I teoremi delle reti costituiscono strumenti che permettono di analizzare i circuiti elettrici sfruttandone particolari proprietà strutturali. Essi non sostituiscono le leggi fondamentali dei circuiti, ma derivano da esse e consentono, nelle situazioni appropriate, di rendere l’analisi più rapida, più compatta oppure più significativa dal punto di vista fisico.
Dopo aver introdotto le leggi di Kirchhoff, il metodo dei potenziali nodali, il principio di sovrapposizione e i teoremi di Thévenin e Norton, possiamo studiare il teorema di Millman, particolarmente efficace nelle reti costituite da più rami collegati fra gli stessi due nodi. Completeremo poi il quadro con il teorema di sostituzione, il teorema di Tellegen e il teorema di reciprocità.
Il teorema di Millman
Il teorema di Millman permette di determinare direttamente la tensione fra due nodi comuni a più rami collegati in parallelo.
Consideriamo due nodi, indicati con \(A\) e \(B\), fra i quali siano collegati \(n\) rami. Ogni ramo può contenere un generatore ideale di tensione \(E_i\) in serie con una resistenza \(R_i\).
Assumiamo come tensione incognita
\[
V_{AB}=V_A-V_B.
\]
Per evitare qualsiasi ambiguità sui segni, fissiamo inoltre come verso positivo delle correnti di ramo quello che va dal nodo \(A\) al nodo \(B\).
La forza elettromotrice \(E_i\) viene considerata positiva quando il suo morsetto positivo è rivolto verso \(A\); se il generatore è orientato in senso opposto, il valore algebrico di \(E_i\) sarà negativo.
Derivazione del teorema di Millman
Consideriamo il generico ramo \(i\), costituito dal generatore \(E_i\) e dalla resistenza \(R_i\).
Con le convenzioni appena stabilite possiamo scrivere
\[
V_{AB}=E_i+R_i I_i.
\]
Da questa relazione ricaviamo la corrente del ramo:
\[
I_i=\frac{V_{AB}-E_i}{R_i}.
\]
La stessa relazione vale per tutti gli \(n\) rami:
\[
I_1=\frac{V_{AB}-E_1}{R_1},\qquad
I_2=\frac{V_{AB}-E_2}{R_2},\qquad \ldots,\qquad
I_n=\frac{V_{AB}-E_n}{R_n}.
\]
Poiché tutti i rami sono collegati agli stessi due nodi, possiamo applicare la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo \(A\).
Avendo assunto tutte le correnti positive da \(A\) verso \(B\), esse devono essere considerate come grandezze algebriche. Una corrente che nella soluzione risulterà negativa circolerà semplicemente nel verso opposto a quello assunto inizialmente.
Pertanto:
\[
\sum_{i=1}^{n} I_i=0.
\]
Sostituendo le espressioni delle correnti:
\[
\sum_{i=1}^{n}\frac{V_{AB}-E_i}{R_i}=0.
\]
Sviluppando la sommatoria:
\[
V_{AB}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}
–
\sum_{i=1}^{n}\frac{E_i}{R_i}=0.
\]
Da cui:
\[
V_{AB}=
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{E_i}{R_i}}
{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}}
\]
Questa è la forma classica del teorema di Millman.
È importante comprenderne l’origine: la formula non costituisce una nuova legge indipendente, ma deriva direttamente dalla legge di Kirchhoff delle correnti applicata a una particolare configurazione nodale.
Millman può quindi essere interpretato come una forma specializzata e particolarmente compatta del metodo dei potenziali nodali.
Millman espresso mediante le conduttanze
Introducendo per ciascun ramo la conduttanza
\[
G_i=\frac{1}{R_i},
\]
la formula di Millman assume una forma ancora più semplice:
\[
V_{AB}=
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}G_iE_i}
{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}G_i}
\]
Questa forma permette anche una interessante interpretazione.
Se tutte le resistenze sono positive e non sono presenti generatori ideali di corrente, possiamo definire
\[
\alpha_i=
\frac{G_i}{\displaystyle\sum_k G_k}.
\]
I coefficienti \(\alpha_i\) sono positivi e verificano
\[
\sum_i\alpha_i=1.
\]
La tensione fra i nodi può quindi essere scritta come
\[
V_{AB}=\sum_i\alpha_iE_i.
