In una rete elettrica tensioni e correnti non descrivono soltanto lo stato elettrico dei componenti: determinano anche come l’energia viene trasferita fra generatori, utilizzatori ed elementi dissipativi. Comprendere una rete significa quindi saper rispondere anche a domande energetiche fondamentali: chi fornisce energia? Chi la assorbe? Dove viene dissipata? Con quale rapidità avviene il trasferimento? E quanta parte dell’energia fornita diventa effettivamente utile?
Il punto di partenza è il legame fra tensione, carica ed energia. Da esso si ricava naturalmente la potenza elettrica, si comprende il significato del suo segno e si arriva al bilancio energetico di un’intera rete. Il rendimento completa poi questa descrizione mettendo in relazione la potenza utile con quella complessivamente fornita.
Questa trattazione riguarda il comportamento energetico delle reti elettriche nel quadro fin qui sviluppato. L’energia immagazzinata nei condensatori e negli induttori sarà invece affrontata nel successivo studio dei regimi transitori.
1. Energia, lavoro elettrico e trasferimento di carica
La tensione elettrica fra due punti esprime una differenza di energia per unità di carica. Se fra i morsetti di un bipolo è definita una tensione v e una quantità infinitesima di carica dq attraversa il bipolo secondo i riferimenti scelti, il trasferimento infinitesimo di energia può essere scritto come:
dW=v\,dq
\]
La relazione deve essere interpretata insieme alle convenzioni di riferimento. Nel seguito indichiamo con \(dw\) l’energia infinitesima trasferita al bipolo e adottiamo inizialmente la convenzione passiva: la corrente positiva entra nel morsetto al quale è attribuita la polarità positiva della tensione. In queste condizioni:
\[
dw=v\,dq.
\]
Se \(dw>0\), il bipolo riceve energia dalla rete; se \(dw<0\), il bipolo trasferisce energia alla rete. Il segno non è quindi separabile dai riferimenti scelti per tensione e corrente.
La tensione può quindi essere interpretata come energia trasferita per unità di carica:
$$
v=\frac{dW}{dq}.
$$
L’unità di misura della tensione, il volt, può infatti essere espressa come:
$$
1\,\mathrm{V}=1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}.
$$
Una differenza di potenziale di \(1\,\mathrm{V}\) corrisponde dunque a un trasferimento energetico di \(1\,\mathrm{J}\) per ogni coulomb di carica, secondo i riferimenti e il verso di trasferimento considerati.
2. Dall’energia alla potenza elettrica
L’energia descrive quanto viene trasferito. La potenza descrive invece con quale rapidità avviene il trasferimento.
Per definizione, la corrente elettrica è:
$$
i=\frac{dq}{dt}.
$$
Dividendo la relazione energetica \(dW=v\,dq\) per l’intervallo infinitesimo di tempo \(dt\), si ottiene:
$$
\frac{dW}{dt}
=
v\frac{dq}{dt}.
$$
Poiché \(dq/dt=i\), segue:
p(t)=\frac{dW}{dt}=v(t)i(t)
\]
Questa è la relazione fondamentale della potenza istantanea.
La potenza non misura quindi una quantità di energia, ma la velocità con cui l’energia viene trasferita. Due dispositivi possono trasferire la stessa energia complessiva utilizzando tempi diversi e quindi operando con potenze differenti.
L’unità di misura della potenza è il watt:
$$
1\,\mathrm{W}=1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}.
$$
Un dispositivo che assorbe \(100\,\mathrm{W}\) riceve energia al ritmo di \(100\,\mathrm{J}\) ogni secondo.
3. Potenza istantanea e convenzioni di riferimento
La formula
$$
p=vi
$$
Controllo dimensionale
La relazione è dimensionalmente coerente. Infatti:
\[
\mathrm{V}\cdot\mathrm{A}
=
\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}
\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}
=
\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}
=
\mathrm{W}.
\]
Il prodotto tensione-corrente ha quindi effettivamente le dimensioni di una potenza.
non può essere interpretata correttamente senza conoscere la polarità scelta per la tensione e il verso di riferimento della corrente.
Supponiamo che la tensione \(v\) sia positiva dal morsetto \(B\) al morsetto \(A\), cioè:
$$
v=V_A-V_B,
$$
e che la corrente positiva entri nel bipolo attraverso il morsetto \(A\), al quale è associato il segno positivo della tensione.
