Teoremi di Thévenin e Norton: formule ed esempi

Una rete elettrica può contenere molti generatori e resistori, presentare numerosi nodi e richiedere un sistema di equazioni piuttosto articolato per essere risolta. Se però l’interesse è rivolto soltanto a ciò che accade su una determinata coppia di morsetti, spesso non è necessario conservare tutta la complessità interna della rete.

I teoremi di Thévenin e Norton permettono infatti di sostituire, nelle opportune condizioni, una rete lineare osservata da due morsetti con un circuito equivalente estremamente semplice, capace di riprodurne lo stesso comportamento elettrico esterno.

L’idea fondamentale non consiste quindi nel rendere la rete originale fisicamente identica a una rete più semplice, ma nel costruire un modello che, visto dal carico collegato ai morsetti, si comporti nello stesso modo.

Equivalenza ai morsetti

Consideriamo una rete elettrica accessibile attraverso due morsetti che indichiamo con \(A\) e \(B\). Fissiamo come tensione ai morsetti

e assumiamo positiva la corrente \(I\) quando esce dalla rete attraverso il morsetto \(A\) e viene fornita al circuito esterno.

Due reti sono equivalenti rispetto ai morsetti \(A\)-\(B\) quando, nelle condizioni considerate, presentano la stessa relazione fra la tensione \(V\) e la corrente \(I\) ai morsetti. Un carico collegato esternamente non può quindi distinguerle attraverso le grandezze elettriche presenti sulla porta.

L’equivalenza è dunque un’equivalenza esterna ai morsetti. Non significa che le due reti abbiano:

• la stessa struttura interna;
• le stesse correnti nei rami interni;
• le stesse tensioni interne;
• le stesse dissipazioni nei singoli componenti;
• lo stesso numero o lo stesso tipo di elementi.

Ciò che viene conservato è il comportamento elettrico osservabile dalla coppia di morsetti scelta.

La caratteristica esterna di una rete lineare

Il fondamento dei teoremi di Thévenin e Norton è la linearità, già utilizzata nel principio di sovrapposizione. Per una rete lineare resistiva, la relazione fra la tensione e la corrente ai morsetti è una relazione affine.

Con le convenzioni appena fissate essa può essere scritta nella forma

Questa equazione contiene già l’essenza del teorema di Thévenin.

Il termine \(V_{Th}\) rappresenta il valore della tensione quando la corrente erogata dalla rete è nulla. Il coefficiente \(R_{Th}\) descrive invece di quanto diminuisce la tensione ai morsetti quando aumenta la corrente fornita al circuito esterno.

Dal punto di vista geometrico, la caratteristica \(V-I\) di una rete lineare è quindi una retta: l’intercetta sull’asse delle tensioni è \(V_{Th}\), mentre la pendenza, con le convenzioni adottate, è \(-R_{Th}\).

Teorema di Thévenin

Nel caso di una rete lineare resistiva a due morsetti, in condizioni di funzionamento ben poste, il teorema di Thévenin afferma che il comportamento esterno della rete rispetto alla coppia di morsetti considerata può essere rappresentato mediante:

• un generatore ideale di tensione \(V_{Th}\);
• una resistenza \(R_{Th}\) collegata in serie al generatore.

Il circuito così ottenuto prende il nome di equivalente di Thévenin.

Il suo valore non dipende dal particolare carico che verrà successivamente collegato ai morsetti, purché la rete interna rimanga invariata e continuino a valere le ipotesi del modello lineare considerato.

La tensione di Thévenin

Per determinare \(V_{Th}\) si considerano i morsetti \(A\)-\(B\) in circuito aperto. Il carico eventualmente collegato viene quindi rimosso e dai morsetti non viene erogata corrente:

\[
I=0.
\]

Inserendo questa condizione nella caratteristica

\[
V=V_{Th}-R_{Th}I
\]

si ottiene immediatamente

dove \(V_{oc}\), dall’inglese open-circuit voltage, è la tensione a vuoto misurata fra i morsetti secondo la polarità scelta.

Durante il calcolo di \(V_{Th}\) i generatori della rete rimangono attivi. L’apertura riguarda soltanto il circuito esterno collegato ai morsetti. La rete interna viene quindi risolta normalmente utilizzando, a seconda della struttura, le leggi di Kirchhoff, il metodo nodale, il metodo delle correnti di maglia o le equivalenze già studiate.