\]
In queste condizioni \(V_{AB}\) rappresenta una media pesata delle tensioni dei generatori, nella quale il peso di ogni generatore è determinato dalla conduttanza del relativo ramo.
Un ramo con resistenza piccola, e quindi con conduttanza elevata, influenza maggiormente la tensione comune. Un ramo con resistenza molto grande ha invece un peso minore.
Nel limite \(R_i\rightarrow\infty\), infatti, si ha \(G_i\rightarrow0\): quel ramo tende a comportarsi come un circuito aperto e il suo contributo alla formula scompare.
Il ruolo dei segni delle forze elettromotrici
Uno degli errori più frequenti nell’applicazione del teorema di Millman riguarda il segno delle forze elettromotrici.
Non è opportuno memorizzare una regola separata dalla scelta delle grandezze di riferimento. È invece sufficiente procedere sempre nello stesso ordine:
- si definisce la tensione \(V_{AB}=V_A-V_B\);
- si stabilisce il verso positivo delle correnti di ramo;
- si osserva l’orientazione di ciascun generatore;
- si attribuisce a \(E_i\) il corrispondente valore algebrico.
Con la convenzione utilizzata in questo articolo, un generatore con morsetto positivo rivolto verso \(A\) contribuisce con \(+E_i/R_i\) al numeratore della formula di Millman.
Se il generatore viene invertito, il suo contributo diventa
\[
-\frac{E_i}{R_i}.
\]
Il segno non è quindi una proprietà intrinseca del generatore: dipende dall’orientazione della sorgente rispetto alla tensione di riferimento scelta.
Rami costituiti soltanto da resistenze
Un ramo non deve necessariamente contenere un generatore.
Se fra \(A\) e \(B\) è presente un ramo costituito soltanto da una resistenza \(R_k\), esso può essere incluso nella formula di Millman ponendo semplicemente
\[
E_k=0.
\]
Il ramo non fornisce quindi alcun contributo al numeratore, mentre la sua conduttanza compare normalmente al denominatore.
Per esempio, con tre rami contenenti generatori e un carico puramente resistivo \(R_L\), avremo
\[
V_{AB}=
\frac{
\frac{E_1}{R_1}
+\frac{E_2}{R_2}
+\frac{E_3}{R_3}
}{
\frac{1}{R_1}
+\frac{1}{R_2}
+\frac{1}{R_3}
+\frac{1}{R_L}
}.
\]
Una volta determinata \(V_{AB}\), la corrente nel carico sarà semplicemente
\[
I_L=\frac{V_{AB}}{R_L}.
\]
Millman in presenza di generatori ideali di corrente
La struttura nodale da cui deriva il teorema permette di estenderne facilmente l’utilizzo quando fra i due nodi sono presenti anche generatori ideali di corrente.
Consideriamo ancora i rami con generatori di tensione \(E_i\) e resistenze \(R_i\), e aggiungiamo uno o più generatori ideali di corrente.
Indichiamo con \(J_j\) il valore algebrico di ciascuna sorgente di corrente, assumendo \(J_j>0\) quando la sorgente spinge corrente da \(B\) verso \(A\), cioè quando inietta corrente nel nodo \(A\).
La KCL diventa
\[
\sum_i\frac{V_{AB}-E_i}{R_i}
–
\sum_jJ_j=0.
\]
Ricavando \(V_{AB}\) otteniamo:
\[
V_{AB}=
\frac{
\displaystyle\sum_i G_iE_i+\displaystyle\sum_jJ_j
}{
\displaystyle\sum_iG_i
}
\]
La relazione richiede che la conduttanza totale dei rami resistivi sia diversa da zero:
\[
\sum_i G_i \neq 0.
\]
Deve quindi essere presente almeno un ramo caratterizzato da una conduttanza finita. Se fra i due nodi fossero presenti esclusivamente generatori ideali di corrente, la legge di Kirchhoff delle correnti potrebbe imporre una condizione sulle correnti delle sorgenti, ma non determinerebbe in generale un valore univoco della tensione \(V_{AB}\).
Una sorgente di corrente orientata da \(A\) verso \(B\) avrà semplicemente valore algebrico negativo secondo la convenzione appena adottata.
Questa relazione non deve essere considerata una seconda formula da imparare a memoria. È ancora una volta il risultato diretto della KCL applicata al nodo.
