Il resistore e la legge di Ohm: resistenza, resistività e caratteristica tensione-corrente

Nel modello circuitale introdotto nell’articolo precedente, ogni bipolo viene descritto attraverso la tensione ai suoi morsetti, la corrente che lo attraversa e una relazione costitutiva che collega queste grandezze. Il resistore è uno dei bipoli fondamentali dell’Elettrotecnica e costituisce il punto di partenza per lo studio delle reti resistive.

La sua apparente semplicità non deve però indurre a identificare senza distinzione resistore, resistenza e legge di Ohm. Il resistore è un componente fisico o un modello circuitale; la resistenza è una grandezza che ne caratterizza il comportamento in determinate condizioni; la resistività è invece una proprietà del materiale. Inoltre, non tutti i componenti presentano una relazione lineare tra tensione e corrente e non ogni rapporto tra queste due grandezze rappresenta una resistenza costante.

Costruiremo quindi il seguente percorso concettuale:

proprietà del materiale → resistività → geometria del conduttore → resistenza → relazione tensione-corrente → potenza dissipata → limiti del componente reale.

Dal bipolo al resistore

Un bipolo definito dalla propria relazione costitutiva

Un bipolo è un componente o una parte di rete accessibile dall’esterno attraverso due morsetti. Scelti un verso di riferimento per la corrente e una polarità di riferimento per la tensione, il suo comportamento elettrico viene specificato mediante una relazione costitutiva.

Per un resistore lineare ideale, adottando la convenzione dell’utilizzatore, la relazione costitutiva è:

Il parametro \(R\) prende il nome di resistenza elettrica. Nel modello lineare ideale è positivo, costante e indipendente dai valori istantanei di tensione e corrente.

La relazione è istantanea: la tensione presente in un determinato istante dipende dalla corrente nello stesso istante. Il resistore ideale è quindi un bipolo adinamico, o senza memoria. A differenza del condensatore e dell’induttore ideali, non possiede una variabile di stato associata all’accumulo reversibile di energia.

Resistore, resistenza e componente reale

I termini resistore e resistenza vengono spesso utilizzati come sinonimi nel linguaggio comune, ma nel linguaggio tecnico indicano concetti differenti.

• Il resistore è il componente o il modello circuitale.
• La resistenza è il parametro elettrico che caratterizza il rapporto fra tensione e corrente nelle condizioni considerate.
• Il componente reale è l’oggetto fisico, dotato di dimensioni, materiali, tolleranze e limiti operativi.
• Il modello ideale conserva soltanto le proprietà necessarie per descrivere il comportamento che si intende studiare.

Un resistore reale può essere rappresentato mediante il modello lineare ideale soltanto quando le variazioni dovute alla temperatura, alla frequenza, alla tensione applicata, alla potenza dissipata e agli effetti parassiti risultano trascurabili rispetto all’accuratezza richiesta.

La resistenza non è quindi una proprietà immutabile dell’oggetto in qualunque condizione. È un parametro del modello, determinato o misurato in un preciso intervallo operativo.

La caratteristica tensione-corrente

Il comportamento elettrico ai morsetti

Il comportamento di un bipolo adinamico può essere rappresentato mediante una caratteristica tensione-corrente. Essa descrive le coppie di valori di tensione e corrente compatibili con il modello del componente.

La caratteristica può essere espressa nella forma:

\[
v=f(i)
\]

oppure, quando è possibile risolvere la relazione rispetto alla corrente:

\[
i=g(v).
\]

La scelta della variabile da porre in ascissa non modifica il comportamento fisico del componente, ma modifica il significato geometrico della pendenza del grafico.

La caratteristica del resistore lineare ideale

Se si rappresenta la corrente \(i\) in ascissa e la tensione \(v\) in ordinata, la relazione:

\[
v=Ri
\]

è una retta passante per l’origine. La sua pendenza è:

A una resistenza maggiore corrisponde quindi, in questa rappresentazione, una retta più inclinata: per ottenere la stessa corrente occorre applicare una tensione maggiore.

Se invece si pone la tensione \(v\) in ascissa e la corrente \(i\) in ordinata, si scrive:

\[
i=\frac{1}{R}v=Gv
\]

e la pendenza della retta è la conduttanza:

\[
\frac{\Delta i}{\Delta v}=G=\frac{1}{R}.
\]

È quindi essenziale specificare sempre quali grandezze siano state collocate sugli assi. Non è corretto affermare genericamente che la pendenza della caratteristica rappresenti la resistenza senza indicare la convenzione grafica adottata.