La resistenza di Thévenin con sole sorgenti indipendenti

Consideriamo inizialmente una rete lineare resistiva contenente soltanto resistori e sorgenti indipendenti.

Per determinare \(R_{Th}\) si annullano tutte le sorgenti indipendenti e si calcola la resistenza vista guardando all’interno della rete dai morsetti \(A\)-\(B\).

Annullare una sorgente significa porre uguale a zero la grandezza che essa impone. Di conseguenza:

• un generatore ideale indipendente di tensione posto a \(0\,\text{V}\) viene sostituito da un cortocircuito ideale;
• un generatore ideale indipendente di corrente posto a \(0\,\text{A}\) viene sostituito da un circuito aperto ideale.

Questa procedura non è una regola grafica arbitraria. Un generatore ideale di tensione nulla impone infatti una differenza di potenziale nulla fra i propri morsetti, comportamento corrispondente a un cortocircuito ideale. Analogamente, un generatore ideale di corrente nulla impone corrente nulla nel proprio ramo, comportamento corrispondente a un circuito aperto.

Dopo avere annullato correttamente le sorgenti indipendenti si calcola quindi:

Se la rete contiene soltanto resistori passivi, questa resistenza può normalmente essere determinata mediante le consuete combinazioni in serie, parallelo ed eventuali trasformazioni già studiate.

Perché la procedura funziona

La rete lineare contiene due contributi distinti al comportamento ai morsetti.

Il primo è dovuto alle sorgenti indipendenti presenti nella rete e determina la tensione a vuoto \(V_{Th}\). Il secondo descrive invece come la rete reagisce alla corrente scambiata con il circuito esterno.

Grazie alla linearità, annullando le sorgenti indipendenti rimane proprio la parte della relazione che lega la variazione della tensione ai morsetti alla corrente imposta dall’esterno. Nel caso resistivo tale rapporto è rappresentato da \(R_{Th}\).

Per questo motivo l’equazione esterna assume la forma

\[
V=V_{Th}-R_{Th}I.
\]

Il generatore \(V_{Th}\) produce quindi l’intercetta della caratteristica, mentre \(R_{Th}\) ne determina la pendenza.

Reti con sorgenti dipendenti

La presenza di una sorgente dipendente non rende automaticamente inapplicabile il teorema di Thévenin. Se la rete rimane lineare e il problema è ben posto, è ancora possibile determinare un equivalente ai morsetti.

Esiste però una differenza fondamentale rispetto al caso precedente:

Il loro valore dipende infatti da una tensione o da una corrente della rete. Eliminarle significherebbe modificare la relazione costitutiva del circuito che si vuole rappresentare.

Si annullano quindi soltanto le eventuali sorgenti indipendenti e si applica ai morsetti una sorgente di prova.

Per esempio, imponendo una tensione \(V_{test}\) e calcolando la corrente \(I_{test}\) assorbita dalla rete, oppure imponendo una corrente e calcolando la tensione risultante, si ottiene:

dove, in questa formula, \(I_{test}\) è assunto positivo entrante nella rete dal morsetto positivo della tensione di prova. È importante dichiarare questa convenzione perché, durante la normale utilizzazione dell’equivalente, avevamo invece assunto positiva la corrente \(I\) erogata dalla rete verso il carico.

La sorgente di prova non appartiene alla rete originale. È uno strumento di analisi utilizzato per misurarne la risposta ai morsetti dopo avere annullato le sorgenti indipendenti.

Un breve esempio con sorgente dipendente

Supponiamo che, dopo avere annullato le eventuali sorgenti indipendenti, la rete vista dai morsetti contenga in serie un resistore

\[
R=4\,\Omega
\]

e una sorgente di tensione controllata in corrente, descritta dalla relazione

\[
V_d=(2\,\Omega)i_x.
\]

Nella particolare configurazione considerata tutti gli elementi sono attraversati dalla stessa corrente; applicando quindi ai morsetti una corrente di prova \(I_{test}\), risulta

\[
i_x=I_{test}.
\]

La tensione ai morsetti vale pertanto

\[
V_{test}=4I_{test}+2I_{test}=6I_{test}.
\]

Da cui:

Se la sorgente dipendente fosse stata erroneamente eliminata, si sarebbe ottenuto \(4\,\Omega\): un valore che non descriverebbe la risposta reale della rete.

