Gio. Mag 1st, 2025

Esercizio 3: Soluzione

Risoluzione di un circuito elettrico con le leggi di Kirchhoff

In questo articolo vedremo come risolvere un circuito elettrico complesso utilizzando le leggi di Kirchhoff. Il circuito presenta tre resistenze, tre generatori e correnti incognite nei rami. Il nostro obiettivo è determinare le correnti e il valore di una resistenza incognita.

Schema del circuito

Dati del problema

$R = 4\,\Omega$
$R_1 = 2\,\Omega$
$R_2 = 6\,\Omega$
$\mathcal{E}_1 = 4\,\text{V}$
$\mathcal{E}_2 = 6\,\text{V}$
$\mathcal{E}_3 = 8\,\text{V}$

$V_{BD}$ vuol dire che la segnatura della d.d.p. sul tratto BD prevede la freccia su B. Questo concorda con la caduta di tensione provocata dal passaggio della $I_1$ su $R_1$ e su $R_2$ , per la legge di Ohm:

$V_{BD} = (R_1 + R_2) \cdot I_1 = (6 + 3) \cdot 1{,}2 = 10{,}8\,\text{V}$

Scrivendo la legge di Kirchhoff per il tratto AD avremo:

$V_{AD} = E_3 - V_3$

Proseguimento – Analisi completa della maglia

Allo stesso risultato si arriva se sul tratto AD consideriamo il nodo intermedio K. Tutte le d.d.p. sulla maglia AKD possono essere scritte considerando convenzionalmente positivo il verso orario per le tensioni:

$0 = -V_3 + E_3 - V_{AD}$ ,

per cui confermiamo l’equazione:

$V_{AD} = E_3 - V_3 = 24 - 4 - 2 = 24 - 8 = 16\,\text{V}$

Per il calcolo della $V_{AB}$ osserviamo la maglia ABD e scriviamo la legge di Kirchhoff:

$0 = V_{AB} - V_{AD} + V_{BD}$

otteniamo:

$V_{AB} = V_{AD} - V_{BD} = 16 - 10{,}8 = 5{,}2\,\text{V}$

La corrente $I_4$ è facilmente ottenibile applicando la I^a legge di Kirchhoff al nodo B:

$I_1 +I_4 = I_3 \Rightarrow I_4 = I_3 - I_1 = 2 - 1{,}2 = 0{,}8\,\text{A}$

Calcolo della resistenza $R_4$

Se conoscessimo $V_{CD}$ , potremmo ottenere $R_4$ dall’equazione:

$V_{CD} = V_4 -E_4$

Infatti, osservando la situazione fra i nodi C e D e quello intermedio H, avremo con verso positivo per le tensioni:

$0 = -V_{CD} - E_4 + V_4$ che porta a:

$V_4 = V_{CD} + E_4$

Conoscendo $V_{AD} = 16\,\text{V}$ e $V_{CA} =- 4\,\text{V}$ , l’equazione diventa:

$0 = V_{AD} + V_{CA} - V_{CD} \Rightarrow V_{CD} = V_{AD} + V_{CA} = 16 - 4 = 12\,\text{V}$

Troveremo $R_x$ con l’equazione precedente:

$V_{CD} + E_4 = V_4 \Rightarrow 12 + 6 = 18\,\text{V} = R_4\cdot I_4 \Rightarrow R_4 = \frac{18}{0{,}8} = 22{,}5\,\Omega$

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