Questa scelta costituisce la convenzione passiva, detta anche convenzione dell’utilizzatore.
Con tale convenzione:
- \(p>0\): il bipolo sta assorbendo energia elettrica;
- \(p<0\): il bipolo sta erogando energia elettrica.
Attenzione: ciò che conta non è il tipo di simbolo disegnato nel circuito, ma il rapporto fra polarità della tensione, verso della corrente e stato effettivo del componente.
Un generatore, per esempio, non è obbligato in ogni circostanza a erogare energia. Una batteria durante la ricarica riceve corrente dal circuito esterno e quindi assorbe potenza.
Analogamente, il semplice fatto di invertire un riferimento grafico non modifica il fenomeno fisico. Cambiano i segni delle grandezze utilizzate per descriverlo, non l’effettivo trasferimento di energia.
Convenzione del generatore
È possibile adottare anche la cosiddetta convenzione del generatore, nella quale la corrente positiva esce dal morsetto positivo della tensione. Con questa scelta il prodotto \(vi\) viene assunto come potenza erogata positiva.
Occorre però non mescolare le due convenzioni. Se si utilizza invece la convenzione passiva per tutti i bipoli della rete, anche per un generatore vale \(p=vi\): un generatore che sta erogando energia avrà allora \(p<0\).
Nei bilanci di rete adotteremo quest’ultima scelta, perché permette di assegnare a tutti gli elementi una stessa regola:
- \(p>0\) → potenza assorbita;
- \(p<0\) → potenza erogata.
È anche possibile utilizzare una convenzione nella quale la corrente positiva esce dal morsetto positivo della tensione. In questo caso \(vi\) viene spesso interpretato direttamente come potenza erogata.
Per evitare ambiguità, nel bilancio di rete è particolarmente comodo utilizzare un’unica convenzione per tutti i bipoli, normalmente quella passiva. In tal modo:
- potenze positive = potenze assorbite;
- potenze negative = potenze erogate.
4. Energia trasferita in un intervallo di tempo
Poiché:
$$
p(t)=\frac{dW}{dt},
$$
l’energia trasferita fra gli istanti \(t_1\) e \(t_2\) si ottiene integrando la potenza:
\Delta W
=
\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,dt
\]
Se la potenza rimane costante nell’intervallo considerato:
$$
\Delta W=P\Delta t.
$$
Questa relazione mostra immediatamente la differenza fra potenza ed energia:
- la potenza misura la rapidità del trasferimento;
- l’energia misura la quantità complessivamente trasferita.
Dire che un utilizzatore ha una potenza di \(2\,\mathrm{kW}\) non significa che abbia consumato \(2\,\mathrm{kWh}\). Per determinare l’energia occorre conoscere anche il tempo di funzionamento.
Potenza media
Quando la potenza varia nel tempo, può essere utile definire la potenza media su un intervallo \(\Delta t=t_2-t_1\):
$$
P_{\mathrm{m}}
=
\frac{1}{t_2-t_1}
\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,dt.
$$
Poiché l’integrale rappresenta l’energia trasferita nell’intervallo:
$$
P_{\mathrm{m}}
=
\frac{\Delta W}{\Delta t}.
$$
Questa definizione è generale. Le forme specifiche della potenza media in regime sinusoidale saranno sviluppate successivamente.
5. Potenza nel resistore
Per un resistore lineare ideale, descritto dalla relazione:
$$
v=Ri,
$$
la potenza in convenzione passiva è:
$$
p=vi.
$$
Sostituendo la legge di Ohm si ottengono le due forme equivalenti:
p=Ri^2
\qquad
p=\frac{v^2}{R}
\]
Per un resistore con \(R>0\), entrambe le espressioni sono non negative. Il resistore ideale, in convenzione passiva, non genera quindi energia elettrica: la assorbe.
L’energia elettrica assorbita viene trasformata prevalentemente in energia interna del componente e successivamente trasferita all’ambiente sotto forma di calore. Questo processo costituisce la dissipazione per effetto Joule.
È importante distinguere:
- la potenza dissipata, espressa in watt;
- l’energia dissipata, espressa in joule o in altre unità di energia.
