Quando si passa dallo studio di un singolo componente elettrico allo studio di una rete formata da più bipoli collegati tra loro, il problema cambia profondamente. Non basta più conoscere la relazione tensione-corrente di ciascun componente: occorre anche stabilire quali vincoli siano imposti dal modo in cui i componenti sono collegati.
Una rete elettrica presenta quindi due aspetti distinti ma inseparabili. Il primo è topologico e riguarda la struttura delle connessioni fra nodi e rami; il secondo è fisico e riguarda il comportamento dei singoli componenti, descritto attraverso le rispettive relazioni costitutive.
Le leggi di Kirchhoff costituiscono il collegamento fondamentale fra questi due livelli. Esse non descrivono il comportamento interno di un resistore, di un generatore o di un altro bipolo, ma esprimono i vincoli imposti dalla struttura della rete e dai principi di conservazione della carica e dell’energia.
In questo articolo vedremo quindi come, partendo dalla topologia di una rete e assegnando opportunamente i riferimenti di corrente e tensione, sia possibile costruire in modo sistematico le equazioni che ne determinano il funzionamento.
Dal bipolo alla rete elettrica
Un bipolo è caratterizzato da due morsetti e da una relazione che lega la tensione ai suoi capi alla corrente che lo attraversa. Quando più bipoli vengono collegati fra loro, essi formano una rete elettrica.
La rete non è soltanto un insieme di componenti. La disposizione delle connessioni determina infatti quali correnti possono circolare e quali tensioni possono esistere fra i diversi punti del circuito.
Per descrivere la struttura della rete utilizziamo il linguaggio topologico già introdotto: nodi, rami, cammini, anelli e maglie. In questa sede non è necessario ridefinire integralmente questi concetti; ciò che interessa è comprendere come essi intervengano nella costruzione delle equazioni circuitali.
Come stabilito nella trattazione topologica precedente, salvo diversa indicazione utilizziamo il termine ramo nel senso di ramo elementare: esso corrisponde a un singolo bipolo collegato tra due nodi. A ogni ramo associamo una corrente e una tensione di riferimento. Le leggi di Kirchhoff stabiliscono le relazioni che tali grandezze devono rispettare quando i rami sono interconnessi.
Topologia e comportamento dei componenti
È fondamentale distinguere due categorie di equazioni.
Le equazioni topologiche dipendono esclusivamente dal modo in cui i rami sono collegati. Sono le equazioni fornite dalle leggi di Kirchhoff.
Le relazioni costitutive, invece, dipendono dalla natura del singolo componente.
Per esempio, per un resistore ideale vale:
\[
v=Ri
\]
Questa relazione deriva dal modello del resistore e non dalle leggi di Kirchhoff.
Kirchhoff ci dice invece quali relazioni devono esistere fra tutte le correnti che convergono in un nodo e fra tutte le tensioni incontrate lungo un percorso chiuso.
La soluzione di una rete nasce quindi dalla combinazione di:
- struttura topologica;
- leggi di Kirchhoff;
- relazioni costitutive dei componenti.
Questa distinzione è essenziale. Le leggi di Kirchhoff non sostituiscono la legge di Ohm, e la legge di Ohm non sostituisce le leggi di Kirchhoff: svolgono funzioni differenti e complementari.
Orientazione della rete: correnti e tensioni di riferimento
Prima di scrivere le equazioni di una rete occorre assegnare un riferimento alle grandezze elettriche.
Per ciascun ramo si sceglie arbitrariamente:
- un verso positivo per la corrente;
- una polarità di riferimento per la tensione.
La parola arbitrariamente è importante. Non è necessario conoscere in anticipo il verso fisico effettivo della corrente.
Supponiamo, per esempio, di assegnare a una corrente \(i\) un verso da sinistra verso destra. Se dalla soluzione delle equazioni otteniamo:
\[
i=-2\,\text{A}
\]
non abbiamo commesso alcun errore. Il segno negativo significa semplicemente che la corrente reale ha intensità \(2\,\text{A}\) e scorre nel verso opposto rispetto al riferimento inizialmente scelto.
Lo stesso principio vale per le tensioni. Una tensione negativa indica che la polarità fisica risultante è opposta a quella assunta come riferimento.
Questa possibilità permette di analizzare una rete senza dover prima “indovinare” il comportamento del circuito.