È proprio questo il vantaggio dell’interpretazione nodale di Millman: una volta compreso il procedimento, molte varianti del circuito possono essere affrontate senza ricorrere a nuove regole mnemoniche.
Condizioni di applicabilità del teorema di Millman
La forma classica del teorema deve essere utilizzata quando la rete presenta la struttura appropriata.
In particolare:
- i rami considerati devono essere collegati fra gli stessi due nodi;
- ogni ramo della forma classica deve poter essere rappresentato mediante una sorgente ideale di tensione in serie con una resistenza;
- le polarità e i versi di riferimento devono essere definiti in modo coerente;
- nella forma resistiva studiata in questo articolo le grandezze sono considerate in regime continuo stazionario.
Un generatore ideale di tensione collegato direttamente fra \(A\) e \(B\), senza alcuna resistenza serie, costituisce un caso particolare: esso impone direttamente la tensione fra i nodi e la formula classica di Millman, che contiene \(1/R_i\), non può essere applicata ponendo semplicemente \(R_i=0\).
Se più generatori ideali di tensione sono collegati direttamente fra gli stessi due nodi, essi devono imporre la stessa tensione \(V_{AB}\). Se imponessero valori differenti, il modello ideale del circuito sarebbe incompatibile, perché la stessa coppia di nodi non può avere contemporaneamente due differenze di potenziale diverse.
Un generatore ideale di corrente può invece essere trattato mediante la formulazione generalizzata appena ricavata.
Il teorema non deve inoltre essere applicato meccanicamente a reti che non presentano una struttura a due nodi comuni. In una rete generale rimane sempre disponibile il metodo nodale completo.
Esempio completo di applicazione
Consideriamo tre rami collegati fra i nodi \(A\) e \(B\).
Nel primo ramo siano presenti:
\[
E_1=12\,\text{V},\qquad R_1=2\,\Omega,
\]
con il morsetto positivo del generatore rivolto verso \(A\).
Nel secondo ramo siano presenti:
\[
E_2=6\,\text{V},\qquad R_2=3\,\Omega,
\]
ma con il generatore orientato in senso opposto.
Il suo valore algebrico sarà quindi
\[
E_2=-6\,\text{V}.
\]
Il terzo ramo contiene soltanto una resistenza
\[
R_3=6\,\Omega,
\]
per cui possiamo porre
\[
E_3=0.
\]
Applicando Millman:
\[
V_{AB}
=
\frac{
\frac{12}{2}
-\frac{6}{3}
+\frac{0}{6}
}{
\frac{1}{2}
+\frac{1}{3}
+\frac{1}{6}
}.
\]
Il numeratore vale
\[
6-2=4,
\]
mentre
\[
\frac12+\frac13+\frac16=1.
\]
Otteniamo pertanto
\[
V_{AB}=4\,\text{V}
\]
Calcoliamo ora le correnti assumendo ancora come verso positivo quello da \(A\) verso \(B\).
Per il primo ramo:
\[
I_1=
\frac{V_{AB}-E_1}{R_1}
=
\frac{4-12}{2}
=
-4\,\text{A}.
\]
Il risultato negativo indica che la corrente reale circola da \(B\) verso \(A\), con intensità \(4\,\text{A}\).
Per il secondo ramo:
\[
I_2=
\frac{4-(-6)}{3}
=
\frac{10}{3}\,\text{A}.
\]
Per il ramo puramente resistivo:
\[
I_3=
\frac{4}{6}
=
\frac23\,\text{A}.
\]
Possiamo verificare immediatamente il risultato mediante la KCL:
\[
I_1+I_2+I_3
=
-4+\frac{10}{3}+\frac23
=
0.
\]
La verifica conferma sia il valore di \(V_{AB}\) sia i versi effettivi delle correnti.
Millman, metodo nodale e teoremi di Thévenin e Norton
Il teorema di Millman può essere letto da due punti di vista complementari.
Il primo, e più fondamentale, è quello appena utilizzato: Millman deriva direttamente dal metodo nodale.
Esiste però anche una seconda interpretazione molto utile.
Ogni ramo costituito da un generatore di tensione \(E_i\) e dalla resistenza serie \(R_i\) può essere trasformato nel corrispondente generatore di Norton, avente corrente
\[
I_{N_i}=\frac{E_i}{R_i}
\]
e resistenza \(R_i\) in parallelo. Con la convenzione adottata in questo articolo, se \(E_i\) è positiva perché il morsetto positivo del generatore è rivolto verso il nodo \(A\), la sorgente equivalente di Norton è orientata da \(B\) verso \(A\), cioè inietta corrente nel nodo \(A\).