Una potenza elevata mantenuta per un tempo brevissimo può corrispondere a un’energia minore di una potenza modesta mantenuta per molte ore.
6. Joule, watt, wattora e kilowattora
Nel Sistema Internazionale l’energia si misura in joule e la potenza in watt:
$$
1\,\mathrm{W}
=
1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}.
$$
Nelle applicazioni elettriche si utilizzano frequentemente anche il wattora e il kilowattora.
Se una potenza costante di \(1\,\mathrm{W}\) viene mantenuta per un’ora:
$$
W
=
1\,\mathrm{W}\cdot3600\,\mathrm{s}
=
3600\,\mathrm{J}.
$$
Pertanto:
1\,\mathrm{Wh}=3600\,\mathrm{J}
\]$$
1\,\mathrm{kWh}=3{,}6\,\mathrm{MJ}
$$
Il kilowattora è dunque un’unità di energia, non di potenza.
Per esempio, un utilizzatore da \(100\,\mathrm{W}\) funzionante per tre ore assorbe:
$$
W
=
100\,\mathrm{W}\cdot3\,\mathrm{h}
=
300\,\mathrm{Wh}
=
0{,}3\,\mathrm{kWh}.
$$
In joule:
$$
0{,}3\,\mathrm{kWh}
=
1{,}08\,\mathrm{MJ}.
$$
7. Potenza assorbita e potenza generata
L’energia all’interno di una rete viene continuamente trasferita fra i suoi elementi. Alcuni bipoli la forniscono alla parte restante della rete, altri la ricevono.
Utilizzando per tutti i bipoli la convenzione passiva:
$$
p_k=v_ki_k,
$$
si ha:
- \(p_k>0\): il bipolo \(k\) assorbe potenza;
- \(p_k<0\): il bipolo \(k\) eroga potenza.
Un generatore ideale che sta alimentando una rete presenterà quindi, con convenzione passiva, una potenza negativa.
La sua potenza erogata può essere espressa come valore positivo mediante:
$$
P_g=-p_g
$$
quando \(p_g<0\).
Questa distinzione impedisce un errore frequente: considerare il segno come una caratteristica intrinseca del componente. Una sorgente può cambiare regime operativo. Un accumulatore durante la scarica eroga energia, mentre durante la ricarica la assorbe.
8. Il bilancio di potenza di una rete
Consideriamo una rete costituita da più bipoli e fissiamo riferimenti coerenti per tensioni e correnti.
In ogni istante, la somma algebrica delle potenze dei bipoli è:
\sum_{k=1}^{n}p_k=0
\]
Poiché con la convenzione passiva le potenze assorbite sono positive e quelle erogate negative, la relazione può essere riscritta separando i due gruppi:
$$
\sum P_{\mathrm{ass}}
–
\sum P_{\mathrm{gen}}
=
0.
$$
Quindi:
\sum P_{\mathrm{gen}}
=
\sum P_{\mathrm{ass}}
\]
La potenza complessivamente fornita alla rete deve quindi essere ritrovata negli elementi che la assorbono.
Il bilancio di potenza costituisce anche uno dei controlli più efficaci di una soluzione circuitale. Se dopo aver calcolato tensioni e correnti la somma algebrica delle potenze non risulta nulla, almeno una grandezza, un riferimento o un segno è stato determinato in modo errato.
9. Bilancio di potenza e Teorema di Tellegen
Nel precedente studio dei teoremi delle reti è stato introdotto il Teorema di Tellegen. Per tensioni di ramo compatibili con la legge di Kirchhoff delle tensioni e correnti di ramo compatibili con la legge di Kirchhoff delle correnti, esso conduce alla relazione:
$$
\sum_k v_ki_k=0.
$$
Tellegen è un risultato di natura generale e topologica: non richiede che tutti i bipoli siano resistori e non deriva da una particolare relazione costitutiva.
Quando ogni prodotto \(v_ki_k\) viene interpretato come la potenza elettrica associata al relativo bipolo, la stessa identità assume il significato di bilancio delle potenze della rete.
È però utile mantenere distinti i due livelli:
- Tellegen fornisce l’identità circuitale fondata sulla compatibilità topologica di tensioni e correnti;
- il bilancio energetico interpreta fisicamente i prodotti \(vi\) come velocità di trasferimento dell’energia.