Determinazione di \(R_{Th}\) mediante tensione a vuoto e corrente di cortocircuito

Dalla caratteristica

\[
V=V_{Th}-R_{Th}I
\]

possiamo ricavare un secondo metodo per determinare la resistenza equivalente.

Poniamo i morsetti in cortocircuito. In questa condizione:

\[
V=0.
\]

Indicando con \(I_{sc}\) la corrente di cortocircuito positiva nel verso scelto per la corrente erogata dalla rete, abbiamo:

\[
0=V_{Th}-R_{Th}I_{sc}.
\]

Se \(I_{sc}\) è finita e diversa da zero, segue:

Questa relazione è molto utile, ma non deve essere interpretata come una formula da applicare automaticamente a qualsiasi rete. Occorre che tensione a vuoto e corrente di cortocircuito siano definite e finite e che il rapporto descriva correttamente la caratteristica lineare della porta.

Nei casi degeneri, oppure in modelli ideali particolari, può essere preferibile determinare la resistenza equivalente direttamente mediante una sorgente di prova.

Teorema di Norton

Lo stesso comportamento ai morsetti può essere rappresentato in una seconda forma equivalente.

Il teorema di Norton afferma che, nelle medesime condizioni di linearità, una rete osservata da due morsetti può essere rappresentata mediante:

• un generatore ideale di corrente \(I_N\);
• una resistenza \(R_N\) collegata in parallelo al generatore.

L’equivalente di Norton non descrive quindi una proprietà differente della rete: rappresenta lo stesso comportamento esterno già descritto dall’equivalente di Thévenin, ma attraverso una diversa configurazione circuitale.

La corrente di Norton

Conserviamo le convenzioni adottate: \(V=V_A-V_B\) e corrente \(I\) positiva quando viene erogata dalla rete attraverso il morsetto \(A\).

Nell’equivalente di Norton orientiamo il generatore \(I_N\) da \(B\) verso \(A\), in modo che la corrente fornita al circuito esterno attraverso il morsetto \(A\) sia positiva secondo la convenzione adottata.

Ponendo i morsetti in cortocircuito si ha \(V=0\). La corrente che fluisce nel cortocircuito nel verso di riferimento è la corrente che l’equivalente di Norton deve essere in grado di fornire.

Con queste convenzioni:

La relazione è valida soltanto dopo avere fissato chiaramente il verso di riferimento. Se il verso scelto per la corrente di cortocircuito fosse opposto, il valore algebrico cambierebbe di segno.

La resistenza di Norton

Poiché gli equivalenti di Thévenin e Norton devono presentare esattamente la stessa caratteristica ai morsetti, la resistenza interna deve essere la stessa:

Questo risultato non è una coincidenza. Entrambe le resistenze rappresentano la risposta della stessa rete lineare quando si osserva come varia la tensione ai morsetti al variare della corrente scambiata con l’esterno.

Equivalenza fra Thévenin e Norton

Per l’equivalente di Thévenin abbiamo ottenuto

\[
V=V_{Th}-R_{Th}I.
\]

Risolvendo rispetto a \(I\):

\[
I=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}-\frac{V}{R_{Th}}.
\]

Ponendo

\[
I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}
\]

e

\[
R_N=R_{Th},
\]

si ottiene la caratteristica dell’equivalente di Norton:

\[
I=I_N-\frac{V}{R_N}.
\]

Pertanto, quando i parametri sono finiti e la trasformazione è applicabile:

Thévenin e Norton sono quindi due diverse rappresentazioni della stessa retta caratteristica ai morsetti.

Nella rappresentazione di Thévenin viene messa in evidenza l’intercetta di tensione \(V_{Th}\); nella rappresentazione di Norton viene messa in evidenza l’intercetta di corrente \(I_N\).

Significato della tensione a vuoto e della corrente di cortocircuito

La caratteristica

\[
V=V_{Th}-R_{Th}I
\]

permette di attribuire un significato geometrico immediato alle due grandezze fondamentali.

Quando \(I=0\):

\[
V=V_{Th}=V_{oc}.
\]

La tensione di Thévenin è quindi l’intercetta della caratteristica sull’asse delle tensioni.