Passaggio per l’origine e simmetria

La caratteristica del resistore lineare ideale passa per l’origine perché, secondo il modello, se la corrente è nulla anche la tensione è nulla e viceversa. La retta è inoltre simmetrica rispetto all’origine:

\[
v(-i)=-v(i).
\]

Invertendo contemporaneamente il verso effettivo della corrente e la polarità della tensione, il comportamento del resistore non cambia. Con la convenzione dell’utilizzatore, i punti di funzionamento si trovano nel primo o nel terzo quadrante: tensione e corrente hanno lo stesso segno rispetto ai riferimenti scelti.

Il fatto che tensione e corrente possano assumere valori negativi non significa che il resistore diventi un generatore. Il segno dipende dai riferimenti assegnati; ciò che determina l’assorbimento o l’erogazione di potenza è il prodotto \(vi\).

La legge di Ohm

Una relazione costitutiva, non una legge universale

La legge di Ohm è una relazione costitutiva di natura sperimentale: non deriva dalle sole definizioni di tensione, corrente e resistenza, ma descrive il comportamento osservato di determinati materiali e componenti entro specifiche condizioni operative.

La legge di Ohm viene spesso presentata mediante la formula:

\[
R=\frac{v}{i}.
\]

Questa espressione, considerata isolatamente, può però generare un equivoco. È sempre possibile calcolare numericamente il rapporto \(v/i\), purché \(i\neq 0\), ma ciò non significa che il componente sia necessariamente ohmico.

Un componente è detto ohmico, nell’intervallo operativo considerato, quando tensione e corrente sono direttamente proporzionali e il rapporto fra esse rimane costante:

La formulazione completa richiede quindi di specificare le condizioni nelle quali \(R\) può essere considerata costante. Per un conduttore reale tali condizioni possono comprendere temperatura, stato fisico, geometria, frequenza e intervallo di tensione e corrente.

Forma diretta e formule inverse

Per un resistore lineare ideale la relazione costitutiva può essere risolta rispetto alle diverse grandezze:

\[
v=Ri,
\qquad
i=\frac{v}{R},
\qquad
R=\frac{v}{i}.
\]

Queste espressioni sono algebricamente equivalenti, ma non attribuiscono a tensione, corrente e resistenza lo stesso ruolo fisico. Tensione e corrente sono variabili circuitali; \(R\) è il parametro del modello. La corrente che attraversa il resistore e la tensione ai suoi morsetti dipendono anche dal resto della rete alla quale il componente è collegato.

Unità di misura

Nel Sistema Internazionale la resistenza si misura in ohm, simbolo \(\Omega\):

\[
1\ \Omega=1\ \frac{\mathrm V}{\mathrm A}.
\]

Un resistore ha resistenza pari a \(1\ \Omega\) se una tensione di \(1\ \mathrm V\) produce, nelle condizioni previste dal modello, una corrente di \(1\ \mathrm A\).

Sono frequentemente utilizzati i multipli:

\[
1\ \mathrm{k}\Omega=10^3\ \Omega,
\qquad
1\ \mathrm{M}\Omega=10^6\ \Omega,
\]

e i sottomultipli:

\[
1\ \mathrm{m}\Omega=10^{-3}\ \Omega,
\qquad
1\ \mu\Omega=10^{-6}\ \Omega.
\]

Conduttanza, resistività e conducibilità

La conduttanza

Il reciproco della resistenza prende il nome di conduttanza:

La conduttanza misura, nel modello lineare, quanto facilmente il bipolo consente il passaggio di corrente a parità di tensione applicata. La relazione costitutiva può essere scritta:

\[
i=Gv.
\]

L’unità di misura della conduttanza è il siemens, simbolo \(\mathrm S\):

\[
1\ \mathrm S=1\ \Omega^{-1}=1\ \frac{\mathrm A}{\mathrm V}.
\]

La resistività

La resistenza caratterizza il comportamento globale di un conduttore o di un componente. Essa dipende sia dal materiale sia dalla geometria. Per separare il contributo del materiale si introduce la resistività, indicata con \(\rho\).