In questo senso il Teorema di Tellegen fornisce una struttura matematica estremamente generale sulla quale si innesta l’interpretazione energetica della rete.
10. Conservazione dell’energia
Il bilancio delle potenze è la forma istantanea con cui, nel modello circuitale, si manifesta la conservazione dell’energia.
L’energia fornita dalle sorgenti non scompare: può essere:
- trasferita a un utilizzatore;
- dissipata per effetto Joule;
- temporaneamente immagazzinata;
- successivamente restituita alla rete;
- convertita in altre forme di energia.
Nel caso di una rete resistiva in condizioni stazionarie, non vi è variazione di energia immagazzinata nel modello: la potenza fornita dai generatori viene interamente assorbita dagli elementi resistivi e dagli utilizzatori.
Nei circuiti contenenti elementi capaci di immagazzinare energia, il bilancio istantaneo comprende invece anche variazioni dell’energia accumulata. Questo comportamento sarà sviluppato nello studio dei circuiti RC, RL e RLC.
11. Dissipazione, accumulo e restituzione
Tre fenomeni energetici devono essere distinti con precisione.
Dissipazione
L’energia elettrica viene convertita in una forma che, nel modello considerato, non viene restituita alla rete. Il resistore ideale ne costituisce l’esempio fondamentale: l’energia assorbita viene trasformata in energia interna.
Accumulo
Un elemento può ricevere energia dalla rete e conservarla temporaneamente in un campo fisico. In tal caso l’energia non è stata dissipata.
Restituzione
Un elemento che aveva precedentemente accumulato energia può successivamente trasferirla nuovamente alla rete.
La trattazione quantitativa dell’energia immagazzinata nei condensatori e negli induttori richiede l’analisi dei rispettivi modelli dinamici e viene quindi rinviata ai regimi transitori.
12. Perdite e potenza utile
In un sistema reale non tutta la potenza ricevuta viene trasformata nella forma desiderata.
Se \(P_{in}\) rappresenta la potenza complessivamente fornita al sistema, \(P_u\) la potenza utile e \(P_{loss}\) le perdite:
P_{in}=P_u+P_{loss}
\]
Le perdite possono avere origini differenti. Nelle reti resistive considerate finora esse sono principalmente associate:
- alle resistenze interne dei generatori;
- alle resistenze dei collegamenti;
- agli elementi resistivi che non costituiscono il carico utile;
- alla non idealità dei dispositivi reali.
La parola “perdita” non indica una violazione della conservazione dell’energia. Indica semplicemente energia che è stata trasformata in una forma diversa da quella considerata utile per lo scopo del sistema.
13. Rendimento
Il rendimento misura quale frazione della potenza fornita al sistema viene resa disponibile nella forma considerata utile.
\eta
=
\frac{P_u}{P_{in}}
\]
Utilizzando il bilancio:
$$
P_{in}=P_u+P_{loss},
$$
si può anche scrivere:
$$
\eta
=
\frac{P_u}{P_u+P_{loss}}.
$$
Nelle condizioni ordinarie considerate:
$$
0\leq\eta\leq1.
$$
Il rendimento può essere espresso anche in percentuale:
$$
\eta_{\%}=100\,\eta.
$$
Per esempio:
$$
\eta=0{,}85
$$
corrisponde a:
$$
\eta_{\%}=85\%.
$$
Ciò significa che l’85% della potenza fornita viene convertito nella forma utile e il restante 15% è associato alle perdite.
Rendimento di potenza e rendimento energetico
Quando il sistema opera in condizioni stazionarie, il rapporto fra le potenze può essere utilizzato direttamente.
In una trasformazione che si svolge per un intervallo di tempo finito è possibile definire anche:
$$
\eta_W
=
\frac{W_u}{W_{in}}.
$$
Se le condizioni e il rendimento restano costanti durante l’intervallo, il rapporto fra le energie coincide con quello fra le potenze.
14. Il generatore reale e il rendimento
Il generatore reale costituisce un’applicazione immediata del bilancio energetico. Nel modello già studiato, un generatore ideale di forza elettromotrice \(E\) è associato a una resistenza interna \(r_i\).