Essendo tutti i generatori di Norton collegati fra gli stessi nodi, le loro correnti si sommano algebricamente:
\[
I_N=\sum_i\frac{E_i}{R_i}.
\]
Le resistenze in parallelo hanno invece conduttanza equivalente
\[
G_N=\sum_i\frac1{R_i}.
\]
La tensione ai morsetti risulta quindi
\[
V_{AB}=\frac{I_N}{G_N},
\]
che coincide precisamente con la formula di Millman.
Questa interpretazione chiarisce anche una possibile fonte di confusione: la quantità
\[
\sum_i\frac{E_i}{R_i}
\]
ha le dimensioni di una corrente; non è la tensione \(V_{AB}\). La tensione si ottiene dividendo tale corrente equivalente per la conduttanza complessiva, oppure moltiplicandola per la resistenza equivalente della rete parallela.
Millman e Thévenin-Norton non sono dunque teoremi concorrenti. Essi mettono in evidenza aspetti differenti della stessa rete e, nelle configurazioni appropriate, possono condurre allo stesso risultato attraverso percorsi diversi.
Il teorema di sostituzione
Il teorema di sostituzione esprime una proprietà generale delle reti elettriche e deve essere distinto dai teoremi di equivalenza di Thévenin e Norton.
Supponiamo che, in una determinata soluzione di una rete, un ramo presenti una tensione \(V_0\) e una corrente \(I_0\).
Il ramo può essere sostituito da un generatore ideale di tensione di valore \(V_0\), con la stessa polarità, oppure da un generatore ideale di corrente di valore \(I_0\), con lo stesso verso.
Se il circuito così modificato ammette una e una sola soluzione, le tensioni e le correnti del resto della rete rimangono uguali a quelle della soluzione originaria. Di conseguenza, anche la grandezza terminale non imposta direttamente dal generatore ideale assume lo stesso valore che aveva nel ramo sostituito.
Il teorema di sostituzione, nella sua formulazione generale, non richiede necessariamente che la rete sia lineare: la condizione essenziale è che la sostituzione preservi una soluzione univoca e compatibile con le grandezze terminali considerate.
Il punto essenziale è che il teorema di sostituzione riguarda una specifica condizione di funzionamento.
Non afferma che il nuovo elemento possieda la stessa caratteristica elettrica del ramo originario per qualsiasi possibile carico o eccitazione.
Questa osservazione permette di distinguere nettamente il teorema di sostituzione dall’equivalenza di Thévenin e Norton.
Un equivalente di Thévenin o Norton riproduce il comportamento ai morsetti di una rete lineare per tutti i carichi compatibili con il modello. La sostituzione, invece, preserva una particolare soluzione della rete.
Perché il teorema di sostituzione è utile
Il teorema può essere impiegato per semplificare dimostrazioni, verificare proprietà delle reti oppure isolare una parte del circuito senza modificare il punto di funzionamento della porzione restante.
Esso è inoltre concettualmente importante perché mostra che, ai fini della soluzione del resto della rete, ciò che conta in un determinato punto di funzionamento è la coppia di grandezze terminali imposta dal ramo.
Il teorema di Tellegen
Il teorema di Tellegen è uno dei risultati più generali della teoria delle reti.
A differenza di molti altri teoremi circuitali, esso non dipende dalla particolare legge costitutiva dei componenti. Il suo fondamento è essenzialmente topologico: deriva dalle leggi di Kirchhoff e dalla struttura di interconnessione della rete.
Consideriamo una rete costituita da \(b\) rami. Per ciascun ramo \(k\) definiamo una tensione \(v_k\) e una corrente \(i_k\), scegliendo riferimenti coerenti secondo la convenzione dell’utilizzatore: la corrente positiva entra nel morsetto assunto positivo per la tensione.
Se le tensioni soddisfano la legge di Kirchhoff delle tensioni e le correnti soddisfano la legge di Kirchhoff delle correnti, allora vale:
\[
\sum_{k=1}^{b}v_k i_k=0
\]
Dimostrazione attraverso i potenziali nodali
Orientiamo il generico ramo \(k\) dal nodo \(a\) al nodo \(b\). La sua tensione può essere scritta come
\[
v_k=V_a-V_b.