La resistività esprime la relazione locale tra campo elettrico e densità di corrente nelle condizioni considerate. La sua unità di misura è:

\[
\Omega\,\mathrm m.
\]

Un valore più elevato di resistività indica che, a parità di campo elettrico applicato, il materiale sviluppa una densità di corrente minore. La resistività non deve però essere interpretata come una proprietà assolutamente immutabile: dipende dalla temperatura, dalla composizione, dalla struttura del materiale e, in alcuni casi, dall’intensità del campo e da altre condizioni fisiche.

La conducibilità

Il reciproco della resistività è la conducibilità:

La sua unità di misura è:

\[
\mathrm{S/m}.
\]

Conduttanza e conducibilità non sono sinonimi. La conduttanza \(G\) riguarda il comportamento globale di un bipolo; la conducibilità \(\sigma\) caratterizza localmente il materiale.

La forma locale della legge di Ohm

Campo elettrico e densità di corrente

Nell’articolo dedicato alle grandezze fondamentali abbiamo introdotto la densità di corrente \(\mathbf J\), che descrive come la corrente sia distribuita nello spazio. Per molti materiali conduttori, in un determinato intervallo di funzionamento, la densità di corrente è proporzionale al campo elettrico interno:

Questa relazione è chiamata forma locale o forma puntuale della legge di Ohm. Utilizzando la resistività può essere scritta:

\[
\mathbf E=\rho\mathbf J.
\]

Nel caso più semplice di un materiale omogeneo e isotropo, \(\sigma\) e \(\rho\) possono essere trattate come grandezze scalari. In un materiale anisotropo, invece, la direzione di \(\mathbf J\) non deve necessariamente coincidere con quella di \(\mathbf E\), e la conducibilità deve essere descritta mediante un tensore.

Quest’ultimo caso è importante nella teoria generale dei materiali, ma non è necessario per l’analisi iniziale dei resistori. Nel seguito considereremo materiali isotropi e condizioni nelle quali la relazione fra \(\mathbf J\) ed \(\mathbf E\) possa essere assunta lineare.

Interpretazione microscopica

Nei metalli gli elettroni di conduzione possiedono un moto microscopico che, in assenza di campo elettrico macroscopico, non produce una direzione media privilegiata. Quando nel conduttore è presente un campo elettrico, al moto microscopico si sovrappone una velocità media di deriva.

Il campo elettrico esercita una forza sui portatori e tende a produrre un moto medio orientato. Le interazioni dei portatori con il reticolo, con le impurità e con le imperfezioni del materiale determinano continui processi di diffusione e trasferimento di quantità di moto, dai quali emerge macroscopicamente il comportamento resistivo del materiale.

Per una specie di portatori, la densità di corrente può essere espressa come:

\[
\mathbf J=nq\mathbf v_d,
\]

dove \(n\) è la densità numerica dei portatori, \(q\) la loro carica e \(\mathbf v_d\) la velocità media di deriva.

Quando la velocità di deriva risulta proporzionale al campo elettrico, si introduce la mobilità \(\mu\). In termini di valori assoluti, per una singola specie di portatori si ottiene:

\[
\sigma=n|q|\mu.
\]

Questa relazione mostra che la conducibilità non dipende soltanto dal numero di portatori disponibili, ma anche dalla facilità con cui essi acquistano una velocità media sotto l’azione del campo. Non è necessario, per il modello circuitale, descrivere in dettaglio ogni processo microscopico: tali fenomeni vengono riassunti nel parametro macroscopico \(\sigma\), o equivalentemente in \(\rho\).

Dalla forma locale alla resistenza di un conduttore

Conduttore uniforme

Consideriamo un conduttore rettilineo di lunghezza \(\ell\) e sezione costante \(A\), costituito da un materiale omogeneo e isotropo. Supponiamo inoltre che il campo elettrico e la densità di corrente siano uniformi e paralleli all’asse del conduttore.