Se il circuito è attraversato dalla corrente \(I\), la potenza sviluppata dalla sorgente ideale è:
$$
P_g=EI.
$$
La resistenza interna dissipa:
$$
P_i=r_iI^2.
$$
La potenza elettrica resa disponibile ai morsetti del generatore reale è:
\[
P_{out}=VI.
\]
Il bilancio del solo generatore reale è quindi:
\[
P_g=P_{out}+P_i.
\]
Il rendimento del generatore, considerato come dispositivo, è:
\[
\eta_g
=
\frac{P_{out}}{P_g}.
\]
$$
P_u=VI.
$$
Il bilancio è quindi:
$$
P_g=P_u+P_i.
$$
Il rendimento del generatore reale può essere espresso come:
$$
\eta
=
\frac{P_u}{P_g}.
$$
Nel caso di un generatore con resistenza interna \(r_i\) che alimenta direttamente un carico resistivo \(R_L\), il risultato già ricavato può essere scritto:
\eta
=
\frac{R_L}{R_L+r_i}
\]
La relazione mostra che il rendimento cresce quando il carico diventa grande rispetto alla resistenza interna.
Questo risultato deve però essere interpretato con attenzione: un rendimento elevato non implica automaticamente una potenza utile elevata. Se \(R_L\) diventa estremamente grande, la corrente tende a zero e anche la potenza trasferita al carico tende a zero.
15. Massimo trasferimento di potenza e rendimento
Consideriamo l’equivalente di Thévenin resistivo costituito da una sorgente ideale \(V_{Th}\), da una resistenza equivalente interna \(R_{Th}>0\) e da un carico resistivo \(R_L\). Nel perimetro già sviluppato nell’Articolo 9, la potenza trasferita al carico è massima quando:
\[
R_L=R_{Th}.
\]
$$
R_L=R_{Th}.
$$
Non è necessario ripetere la derivazione. È invece molto importante studiarne ora la conseguenza energetica.
Quando:
$$
R_L=R_{Th},
$$
la corrente attraversa due resistenze uguali: la resistenza equivalente interna \(R_{Th}\) e il carico \(R_L\).
Le rispettive potenze sono:
$$
P_{Th}=R_{Th}I^2
$$
e:
$$
P_L=R_LI^2.
$$
Poiché \(R_L=R_{Th}\):
$$
P_L=P_{Th}.
$$
La potenza fornita è quindi suddivisa in parti uguali fra carico e resistenza equivalente interna:
$$
P_{in}=P_L+P_{Th}=2P_L.
$$
Il rendimento risulta:
\eta
=
\frac{P_L}{P_L+P_{Th}}
=
\frac{1}{2}
=
50\%
\]
La condizione di massimo trasferimento di potenza non coincide quindi con la condizione di massimo rendimento.
I due criteri perseguono obiettivi differenti:
- il massimo trasferimento di potenza ricerca il valore del carico che riceve la maggiore potenza possibile dalla sorgente equivalente;
- il massimo rendimento ricerca la riduzione della frazione di potenza dissipata internamente rispetto alla potenza utile.
Aumentando \(R_L\) oltre \(R_{Th}\), il rendimento cresce oltre il 50%, ma la potenza trasferita al carico diminuisce rispetto al suo massimo.
16. Esempio completo: bilancio di potenza e rendimento
Consideriamo un generatore reale con:
$$
E=24\,\mathrm{V}
$$
e resistenza interna:
$$
r_i=2\,\Omega.
$$
Il generatore alimenta, attraverso una resistenza equivalente dei collegamenti:
$$
R_c=1\,\Omega,
$$
un carico:
$$
R_L=9\,\Omega.
$$
Calcolo della corrente
La resistenza complessiva vista dalla sorgente ideale è:
$$
R_{tot}=r_i+R_c+R_L.
$$
Quindi:
$$
R_{tot}
=
2+1+9
=
12\,\Omega.
$$
La corrente vale:
$$
I
=
\frac{E}{R_{tot}}
=
\frac{24}{12}
=
2\,\mathrm{A}.
$$
Tensione ai morsetti del generatore reale
La caduta sulla resistenza interna è:
$$
V_i=r_iI=2\cdot2=4\,\mathrm{V}.
$$
La tensione ai morsetti del generatore reale è quindi:
$$
V=E-V_i=24-4=20\,\mathrm{V}.