Quando \(V=0\):

\[
I=I_N=I_{sc}.
\]

La corrente di Norton è quindi, con i riferimenti adottati, l’intercetta sull’asse delle correnti.

La resistenza equivalente collega le due intercette:

\[
R_{Th}=R_N=\frac{V_{oc}}{I_{sc}}
\]

quando tale rapporto è definito.

Collegamento di un carico

Il vantaggio operativo degli equivalenti diventa particolarmente evidente quando ai morsetti viene collegato un carico resistivo \(R_L\).

Utilizzando l’equivalente di Thévenin, la rete originale viene sostituita da \(V_{Th}\) e \(R_{Th}\) in serie con il carico.

La corrente nel carico è quindi:

e la tensione sul carico:

\[
V_L=R_L I_L
\]

ossia

\[
V_L=V_{Th}\frac{R_L}{R_{Th}+R_L}.
\]

Con Norton si ottiene naturalmente lo stesso risultato. La corrente \(I_N\) si divide fra \(R_N\) e \(R_L\) e, poiché \(R_N=R_{Th}\), la tensione e la corrente sul carico coincidono con quelle ottenute attraverso Thévenin.

L’utilità dei due teoremi emerge soprattutto quando la rete interna rimane invariata mentre cambia il carico: la rete complessa deve essere risolta una sola volta per determinarne l’equivalente.

Esempio numerico completo

Consideriamo una rete costituita da:

• un generatore ideale \(E=12\,\text{V}\);
• un resistore \(R_1=4\,\Omega\) collegato fra il terminale positivo del generatore e il morsetto \(A\);
• un resistore \(R_2=6\,\Omega\) collegato fra \(A\) e il morsetto \(B\), assunto come riferimento;
• un carico \(R_L=3\,\Omega\) collegato fra \(A\) e \(B\).

Vogliamo sostituire tutta la rete a monte del carico con i suoi equivalenti di Thévenin e Norton e verificare che il comportamento del carico rimanga invariato.

1. Rimozione del carico

Per trovare l’equivalente osservato dai morsetti \(A\)-\(B\), rimuoviamo \(R_L\).

Rimangono il generatore da \(12\,\text{V}\), \(R_1=4\,\Omega\) e \(R_2=6\,\Omega\).

2. Calcolo della tensione di Thévenin

A morsetti aperti, \(R_1\) e \(R_2\) formano un partitore di tensione. Pertanto:

\[
V_{Th}=12\frac{6}{4+6}.
\]

Da cui:

3. Calcolo della resistenza di Thévenin

La rete contiene una sola sorgente indipendente di tensione. Per determinarne la resistenza equivalente la poniamo a zero e la sostituiamo quindi con un cortocircuito.

Visti dai morsetti \(A\)-\(B\), \(R_1\) e \(R_2\) risultano in parallelo:

\[
R_{Th}=R_1\parallel R_2.
\]

\[
R_{Th}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.
\]

\[
R_{Th}=\frac{4\cdot6}{4+6}.
\]

4. Equivalente di Thévenin

La rete originale vista dai morsetti può quindi essere sostituita da:

\[
V_{Th}=7{,}2\,\text{V}
\]

in serie con

\[
R_{Th}=2{,}4\,\Omega.
\]

5. Equivalente di Norton

La corrente di Norton vale:

\[
I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}.
\]

\[
I_N=\frac{7{,}2}{2{,}4}.
\]

e:

\[
R_N=R_{Th}=2{,}4\,\Omega.
\]

Possiamo verificare direttamente il valore di \(I_N\) cortocircuitando i morsetti \(A\)-\(B\). In questa situazione \(R_2\) viene bypassato dal cortocircuito e la corrente è determinata da \(E\) e \(R_1\):

\[
I_{sc}=\frac{12}{4}=3\,\text{A}.
\]

Quindi:

\[
I_N=I_{sc}=3\,\text{A}.
\]

6. Ricollegamento del carico

Ricolleghiamo ora

\[
R_L=3\,\Omega.
\]

Utilizzando l’equivalente di Thévenin:

\[
I_L=\frac{7{,}2}{2{,}4+3}.
\]

\[
I_L=\frac{7{,}2}{5{,}4}.
\]

La tensione sul carico vale:

\[
V_L=R_LI_L
\]

\[
V_L=3\cdot1{,}333\ldots
\]

7. Verifica sulla rete originale

Torniamo ora alla rete iniziale, senza utilizzare Thévenin.

