Metodi risolutivi dei circuiti in corrente alternata

Metodi risolutivi dei circuiti in corrente alternata

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I collegamenti visti finora sono in genere casi particolari di circuiti che si possono presentare nella realtà.

Comunque anche con circuiti complessi costituiti da più elementi disposti in serie e/o in parallelo, possiamo trovare un criterio generale di facile applicazione con calcoli numerici altrettanto semplici.

La conoscenza della legge di Ohm in corrente continua ed alternata e l’analogia formale delle due espressioni ci permette di poter affermare il seguente principio:

Qualsiasi problema relativo alle correnti sinusoidali può essere risolto assumendo la formula relativa alle correnti continue e sostituendo i simboli vettoriali di correnti e tensioni a quelli costanti in c.c. e le impedenze e le ammettenze alle resistenze e alle conduttanze.

Questo principio permette di definire formalmente la soluzione di un qualsiasi circuito, facendo riferimento esclusivamente a quanto detto a proposito dei circuiti in corrente continua.

Consideriamo quindi le cinque correnti alternate rappresentate in figura 1. La prima legge di Kirchhoff, o legge al nodo, può essere così espressa simbolicamente:

oppure:

assegnando nella prima espressione, convenzionalmente, il segno positivo alle correnti che si allontanano dal nodo e negativo a quelle che vi si dirigono. Poiché le correnti sono cicliche, in quanto assumono periodicamente valori positivi e negativi, le due formule significano che la somma vettoriale (istantanea) dei vettori corrente che concorrono in un nodo è nulla, oppure che la somma vettoriale dei vettori corrente uscenti dal nodo è pari a quella dei vettori corrente entranti.

Consideriamo ora una maglia (figura 2) e stabiliamo in essa un senso positivo: con questo riferimento risulteranno positive sia le correnti che nella maglia hanno la medesima direzione, sia le f.e.m. che, producono nella maglia correnti positive.

Possiamo scrivere la legge alla maglia (secondo principio di Kirchhoff) nel modo seguente:

Cioè, la somma vettoriale delle f.e.m. incluse nella maglia uguaglia la somma vettoriale delle c.d.t. incluse nella stessa.

Il principio enunciato permette di ricavare le leggi del raggruppamento di impedenza in serie e in parallelo.

Consideriamo le tre impedenze in serie che col generatore formano una maglia chiusa. La tensione applicata V eguaglia la somma vettoriale delle cadute di tensione all’interno della maglia:

Da questa ricaviamo il rapporto:

che corrisponde all’impedenza totale Z.

Possiamo quindi dire che più impedenze collegate in serie sono equivalenti alla somma vettoriale delle singole impedenze.

Osservando il diagramma vettoriale di figura 3 possiamo ricavare il modulo dell’impedenza Z con l’espressione:

(intendendo la X₃ come reattanza di tipo capacitivo).

La quale ci dice che più impedenze in serie sono equivalenti ad una che ha per resistenza la somma delle resistenze e per reattanza la somma delle reattanze.

Se consideriamo adesso tre impedenze collegate in parallelo (vedi figura 4) possiamo applicare ad un nodo la prima legge di Kirchhoff:

Le correnti nei singoli rami possono essere espresse, come sappiamo, in questo modo:

La legge al nodo può essere scritta come:

e quindi il rapporto tra I e V dà l’ammettenza totale:

cioè più impedenze collegate in parallelo sono equivalenti ad una, la cui ammettenza è uguale alla somma delle singole ammettenze.

Inoltre, analogamente al caso serie, costruendo un diagramma vettoriale comprendente le singole conduttanze e suscettanze, possiamo affermare:

più ammettenze collegate in parallelo sono equivalenti ad una avente per conduttanza la somma delle conduttanze e per suscettanza la somma algebrica delle suscettanze.

Vale allora la relazione (ad esempio per tre ammettenze):

Ricordiamo ancora che la somma delle tre suscettanze va intesa in senso algebrico potendo assumere singolarmente valori positivi e negativi.

I collegamenti misti (serie e parallelo) di impedenze tengono conto di queste relazioni. Ricordiamo che nei casi più complessi le relazioni sia dei parametri parallelo ottenuti da quelli serie e sia dei parametri serie da quelli parallelo sono ricavate dai circuiti reali.

Precisamente:

La ragione del segno negativo per la reattanza e la suscettanza è la conclusione di un certo tipo di calcolo matematico che noi non affronteremo.

Possiamo applicare quanto detto con un esempio. Calcoliamo l’impedenza totale del collegamento misto di impedenze riportato in figura 5.

Le singole impedenze hanno i seguenti valori: R₁ = 3 Ω, X₁ = 4 Ω, R₂ = 5Ω, X₂ = 0, R₃ = 0, X₃ = –2 Ω, R₄ = 2,5 Ω, X₄ = 0.

Determiniamo innanzitutto le conduttanze e le suscettanze delle tre impedenze Z₁, Z₂, Z₃:

B₂ = 0

G₃ = 0

La conduttanza e la suscettanza dell’insieme delle tre impedenze, collegate in parallelo valgono:

G = G₁ + G₂ + G₃ = 0,12 + 0,2 = 0,32 S

B = B₁ + B₂ + B₃ = 0,16 + 0 + 0,5 = 0,34 S

Possiamo adesso calcolare la resistenza e la reattanza equivalente del complesso di impedenza Z₁, Z₂, Z₃:

L’impedenza totale presenta resistenza e reattanza:

R_T = R + R₄ = 1,47 + 2,5 = 3,97 Ω X_T = – 1,56 Ω

per cui

In base al principio enunciato, risultano quindi validi anche per la corrente alternata i teoremi della sovrapposizione degli effetti e di Thevenin (o del generatore equivalente).

Il primo può essere espresso nel seguente modo:

La corrente in un ramo di una rete qualsiasi è la somma delle correnti che percorrono quel ramo, in base all’ipotesi che le f.e.m. siano impresse separatamente nei singoli rami.

Il teorema di Thevenin in c.a. diventa: la corrente che percorre un’impedenza di una rete qualsiasi coincide con quella che percorre la stessa impedenza se fosse alimentata da un particolare generatore.

Le caratteristiche di quest’ultimo vengono definite se consideriamo sostituita l’impedenza in esame con un’altra di valore infinito. Da quanto detto, il generatore equivalente deve avere:

• come f.e.m. la tensione tra i due nodi tra cui è inserita l’impedenza;
• come impedenza interna quella del raggruppamento che si rileva tra gli stessi nodi, nell’ipotesi che siano tolte tutte le f.e.m

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