$$
Tensione sul carico
Sulla resistenza dei collegamenti si ha:
$$
V_c=R_cI=1\cdot2=2\,\mathrm{V}.
$$
La tensione sul carico risulta:
$$
V_L=20-2=18\,\mathrm{V}.
$$
La verifica mediante la legge di Ohm fornisce:
$$
V_L=R_LI=9\cdot2=18\,\mathrm{V}.
$$
Potenza generata
La sorgente ideale sviluppa:
$$
P_g=EI=24\cdot2=48\,\mathrm{W}.
$$
Se alla sorgente viene applicata la convenzione passiva, la sua potenza algebrica nel bilancio è:
$$
p_g=-48\,\mathrm{W}.
$$
Perdita interna
$$
P_i=r_iI^2
=
2\cdot2^2
=
8\,\mathrm{W}.
$$
Perdita nei collegamenti
$$
P_c=R_cI^2
=
1\cdot2^2
=
4\,\mathrm{W}.
$$
Potenza utile sul carico
$$
P_L=R_LI^2
=
9\cdot2^2
=
36\,\mathrm{W}.
$$
La stessa potenza può essere verificata mediante:
$$
P_L=V_LI=18\cdot2=36\,\mathrm{W}.
$$
Verifica del bilancio di potenza
Utilizzando le potenze algebriche secondo la convenzione passiva:
$$
p_g+P_i+P_c+P_L
=
-48+8+4+36.
$$
Si ottiene:
-48+8+4+36=0
\]
Il bilancio è quindi verificato.
Equivalentemente, considerando separatamente valori positivi generati e assorbiti:
$$
48
=
8+4+36.
$$
La potenza generata dalla sorgente viene esattamente ripartita fra perdita interna, perdita nei collegamenti e potenza utile sul carico.
Rendimento complessivo
Considerando utile soltanto la potenza trasferita al carico:
$$
\eta
=
\frac{P_L}{P_g}
=
\frac{36}{48}
=
0{,}75.
$$
Quindi:
$$
\eta=75\%.
$$
Il restante:
$$
25\%
$$
della potenza fornita viene dissipato nella resistenza interna e nei collegamenti.
Si può inoltre distinguere il rendimento del solo generatore reale dal rendimento dell’intero sistema. La potenza disponibile ai morsetti del generatore è infatti:
$$
P_{morsetti}
=
VI
=
20\cdot2
=
40\,\mathrm{W}.
$$
Il rendimento del solo generatore vale quindi:
$$
\eta_g
=
\frac{40}{48}
\approx
0{,}833.
$$
ossia circa:
$$
83{,}3\%.
$$
L’ulteriore perdita nella linea riduce invece il rendimento complessivo fino al 75%.
17. Confronto numerico: massima potenza o alto rendimento?
Consideriamo ora un equivalente di Thévenin con:
$$
V_{Th}=12\,\mathrm{V}
$$
e:
$$
R_{Th}=2\,\Omega.
$$
Caso A — massimo trasferimento di potenza
La condizione è:
$$
R_L=R_{Th}=2\,\Omega.
$$
La corrente vale:
$$
I
=
\frac{12}{2+2}
=
3\,\mathrm{A}.
$$
La potenza sul carico è:
$$
P_L
=
R_LI^2
=
2\cdot9
=
18\,\mathrm{W}.
$$
La perdita interna è:
$$
P_{Th}
=
R_{Th}I^2
=
18\,\mathrm{W}.
$$
Il rendimento è:
$$
\eta
=
\frac{18}{18+18}
=
50\%.
$$
Caso B — carico maggiore
Poniamo ora:
$$
R_L=8\,\Omega.
$$
La corrente diventa:
$$
I
=
\frac{12}{2+8}
=
1{,}2\,\mathrm{A}.
$$
La potenza utile è:
$$
P_L
=
8\cdot1{,}2^2
=
11{,}52\,\mathrm{W}.
$$
La perdita interna è:
$$
P_{Th}
=
2\cdot1{,}2^2
=
2{,}88\,\mathrm{W}.
$$
Il rendimento vale:
$$
\eta
=
\frac{11{,}52}{11{,}52+2{,}88}
=
0{,}80.
$$
Quindi:
$$
\eta=80\%.