Con \(R_L=3\,\Omega\), il parallelo fra \(R_2\) e il carico vale:

\[
R_2\parallel R_L=
\frac{6\cdot3}{6+3}
=2\,\Omega.
\]

La resistenza totale vista dal generatore è quindi:

\[
R_{tot}=4+2=6\,\Omega.
\]

La corrente fornita dal generatore vale:

\[
I=\frac{12}{6}=2\,\text{A}.
\]

La tensione sul parallelo, che coincide con la tensione del carico, è:

\[
V_L=2\cdot2=4\,\text{V}.
\]

Di conseguenza:

\[
I_L=\frac{4}{3}=1{,}333\ldots\,\text{A}.
\]

I valori coincidono esattamente con quelli ottenuti attraverso l’equivalente:

La struttura interna delle due reti è completamente diversa, ma il carico presenta la stessa tensione e la stessa corrente. È questo il significato concreto dell’equivalenza ai morsetti.

Massimo trasferimento di potenza

L’equivalente di Thévenin permette anche di stabilire in modo particolarmente semplice quale valore di un carico resistivo riceve la massima potenza dalla rete.

Consideriamo un equivalente costituito da \(V_{Th}\), \(R_{Th}\) e un carico variabile \(R_L\), con \(R_{Th}>0\).

La corrente è:

\[
I_L=\frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_L}.
\]

La potenza assorbita dal carico vale:

\[
P_L=R_LI_L^2.
\]

Sostituendo l’espressione della corrente:

\[
P_L=
\frac{V_{Th}^{2}R_L}
{\left(R_{Th}+R_L\right)^2}.
\]

Per individuare il massimo deriviamo rispetto a \(R_L\):

\[
\frac{dP_L}{dR_L}
=
V_{Th}^{2}
\frac{R_{Th}-R_L}
{\left(R_{Th}+R_L\right)^3}.
\]

La derivata si annulla quando:

\[
R_{Th}-R_L=0.
\]

Pertanto:

Nel caso resistivo lineare passivo considerato, la potenza trasferita al carico è quindi massima quando la sua resistenza è uguale alla resistenza di Thévenin della rete che lo alimenta.

In questa condizione:

\[
I_L=\frac{V_{Th}}{2R_{Th}}
\]

e la massima potenza disponibile sul carico è:

Questo risultato non deve essere confuso con il problema generale del rendimento energetico. Il teorema stabilisce la condizione di massima potenza ricevuta dal carico; la trattazione generale di potenza, perdite e rendimento appartiene a un problema più ampio.

Quando Thévenin e Norton sono particolarmente utili

I due equivalenti sono vantaggiosi soprattutto quando:

• la rete interna è complessa ma interessa soltanto ciò che avviene su una coppia di morsetti;
• il carico deve essere cambiato più volte;
• si vuole studiare rapidamente il punto di funzionamento del carico;
• si deve confrontare l’effetto di diversi valori di \(R_L\);
• si vuole separare il comportamento della sorgente o della rete di alimentazione da quello del dispositivo collegato;
• si vuole determinare il massimo trasferimento di potenza.

Una volta calcolati \(V_{Th}\) e \(R_{Th}\), non è più necessario risolvere l’intera rete per ogni nuovo valore del carico.

Condizioni di validità

La forma sviluppata in questo articolo riguarda principalmente reti lineari resistive in corrente continua.

La linearità è essenziale perché permette di descrivere il comportamento ai morsetti mediante una relazione affine fra tensione e corrente.

La rete può contenere:

• resistori lineari;
• sorgenti indipendenti;
• sorgenti dipendenti lineari.

La presenza di sorgenti dipendenti richiede però di conservarle attive durante il calcolo della resistenza equivalente e, quando necessario, di utilizzare una sorgente di prova.

Per reti non lineari, la caratteristica ai morsetti non è in generale una retta e non può essere rappresentata globalmente mediante un unico generatore ideale e una singola resistenza costante. In particolari problemi è possibile costruire equivalenti locali o linearizzati intorno a un punto di funzionamento, ma si tratta di un’estensione differente dal teorema nella forma qui studiata.