\]
Pertanto:
\[
\sum_kv_ki_k
=
\sum_k(V_a-V_b)i_k.
\]
Raggruppando tutti i termini relativi allo stesso nodo, l’espressione può essere interpretata come la somma, estesa a tutti i nodi, del potenziale del nodo moltiplicato per la somma algebrica delle correnti associate a quel nodo.
Per ciascun nodo, tuttavia, la KCL impone che tale somma algebrica sia nulla.
Di conseguenza:
\[
\sum_kv_ki_k=0.
\]
Il risultato non richiede che i resistori siano lineari, né che tutti i componenti siano passivi. Ciò che è essenziale è che le grandezze considerate siano compatibili con le leggi di Kirchhoff sulla stessa struttura di rete.
Significato del teorema
Se per ogni ramo adottiamo la convenzione dell’utilizzatore, il prodotto
\[
p_k=v_ki_k
\]
rappresenta la potenza istantanea assorbita dal ramo.
La relazione di Tellegen assume allora la forma
\[
\sum_kp_k=0.
\]
Le potenze positive, assorbite da alcuni elementi, sono quindi compensate dalle potenze negative, corrispondenti agli elementi che stanno erogando energia.
Questo collegamento sarà particolarmente importante nello studio sistematico del bilancio energetico e della potenza elettrica.
È però essenziale osservare che Tellegen è più generale di una semplice legge di conservazione della potenza: la sua origine matematica risiede nella compatibilità fra KCL e KVL.
Forma generale di Tellegen
Il teorema può essere formulato in modo ancora più generale.
Se un insieme di tensioni di ramo \(\{v_k^{(1)}\}\) soddisfa la KVL e un insieme di correnti \(\{i_k^{(2)}\}\) soddisfa la KCL sulla stessa topologia orientata, allora:
\[
\sum_k v_k^{(1)}i_k^{(2)}=0.
\]
Le tensioni e le correnti non devono quindi necessariamente appartenere alla stessa soluzione fisica della rete.
La forma usuale
\[
\sum_kv_ki_k=0
\]
si ottiene semplicemente scegliendo tensioni e correnti appartenenti alla medesima soluzione.
Il teorema di reciprocità
Un’altra proprietà importante di molte reti lineari è la reciprocità.
Nel caso delle reti resistive considerate finora, una rete costituita da elementi lineari bilaterali presenta proprietà di reciprocità. La linearità, tuttavia, non è da sola sufficiente: la presenza di generatori controllati o di altri elementi non reciproci può rendere la rete non reciproca.
Per verificare la reciprocità si considerano due coppie di morsetti, indicate schematicamente come posizione 1 e posizione 2. Le eventuali sorgenti indipendenti interne alla rete vengono disattivate, lasciando attiva soltanto la sorgente utilizzata come eccitazione di prova.
Supponiamo di applicare una corrente \(I_1\) nella posizione 1 e di misurare nella posizione 2 una tensione \(V_2\). Definiamo la resistenza di trasferimento
\[
R_{21}=\frac{V_2}{I_1}.
\]
Scambiamo ora la posizione dell’eccitazione e quella della risposta: applichiamo una corrente \(I_2\) nella posizione 2 e misuriamo nella posizione 1 la tensione \(V_1\). Si ottiene
\[
R_{12}=\frac{V_1}{I_2}.
\]
Mantenendo convenzioni coerenti per i versi delle correnti e le polarità delle tensioni nelle due configurazioni, per una rete reciproca vale:
\[
R_{12}=R_{21}
\]
Consideriamo una rete lineare e reciproca e individuiamo due coppie di morsetti, che indicheremo schematicamente come posizione 1 e posizione 2.
Supponiamo di applicare una sorgente nella posizione 1 e di misurare una risposta nella posizione 2.
In una rete reciproca, scambiando opportunamente la posizione dell’eccitazione e quella della risposta, la relazione di trasferimento rimane invariata.
Per esempio, se una corrente \(I_1\) applicata nella posizione 1 produce nella posizione 2 la tensione \(V_2\), possiamo definire la resistenza di trasferimento
\[
R_{21}=\frac{V_2}{I_1}.