In queste condizioni, la corrente vale:

\[
i=JA.
\]

La tensione fra gli estremi del conduttore, in valore coerente con i riferimenti adottati, è:

\[
v=E\ell.
\]

Dalla forma locale:

\[
E=\rho J
\]

si ottiene:

\[
v=\rho J\ell.
\]

Poiché:

\[
J=\frac{i}{A},
\]

segue:

\[
v=\rho\frac{\ell}{A}i.
\]

Confrontando questa espressione con \(v=Ri\), si ricava:

Il ruolo della geometria

La relazione mostra che, a parità di materiale e temperatura:

• la resistenza è direttamente proporzionale alla lunghezza \(\ell\);
• la resistenza è inversamente proporzionale all’area della sezione \(A\);
• la resistenza è direttamente proporzionale alla resistività \(\rho\).

Un conduttore più lungo presenta una resistenza maggiore perché, a parità di materiale e sezione, per mantenere la stessa densità di corrente è necessaria una differenza di potenziale maggiore tra i suoi estremi.

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Condizioni di validità

La formula \(R=\rho\ell/A\) non è universalmente applicabile a qualunque conduttore. La derivazione presuppone:

• materiale omogeneo;
• comportamento isotropo;
• sezione costante;
• distribuzione uniforme della densità di corrente;
• campo sostanzialmente uniforme e parallelo alla direzione del conduttore;
• resistività costante nelle condizioni considerate;
• effetti di bordo e di contatto trascurabili.

Se la sezione varia lungo il conduttore, se la corrente si distribuisce in modo non uniforme o se il materiale non è omogeneo, occorre utilizzare una descrizione locale e integrare i contributi delle diverse regioni. In geometrie complesse la resistenza dipende dalla soluzione del campo elettrico e non può essere ottenuta inserendo semplicemente una lunghezza e un’area medie nella formula.

Il significato fisico della resistività

La resistività consente di confrontare materiali diversi indipendentemente, almeno in prima approssimazione, dalle dimensioni del campione. I buoni conduttori metallici possiedono resistività molto basse; le leghe impiegate negli elementi resistivi presentano valori maggiori; i materiali isolanti possiedono valori enormemente più elevati.

A temperatura ambiente, gli ordini di grandezza tipici sono:

• rame: circa \(1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m\);
• alluminio: circa \(2{,}8\times10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m\);
• tungsteno: circa \(5{,}6\times10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m\);
• leghe nichel-cromo: circa \(10^{-6}\ \Omega\,\mathrm m\);
• materiali isolanti: valori che possono superare di molti ordini di grandezza quelli dei metalli.

Questi valori sono soltanto indicativi. La resistività dipende dalla temperatura, dalla purezza, dalla composizione della lega, dai trattamenti meccanici e dalla struttura microscopica del materiale.

Il rame e l’alluminio sono impiegati nei collegamenti elettrici perché combinano bassa resistività con proprietà meccaniche ed economiche favorevoli. Le leghe nichel-cromo, avendo resistività maggiore e buona stabilità alle alte temperature, vengono utilizzate negli elementi riscaldanti e in particolari resistori. Il tungsteno presenta invece caratteristiche adatte al funzionamento a temperature molto elevate.

Dipendenza della resistenza dalla temperatura

Approssimazione lineare

La resistività e quindi la resistenza dipendono generalmente dalla temperatura. Per intervalli termici limitati, la resistenza può essere approssimata mediante:

dove:

• \(T_0\) è la temperatura di riferimento;
• \(R_0=R(T_0)\) è la resistenza alla temperatura di riferimento;
• \(\alpha_0\) è il coefficiente di temperatura riferito a \(T_0\);
• \(T-T_0\) è la variazione di temperatura.

Il coefficiente \(\alpha_0\) si misura in \(\mathrm{K^{-1}}\) oppure in \({}^\circ\mathrm C^{-1}\), poiché una differenza di temperatura ha lo stesso valore numerico nelle due scale.

La relazione è locale e approssimata

La formula lineare non deve essere estesa indiscriminatamente a qualunque intervallo di temperatura. Il coefficiente termico può variare con la temperatura e la dipendenza reale può richiedere termini di ordine superiore.

Per molti metalli, in un intervallo limitato attorno alla temperatura ambiente, \(\alpha_0\) è positivo: aumentando la temperatura aumenta la resistività e quindi la resistenza. L’agitazione del reticolo diventa più intensa e ostacola maggiormente il moto orientato degli elettroni di conduzione.