Casi limite

La rappresentazione generale deve essere interpretata con attenzione anche in alcuni casi ideali limite.

\(R_{Th}=0\)

Se

\[
R_{Th}=0,
\]

la caratteristica diventa:

\[
V=V_{Th}.
\]

La porta si comporta quindi, nel modello ideale, come un generatore ideale di tensione. La corrispondente forma Norton richiederebbe una corrente ideale non finita se \(V_{Th}\neq0\), per cui la trasformazione mediante il semplice rapporto \(V_{Th}/R_{Th}\) non è utilizzabile.

Resistenza equivalente molto grande

Quando la resistenza equivalente tende a valori estremamente elevati, la rappresentazione Norton diventa spesso la forma più naturale. Il caso ideale limite di una sorgente di corrente perfetta richiede tuttavia particolare cautela perché alcune grandezze, come la tensione a vuoto, possono non risultare finite nel modello ideale.

Tensione a vuoto nulla

Avere

\[
V_{oc}=0
\]

non implica necessariamente che la rete sia elettricamente irrilevante. Una rete contenente sorgenti dipendenti può presentare tensione a vuoto nulla e reagire comunque a una sorgente applicata dall’esterno. In questo caso la sorgente di prova consente di determinarne correttamente la resistenza equivalente.

Reti attive e resistenza equivalente negativa

In una rete costituita esclusivamente da resistori passivi e sorgenti indipendenti ideali, la resistenza vista ai morsetti dopo l’annullamento delle sorgenti è non negativa.

Una rete lineare contenente sorgenti dipendenti può invece, in determinate configurazioni, presentare una resistenza equivalente negativa.

Ciò non significa che esista un resistore passivo con resistenza negativa: significa che la rete attiva è in grado di fornire energia e che la sua relazione tensione-corrente ai morsetti presenta una pendenza corrispondente a un valore negativo di resistenza equivalente.

In tali situazioni non devono essere estesi automaticamente i risultati ottenuti per una rete passiva, compreso il criterio elementare \(R_L=R_{Th}\) per il massimo trasferimento di potenza.

Errori concettuali frequenti

Confondere equivalenza e identità

L’equivalente di Thévenin o Norton non ricostruisce la rete originale. Riproduce soltanto il suo comportamento ai morsetti considerati.

Spegnere i generatori per calcolare \(V_{Th}\)

È errato. Per determinare la tensione a vuoto le sorgenti della rete rimangono attive. Le sorgenti indipendenti vengono annullate soltanto in una delle procedure utilizzate per determinare \(R_{Th}\).

Eliminare le sorgenti dipendenti

È errato. Una sorgente dipendente è parte della struttura lineare della rete e deve rimanere attiva.

Confondere circuito aperto e cortocircuito

A morsetti aperti:

\[
I=0.
\]

A morsetti cortocircuitati:

\[
V=0.
\]

Le due condizioni non sono intercambiabili.

Scrivere \(I_N=I_{sc}\) senza fissare il verso

La corrente è una grandezza orientata. L’uguaglianza algebrica richiede che \(I_N\) e \(I_{sc}\) siano riferite allo stesso verso.

Applicare sempre \(R_{Th}=V_{oc}/I_{sc}\)

La relazione è utile quando tensione a vuoto e corrente di cortocircuito sono ben definite e il loro rapporto rappresenta correttamente la caratteristica lineare. Nei casi dubbi, soprattutto in presenza di sorgenti dipendenti o situazioni degeneri, il metodo della sorgente di prova costituisce la procedura più generale.

Credere che Thévenin e Norton funzionino soltanto con sorgenti indipendenti

Non è vero. Le sorgenti dipendenti sono compatibili con il modello lineare, ma richiedono una determinazione più attenta della resistenza equivalente.

Procedura operativa per l’equivalente di Thévenin

1. Individuare con precisione i due morsetti rispetto ai quali costruire l’equivalente.
2. Fissare la polarità della tensione e il verso della corrente.
3. Rimuovere il carico eventualmente collegato.
4. Calcolare la tensione a vuoto \(V_{oc}\), ottenendo \(V_{Th}\).
5. Determinare \(R_{Th}\):
   • annullando le sole sorgenti indipendenti e calcolando la resistenza vista ai morsetti, quando la struttura lo consente;
   • oppure mediante una sorgente di prova, mantenendo attive le sorgenti dipendenti;
   • oppure, quando applicabile, attraverso \(V_{oc}/I_{sc}\).
6. Costruire il generatore \(V_{Th}\) in serie con \(R_{Th}\).
7. Ricollegare il carico e calcolare le grandezze richieste.
8. Quando opportuno, verificare il risultato sulla rete originale.