\]
Applicando invece una corrente \(I_2\) nella posizione 2 e misurando la tensione \(V_1\) nella posizione 1 otteniamo
\[
R_{12}=\frac{V_1}{I_2}.
\]
Per una rete reciproca:
\[
R_{12}=R_{21}
\]
La reciprocità non deve però essere confusa con una proprietà universale di qualsiasi circuito lineare.
Nel contesto delle reti resistive studiate finora essa è garantita dalle usuali reti costruite mediante elementi lineari bilaterali. Non deve invece essere applicata automaticamente a reti contenenti elementi unilaterali o dispositivi attivi che producano un comportamento non reciproco.
La reciprocità acquista una formulazione particolarmente elegante quando le reti vengono descritte mediante parametri di trasferimento e doppi bipoli; tale formalizzazione appartiene a una fase successiva dello studio delle reti.
Confronto fra i teoremi
I teoremi esaminati hanno finalità differenti e non devono essere usati come strumenti intercambiabili.
- Millman è particolarmente efficace quando molti rami sono collegati fra gli stessi due nodi e consente di determinare direttamente la tensione nodale.
- Il teorema di sostituzione permette di sostituire un ramo mantenendo invariata una specifica soluzione della rete.
- Il teorema di Tellegen esprime una proprietà globale della rete derivante direttamente dalla compatibilità fra KCL e KVL.
- Il teorema di reciprocità descrive la simmetria fra eccitazione e risposta nelle reti che possiedono le necessarie proprietà di reciprocità.
Il metodo più conveniente dipende quindi dalla struttura del circuito e dalla grandezza che si desidera determinare.
Errori frequenti nell’applicazione del teorema di Millman
Confondere una corrente con la tensione fra i nodi
La quantità
\[
\sum_i\frac{E_i}{R_i}
\]
ha dimensioni di corrente. La tensione \(V_{AB}\) si ottiene soltanto dividendo questa quantità per
\[
\sum_i\frac1{R_i}.
\]
Ignorare la polarità dei generatori
Le forze elettromotrici devono entrare nella sommatoria con il proprio segno algebrico. Invertire un generatore significa cambiare il segno del relativo contributo.
Dimenticare un ramo puramente resistivo
Un resistore collegato direttamente fra i due nodi non compare al numeratore, ma la sua conduttanza deve essere inserita nel denominatore.
Interpretare una corrente negativa come un errore
Se una corrente risulta negativa, significa semplicemente che il suo verso reale è opposto a quello scelto come riferimento.
Applicare Millman a una topologia non adatta
La formula compatta di Millman richiede che i rami siano collegati fra gli stessi due nodi. In una rete più generale è necessario utilizzare il metodo nodale oppure un altro metodo di analisi appropriato.
Confondere Millman con Thévenin o Norton
Millman determina direttamente una tensione nodale in una particolare struttura parallela. Thévenin e Norton costruiscono invece un circuito equivalente visto da una coppia di morsetti. I concetti sono collegati, ma non coincidono.
Applicare la reciprocità senza verificarne le condizioni
La reciprocità non deriva dalla sola linearità. Occorre che la rete presenti anche le opportune proprietà di reciprocità e bilateralità.
Conclusioni
Il teorema di Millman rappresenta uno degli esempi più chiari di come una struttura particolare della rete possa trasformare le leggi generali dei circuiti in uno strumento di calcolo estremamente compatto.
La sua derivazione dalla KCL mostra che non si tratta di una formula isolata da memorizzare: Millman è una conseguenza diretta del metodo nodale applicato a una rete con due nodi comuni e più rami in parallelo.
La formulazione mediante le conduttanze ne mette inoltre in evidenza il significato fisico, mentre l’estensione ai generatori ideali di corrente mostra come il procedimento possa essere generalizzato mantenendo sempre come riferimento le leggi di Kirchhoff.
Il teorema di sostituzione, il teorema di Tellegen e il teorema di reciprocità completano il quadro introducendo tre idee differenti: la conservazione di una specifica soluzione, una proprietà topologica globale della rete e la simmetria fra eccitazione e risposta.
Questi risultati preparano naturalmente lo studio dell’energia e della potenza nelle reti elettriche, dove il prodotto fra tensione e corrente assumerà un ruolo centrale e il bilancio espresso dal teorema di Tellegen acquisterà una immediata interpretazione energetica.
