assi perpendicolari tra loro, uno orizzontale ed uno verticale. Su ciascuno viene riportata una delle due grandezze: generalmente si ha la variabile indipendente x sull’asse orizzontale (asse delle ascisse o asse x), quella dipendente y, su quello verticale (asse delle ordinate o asse y). Ogni asse viene suddiviso a partire dall’origine, punto d’incontro dei due assi, in un certo numero di parti. Assegnando alla variabile indipendente x dei valori arbitrari, otteniamo, in corrispondenza, i valori di y. Per esempio se il lato di un quadrato (x) vale 2 o 4 o 7 o 10, l’area (y) sarà rispettivamente 4, 16, 49, 100. Ad ogni coppia di punti (x, y), nel nostro esempio (2,4) – (4, 16) – (7, 49)– (10, 100), corrisponde nei piano un solo punto. Unendo tra di loro tutti questi punti si ha il diagramma cercato.

Altrettanto importante è in elettrotecnica, la trigonometria che fornisce i mezzi per calcolare tutti gli elementi di un qualsiasi triangolo quando ne siano noti tre a piacere, fra i quali almeno un lato.

Premettiamo qualche definizione essenziale.

Un angolo può essere misurato in gradi sessagesimali e in radianti.

Il grado, come è noto, è la 360° parte dell’angolo giro e i suoi sottomultipli sono:

• il primo che è la sessantesima parte del grado;
• il secondo che è la sessantesima parte del primo.

Per indicare che un angolo ha la misura di 43 gradi, 15 primi e 26 secondi, scriveremo 43° 15′ 26″.

Si dice radiante l’arco di una circonferenza che abbia lunghezza uguale al raggio, e angolo radiante l’angolo che sottende un radiante.

Una misura fatta con un sistema può essere convertita nell’altro sistema adoperando delle semplici relazioni. Se si indica con α° la misura di un angolo in gradi e con φ_rad quella di uno in radianti, si ha la proporzione:

α° : 180° = φ_rad : π

da cui:

e

Per la risoluzione dei triangoli si fa ricorso ad alcune funzioni caratteristiche definite considerando una circonferenza di raggio unitario e un generico angolo al centro α i cui valori numerici e variazioni sono in relazione ai valori assunti da un angolo.

Definiamo seno dell’angolo α e lo indichiamo con sen α il rapporto tra l’ordinata MH e il raggio OM:

Il coseno dell’angolo α (cos α) è definito invece come rapporto tra l’ascissa OH e il raggio OM:

Ricordando poi che abbiamo definito sia il seno che il coseno considerando una circonferenza di raggio unitario, è OM = 1, e quindi possiamo scrivere:

sen α = MH cos α = OH

La tangente dell’angolo α (tg α) è il rapporto tra il segmento AT e il raggio OM che corrisponde al rapporto tra seno e coseno:

Trattandosi di rapporti tra segmenti, le funzioni trigonometriche sono dei numeri puri, cioè non hanno dimensioni fisiche.

È evidente che al variare dell’angolo ai valori del seno, del coseno e della tangente varieranno anch’essi. Precisamente il seno e il coseno oscilleranno tra 1 e – 1; la tangente invece può assumere tutti i valori possibili, positivi e negativi.

La Tabella1 riporta i valori del seno, del coseno e della tangente per alcuni angoli (indicati con φ) compresi tra 0° e 90°.

A questo punto possiamo ricavare facilmente le formule risolutive dei triangoli rettangoli.

Sfruttando quanto detto e utilizzando i simboli della figura, abbiamo per l’angolo x:

Da cui possiamo ricavare:

c = a·sen γ b = a·cos γ c = b·tg γ

Considerando l’angolo β avremo:

e quindi:

b = a·sen β c = a·cos β b = c·tg β

Osserviamo che nel caso di un triangolo rettangolo per determinarne tutti gli elementi è sufficiente conoscerne due soli, essendo il terzo (l’angolo retto) noto.

L’ultimo argomento da affrontare è quello riguardante vettori e il calcolo vettoriale.

In fisica le grandezze si possono suddividere in due categorie: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Alla prima appartengono grandezze che possono essere definite solo da un numero, come ad esempio il tempo o la temperatura. Alla seconda quelle grandezze che per essere definite completamente abbisognano di un numero, detto intensità o modulo, una direzione, e un verso.

Pensate a un uomo che muove un peso. Sapere con quanta energia (modulo) compie questa operazione non è sufficiente. Occorre infatti, sapere anche in che direzione lo muove (la retta lungo cui avviene il movimento): per esempio se lo sposta orizzontalmente o verticalmente e anche in che verso, alto o basso, destra o sinistra. Possiamo sostituire l’uomo con un vettore rappresentato da una freccia la cui lunghezza è il modulo, la retta su cui giace è la direzione, e il verso è dato dalla punta.

I vettori sono indicati oltre che da una freccia da una lettera in grassetto con un tratto sovrapposto.

Le operazioni sui vettori che interessano di più sono la somma e la differenza.

In figura è riportata la somma vettoriale di due vettori e eseguita con la regola del parallelogramma, che consiste nel tracciare dai vertici dei due vettori le parallele alle loro direzioni. La somma è la diagonale principale del parallelogramma.

Il calcolo matematico della somma può essere eseguito con relazioni trigonometriche quando è noto l’angolo tra i due vettori.

Noi considereremo in elettrotecnica vettori che generalmente sono perpendicolari tra loro; potremo sfruttare così le relazioni per la risoluzione dei triangoli rettangoli.

La differenza tra i vettori due vettori e può rappresentarsi in figura e sarebbe identificata dall’altra diagonale del parallelogramma. Può comunque essere ricavata con la regola della somma tenendo presente che il vettore – corrisponde al modulo e alla direzione del vettore , ma con verso invertito: ciò equivale a dire pure che il vettore può essere sommato al vettore dopo essere stato ribaltato di un angolo di 180°.

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