Non è però corretto affermare che la resistenza aumenti sempre con la temperatura. Semiconduttori, termistori NTC e altri materiali possono presentare un coefficiente di temperatura negativo in determinati intervalli. Alcuni componenti vengono progettati appositamente per ottenere una variazione termica controllata.

Autoriscaldamento e non linearità

Anche un materiale che soddisfa localmente la legge di Ohm a temperatura costante può mostrare una caratteristica tensione-corrente non lineare quando la temperatura non rimane costante.

Aumentando la corrente, la potenza dissipata cresce. Il componente si riscalda, la sua resistenza cambia e il rapporto \(v/i\) non rimane più costante. La non linearità osservata ai morsetti può quindi derivare non soltanto dalle proprietà elettriche intrinseche del materiale, ma anche dall’accoppiamento fra comportamento elettrico e comportamento termico.

Resistenza statica e resistenza differenziale

Componenti non lineari

Se la caratteristica tensione-corrente non è una retta, non esiste un’unica resistenza costante capace di descrivere il componente in tutto l’intervallo di funzionamento. È allora utile distinguere due grandezze.

In un punto di funzionamento nel quale \(i\neq0\), la resistenza statica è definita come:

Graficamente, se \(v\) è riportata in ordinata e \(i\) in ascissa, essa rappresenta la pendenza della retta che unisce l’origine al punto di funzionamento.

La resistenza differenziale, o dinamica, è invece:

Essa rappresenta la pendenza della tangente alla caratteristica nel punto considerato e descrive come varia la tensione in risposta a una piccola variazione della corrente attorno a quel punto.

Per un resistore lineare ideale le due grandezze coincidono:

\[
R_{\mathrm s}=r_{\mathrm d}=R.
\]

Per un componente non lineare, invece, possono assumere valori differenti e dipendere dal punto di funzionamento.

Potenza assorbita e dissipazione

La potenza elettrica nel resistore

Adottando la convenzione dell’utilizzatore, la potenza istantanea assorbita da un bipolo è:

\[
p(t)=v(t)i(t).
\]

Per un resistore lineare ideale con \(R>0\), sostituendo \(v=Ri\), si ottiene:

Poiché \(i^2\) e \(v^2\) non possono essere negativi:

\[
p\geq 0.
\]

Un resistore passivo con resistenza positiva assorbe quindi potenza elettrica indipendentemente dal verso effettivo della corrente. Se tensione e corrente cambiano contemporaneamente segno rispetto ai riferimenti scelti, il loro prodotto resta positivo.

Energia ed effetto Joule

L’energia assorbita in un intervallo compreso fra \(t_1\) e \(t_2\) è:

\[
W=\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,dt.
\]

Se tensione e corrente rimangono costanti durante un intervallo \(\Delta t\):

\[
W=P\Delta t.
\]

Nel resistore l’energia elettrica assorbita viene convertita irreversibilmente principalmente in energia interna e successivamente trasferita all’ambiente sotto forma di calore. Questo fenomeno è associato all’effetto Joule.

Potenza, energia e temperatura non devono essere confuse. La potenza indica la rapidità con cui l’energia viene convertita; l’energia è l’integrale della potenza nel tempo; la temperatura dipende anche dalla capacità termica, dalla geometria, dai materiali e dalla capacità del componente di trasferire calore all’ambiente.

Equilibrio termico

Quando un resistore dissipa potenza, la sua temperatura tende inizialmente ad aumentare. All’aumentare della temperatura cresce generalmente anche il trasferimento di calore verso l’ambiente. Se le condizioni rimangono costanti, può essere raggiunto un equilibrio termico nel quale la potenza elettrica convertita è uguale, in media, alla potenza termica ceduta all’esterno.

Il modello elettrico ideale \(v=Ri\) non descrive automaticamente questa dinamica termica. Per analizzare il riscaldamento nel tempo occorrerebbe affiancare al modello elettrico un modello termico del componente.

Il resistore reale

Valore nominale e tolleranza

Un resistore reale viene identificato mediante un valore nominale, cioè il valore di resistenza dichiarato dal costruttore in determinate condizioni di riferimento.

Il valore effettivo non coincide necessariamente con quello nominale. La tolleranza specifica l’intervallo entro il quale si prevede che cada il valore iniziale del componente.