$$
Il confronto è significativo:
| Condizione | \(P_L\) | Perdite | Rendimento |
|---|---|---|---|
| \(R_L=2\,\Omega\) | \(18\,\mathrm{W}\) | \(18\,\mathrm{W}\) | \(50\%\) |
| \(R_L=8\,\Omega\) | \(11{,}52\,\mathrm{W}\) | \(2{,}88\,\mathrm{W}\) | \(80\%\) |
Nel primo caso il carico riceve la massima potenza possibile, ma metà della potenza viene dissipata internamente. Nel secondo caso il carico riceve meno potenza, ma una frazione molto maggiore della potenza fornita raggiunge effettivamente il carico.
Massima potenza trasferita e massimo rendimento sono quindi due differenti criteri di progetto.
18. Errori concettuali da evitare
Confondere energia e potenza
L’energia misura una quantità trasferita; la potenza misura la rapidità con cui avviene il trasferimento.
Confondere watt e wattora
Il watt è un’unità di potenza. Il wattora e il kilowattora sono unità di energia.
Pensare che un generatore eroghi sempre energia
Lo stato energetico dipende dalla tensione, dalla corrente e dai riferimenti adottati. Una batteria durante la carica assorbe energia.
Attribuire il segno della potenza al tipo di componente
Il segno deriva dai riferimenti e dalla convenzione utilizzata, non semplicemente dal simbolo circuitale.
Confondere potenza dissipata ed energia dissipata
Una è espressa in watt, l’altra in joule o wattora e dipende anche dal tempo.
Dimenticare le perdite
La potenza utile non coincide generalmente con quella complessivamente fornita.
Ammettere un rendimento maggiore di uno
Per un sistema passivo ordinario, una relazione \(\eta>1\) indicherebbe un errore nella definizione delle potenze, nei segni o nei calcoli.
Pensare che massimo trasferimento significhi massimo rendimento
Nel caso resistivo di massimo trasferimento di potenza il rendimento è soltanto del 50%.
Applicare il bilancio senza riferimenti coerenti
La relazione \(\sum p_k=0\) richiede che ogni prodotto tensione-corrente sia costruito rispettando le convenzioni scelte per il relativo ramo.
19. Dal bilancio energetico ai regimi transitori
Finora abbiamo analizzato principalmente reti resistive e condizioni nelle quali l’energia fornita viene trasferita agli utilizzatori o dissipata.
Esistono tuttavia bipoli capaci di immagazzinare temporaneamente energia e successivamente restituirla alla rete. In presenza di questi elementi, tensioni e correnti non possono in generale modificarsi arbitrariamente e istantaneamente: la storia precedente del circuito diventa parte del problema.
Questo conduce naturalmente allo studio dei regimi transitori nei circuiti RC, RL e RLC, nei quali il bilancio energetico sarà affiancato dalle equazioni dinamiche dei condensatori e degli induttori.
In sintesi
La tensione mette in relazione energia e carica:
$$
dW=v\,dq.
$$
La potenza è la velocità di trasferimento dell’energia:
$$
p(t)=v(t)i(t).
$$
Con convenzione passiva:
$$
p>0
\Rightarrow
\text{assorbimento},
$$
$$
p<0
\Rightarrow
\text{erogazione}.
$$
L’energia trasferita in un intervallo è:
$$
\Delta W
=
\int p(t)\,dt.
$$
Per una rete completa:
$$
\sum_kp_k=0.
$$
In termini di valori positivi:
$$
P_{\mathrm{generata}}
=
P_{\mathrm{assorbita}}.
$$
Il rendimento è:
$$
\eta
=
\frac{P_u}{P_{in}}
=
\frac{P_u}{P_u+P_{loss}}.
$$
Infine, nel caso resistivo di massimo trasferimento di potenza:
$$
R_L=R_{Th}
$$
e:
$$
\eta=50\%.
$$
Se si considera come potenza fornita quella sviluppata dalla sorgente ideale dell’equivalente e come potenza utile quella dissipata sul carico, il rendimento energetico dell’equivalente risulta:
Studiare energeticamente una rete significa quindi comprendere non soltanto tensioni e correnti, ma l’intero percorso dell’energia: da dove proviene, dove viene trasferita, dove viene dissipata e quale parte diventa realmente utile.