Procedura operativa per l’equivalente di Norton

1. Individuare i morsetti e fissare i riferimenti.
2. Determinare la corrente di cortocircuito nel verso scelto:
   \[
   I_N=I_{sc}.
   \]
3. Determinare la resistenza equivalente:
   \[
   R_N=R_{Th}.
   \]
4. Costruire il generatore ideale di corrente \(I_N\) in parallelo con \(R_N\).
5. Collegare il carico e determinare tensione e corrente.

Se l’equivalente di Thévenin è già noto, non è necessario risolvere nuovamente la rete:

\[
I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}},
\qquad
R_N=R_{Th}.
\]

Controllo dimensionale

Le relazioni principali rispettano immediatamente le unità di misura.

Per la trasformazione Thévenin-Norton:

\[
I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}
\]

e quindi:

\[
\frac{\text{V}}{\Omega}=\text{A}.
\]

Analogamente:

\[
R_{Th}=\frac{V_{oc}}{I_{sc}}
\]

fornisce:

\[
\frac{\text{V}}{\text{A}}=\Omega.
\]

Per la potenza massima:

\[
P_{L,\max}=\frac{V_{Th}^2}{4R_{Th}},
\]

da cui:

\[
\frac{\text{V}^2}{\Omega}=\text{W}.
\]

Thévenin, Norton e gli altri metodi di analisi

I teoremi di Thévenin e Norton non sostituiscono le leggi di Kirchhoff, il metodo nodale, il metodo delle correnti di maglia o il principio di sovrapposizione.

Questi strumenti svolgono funzioni differenti.

I metodi nodale e di maglia permettono di determinare le grandezze interne di una rete. La sovrapposizione consente di separare i contributi delle sorgenti indipendenti in una rete lineare. Thévenin e Norton utilizzano invece la linearità per descrivere l’intera rete attraverso il comportamento osservato da una specifica coppia di morsetti.

Nella pratica, i metodi possono essere combinati. Per esempio, \(V_{Th}\) può essere determinata mediante il metodo nodale e \(R_{Th}\) attraverso una sorgente di prova.

Un equivalente dipende dai morsetti scelti

L’equivalente di Thévenin o Norton non è una proprietà assoluta dell’intera rete indipendente dal punto di osservazione.

La stessa rete può presentare valori differenti di \(V_{Th}\), \(R_{Th}\) e \(I_N\) se viene osservata attraverso coppie di morsetti differenti.

Per questo motivo il primo passo di ogni applicazione consiste sempre nell’individuare chiaramente la porta, cioè la coppia di morsetti rispetto alla quale si vuole costruire l’equivalente.

Sintesi

I teoremi di Thévenin e Norton trasformano il modo di osservare una rete elettrica. Invece di descriverne ogni dettaglio interno, permettono di concentrarsi sulla relazione fra tensione e corrente disponibile ai morsetti.

Per una rete lineare resistiva, con le convenzioni adottate, la caratteristica esterna può essere espressa come:

Da questa relazione seguono le grandezze fondamentali:

Thévenin rappresenta la rete mediante un generatore ideale di tensione e una resistenza in serie; Norton mediante un generatore ideale di corrente e la stessa resistenza in parallelo.

Le due rappresentazioni sono esternamente equivalenti perché descrivono la stessa caratteristica ai morsetti.

Quando sono presenti sorgenti dipendenti, queste devono rimanere attive e la resistenza equivalente può essere determinata mediante una sorgente di prova.

Infine, per un carico resistivo alimentato da una rete passiva rappresentata dal suo equivalente di Thévenin, la massima potenza trasferita al carico si verifica quando:

Il risultato più importante rimane però concettuale: una rete complessa può essere sostituita, rispetto a una determinata coppia di morsetti, da un modello estremamente semplice senza modificarne il comportamento elettrico osservato dal circuito esterno.