Se un resistore ha valore nominale \(R_N\) e tolleranza relativa \(\tau\), il valore effettivo iniziale è atteso nell’intervallo:

\[
R_N(1-\tau)\leq R\leq R_N(1+\tau).
\]

Un resistore da \(1{,}0\ \mathrm{k}\Omega\) con tolleranza del \(5\%\), per esempio, può avere un valore iniziale compreso tra:

\[
950\ \Omega
\]

e:

\[
1050\ \Omega.
\]

La tolleranza non descrive tutte le variazioni successive. Il valore può cambiare ulteriormente per effetto della temperatura, dell’invecchiamento, dell’umidità, delle sollecitazioni e della potenza dissipata.

Potenza nominale

La potenza nominale è il valore massimo di potenza dissipabile in modo continuativo nelle condizioni di riferimento specificate dal costruttore, senza superare i limiti termici e di affidabilità previsti per il componente.

Non è la potenza che il resistore assorbe automaticamente. La potenza effettiva dipende dalla tensione e dalla corrente presenti nel circuito:

\[
P=VI=RI^2=\frac{V^2}{R}.
\]

Anche quando la potenza elettrica è inferiore al valore nominale, occorre considerare la temperatura ambiente, la ventilazione, il montaggio e la vicinanza di altre sorgenti di calore. Per temperature ambientali elevate, la potenza ammissibile può dover essere ridotta.

Tensione massima e sovraccarico

Un resistore reale possiede anche una tensione massima di lavoro. Un componente di resistenza elevata potrebbe dissipare una potenza inferiore a quella nominale pur essendo sottoposto a una tensione sufficiente a produrre cedimenti dell’isolamento, scariche superficiali o alterazioni dell’elemento resistivo.

I sovraccarichi brevi e quelli continuativi non sono equivalenti. La capacità termica del componente può tollerare per un tempo limitato una potenza superiore a quella nominale, ma il valore e la durata ammissibili dipendono dalla costruzione e devono essere ricavati dalle specifiche tecniche.

Deriva, rumore ed effetti parassiti

Nel tempo, il valore della resistenza può variare lentamente: questo fenomeno prende il nome di deriva. Nei circuiti di precisione, tolleranza iniziale e deriva devono essere considerate separatamente.

Un resistore reale produce inoltre fluttuazioni casuali di tensione e corrente. Fra queste è presente il rumore termico, collegato all’agitazione microscopica dei portatori. Il suo studio quantitativo appartiene a una fase successiva, ma mostra che un resistore reale non è un elemento perfettamente privo di segnali propri.

La geometria fisica introduce infine capacità e induttanze parassite. Alle basse frequenze tali effetti possono essere trascurabili; aumentando la frequenza, il componente può non comportarsi più come una resistenza pura. Un resistore avvolto a filo, per esempio, può presentare un’induttanza non trascurabile.

Resistore ideale e resistore reale a confronto

Resistore ideale	Resistore reale
Resistenza esattamente definita	Valore nominale e tolleranza
Relazione perfettamente lineare	Linearità valida entro limiti
Parametro indipendente dalla temperatura	Coefficiente di temperatura
Nessun limite di potenza	Potenza nominale e limiti termici
Nessun limite di tensione	Tensione massima di lavoro
Comportamento puramente resistivo	Capacità e induttanza parassite
Nessun rumore e nessuna deriva	Rumore, deriva e invecchiamento

Il modello ideale non è una descrizione sbagliata del componente reale. È una descrizione semplificata, valida quando gli effetti esclusi sono sufficientemente piccoli rispetto agli obiettivi dell’analisi.

Componenti ohmici e non ohmici

Non tutti i componenti presentano una caratteristica lineare passante per l’origine. Il comportamento non ohmico può derivare da differenti cause fisiche.

• In una lampada a incandescenza, il riscaldamento del filamento modifica sensibilmente la resistenza.
• In un termistore, la resistenza varia intenzionalmente con la temperatura.
• In un varistore, la resistenza effettiva dipende fortemente dalla tensione applicata.
• In un fotoresistore, la conducibilità dipende dall’illuminazione.
• In un diodo, la relazione fra tensione e corrente è fortemente non lineare e asimmetrica.

Questi componenti non saranno sviluppati in questa sede. Essi mostrano però perché la legge di Ohm non debba essere trasformata nell’affermazione universale secondo cui ogni componente possiede una resistenza costante pari a \(v/i\).

Il comportamento di un componente deve essere ricavato dalla sua relazione costitutiva o dalla sua caratteristica elettrica. Il resistore lineare ideale è un modello particolarmente importante, ma rappresenta soltanto una delle possibili relazioni fra tensione e corrente.

Prima applicazione: resistenza di un filo

Consideriamo un filo di rame lungo:

\[
\ell=10\ \mathrm m
\]

e avente area della sezione:

\[
A=1{,}5\ \mathrm{mm^2}=1{,}5\times10^{-6}\ \mathrm{m^2}.
\]

Assumiamo, alla temperatura considerata:

\[
\rho=1{,}7\times10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m.
\]

La resistenza vale:

\[
R=\rho\frac{\ell}{A}
\]

\[
R=
1{,}7\times10^{-8}
\frac{10}{1{,}5\times10^{-6}}
\ \Omega
\]

\[
R\approx 0{,}113\ \Omega.
\]

Se la lunghezza venisse raddoppiata mantenendo invariati materiale e sezione, anche la resistenza raddoppierebbe. Se venisse invece raddoppiata l’area della sezione, la resistenza si dimezzerebbe.

L’esempio mostra che la resistenza non dipende soltanto dal materiale: un ottimo conduttore può presentare una resistenza non trascurabile se è molto lungo o possiede una sezione molto piccola.

Seconda applicazione: corrente e potenza

Consideriamo un resistore lineare ideale con:

\[
R=220\ \Omega
\]

collegato a una tensione costante:

\[
V=12\ \mathrm V.
\]

La corrente vale:

\[
I=\frac{V}{R}
=\frac{12}{220}\ \mathrm A
\approx 0{,}0545\ \mathrm A.
\]

Espressa in milliampere:

\[
I\approx 54{,}5\ \mathrm{mA}.
\]

La potenza assorbita è:

\[
P=VI
\]

\[
P=12\times0{,}0545\ \mathrm W
\approx0{,}655\ \mathrm W.
\]

Lo stesso risultato si ottiene mediante:

\[
P=\frac{V^2}{R}
=\frac{12^2}{220}\ \mathrm W
\approx0{,}655\ \mathrm W.
\]

Un resistore con potenza nominale di \(0{,}25\ \mathrm W\) non sarebbe adatto a questo funzionamento continuativo. Anche un componente da \(0{,}5\ \mathrm W\) verrebbe impiegato oltre il proprio valore nominale. Occorrerebbe scegliere un resistore con adeguato margine termico, tenendo conto delle condizioni reali di montaggio e raffreddamento.

Dal singolo resistore alle reti resistive

Il resistore lineare ideale è dunque un bipolo adinamico e passivo descritto dalla relazione costitutiva:

La resistenza globale di un conduttore uniforme è collegata alla resistività e alla geometria attraverso:

\[
R=\rho\frac{\ell}{A},
\]

mentre la descrizione locale della conduzione è espressa da:

\[
\mathbf J=\sigma\mathbf E.
\]

Possiamo fissare i risultati essenziali:

• il resistore è un componente o un modello circuitale, mentre la resistenza è un parametro;
• la resistività e la conducibilità caratterizzano il materiale nelle condizioni considerate;
• resistenza e conduttanza descrivono il comportamento globale del bipolo;
• la caratteristica del resistore lineare ideale è una retta passante per l’origine;
• la pendenza vale \(R\) se \(v\) è in ordinata e \(i\) in ascissa, mentre vale \(G\) se gli assi sono invertiti;
• il rapporto \(v/i\) non dimostra automaticamente che un componente sia ohmico;
• nei componenti non lineari occorre distinguere resistenza statica e resistenza differenziale;
• la relazione \(R=\rho\ell/A\) richiede precise ipotesi geometriche e fisiche;
• la resistenza può variare con la temperatura e con le condizioni operative;
• un resistore reale coincide con il modello ideale soltanto entro determinati limiti;
• la potenza assorbita viene convertita prevalentemente in energia interna e trasferita all’ambiente sotto forma di calore.

Abbiamo così definito la legge costitutiva del primo componente fondamentale della teoria dei circuiti. Il passaggio successivo consisterà nel collegare più resistori e nello stabilire quando una rete resistiva possa essere sostituita da un unico resistore equivalente.