Conservazione della carica e bilancio al nodo
La prima legge di Kirchhoff ha origine dal principio di conservazione della carica elettrica.
Consideriamo una piccola regione che racchiuda un nodo e indichiamo con \(q\) la carica elettrica presente al suo interno.
Se assumiamo positive le correnti uscenti dalla regione, il bilancio di carica può essere espresso nella forma:
\[
\frac{dq}{dt}+\sum_k i_k=0
\]
Questa relazione afferma che un’eventuale variazione della carica presente nella regione deve essere compensata dal flusso netto di corrente attraverso il suo contorno.
Nel modello circuitale a parametri concentrati, il nodo ideale non viene considerato un elemento capace di immagazzinare una quantità significativa di carica. Gli eventuali fenomeni di accumulo vengono rappresentati mediante specifici elementi circuitali, come i condensatori.
Per il nodo ideale il termine di accumulo non compare quindi come variabile indipendente del modello e il bilancio di carica conduce alla relazione:
\[
\sum_k i_k=0
\]
La KCL non è pertanto limitata ai soli circuiti in regime stazionario: nel modello a parametri concentrati può essere applicata istante per istante, purché tutte le correnti dei rami siano correttamente rappresentate.
Otteniamo così la prima legge di Kirchhoff.
È quindi importante non interpretare la legge dei nodi come una semplice regola algebrica. Essa rappresenta, nel modello circuitale, una conseguenza della conservazione della carica.
Prima legge di Kirchhoff — KCL
La prima legge di Kirchhoff, indicata frequentemente con l’acronimo KCL dall’inglese Kirchhoff’s Current Law, afferma che la somma algebrica delle correnti associate ai rami incidenti su un nodo è nulla:
\[
{\sum_k i_k=0}
\]
Per utilizzare correttamente questa relazione è necessario fissare una convenzione dei segni.
Per esempio, possiamo assumere:
- positive le correnti entranti nel nodo;
- negative le correnti uscenti dal nodo.
Naturalmente sarebbe possibile adottare la convenzione opposta. Ciò che conta è mantenerla coerentemente nella stessa equazione.
Con la convenzione appena scelta, la KCL può essere scritta anche nella forma intuitiva:
\[
\sum I_{\text{entranti}}=\sum I_{\text{uscenti}}
\]
La forma algebrica \(\sum i_k=0\) è tuttavia più generale e diventa particolarmente utile quando il numero dei rami aumenta.
La KCL dipende esclusivamente dalla connessione dei rami al nodo. Non importa se il ramo contiene un resistore, un generatore o un altro componente: una volta assegnata la corrente di ramo, essa partecipa all’equazione nodale secondo il proprio riferimento.
Applicazione elementare della KCL
Consideriamo un nodo al quale siano collegati quattro rami. Supponiamo che le correnti \(i_1\) e \(i_2\) siano orientate verso il nodo, mentre \(i_3\) e \(i_4\) siano orientate in uscita.
Applicando la KCL:
\[
i_1+i_2-i_3-i_4=0
\]
oppure, equivalentemente:
\[
i_1+i_2=i_3+i_4
\]
Se:
\[
i_1=3\,\text{A}, \qquad
i_2=2\,\text{A}, \qquad
i_3=4\,\text{A}
\]
si ottiene:
\[
3+2=4+i_4
\]
da cui:
\[
i_4=1\,\text{A}
\]
Il risultato significa che, nel regime considerato, la quantità di carica che raggiunge il nodo nell’unità di tempo è uguale a quella che lo abbandona.
Se avessimo ottenuto una corrente negativa, ciò avrebbe semplicemente indicato che il verso effettivo della corrente era opposto a quello inizialmente scelto.
Cammini chiusi, anelli e maglie
La seconda legge di Kirchhoff riguarda le tensioni associate a un percorso chiuso della rete.
È importante non identificare automaticamente qualsiasi percorso chiuso con una maglia.
Un percorso chiuso può attraversare più parti della rete e racchiudere al proprio interno altri rami. Una maglia, nel significato utilizzato nell’analisi delle reti planari, è invece un particolare percorso chiuso elementare che non contiene al proprio interno altri rami della rete.
La seconda legge di Kirchhoff non è però limitata alle sole maglie elementari. Essa può essere applicata a un percorso chiuso opportunamente scelto, purché siano rispettate le condizioni del modello circuitale utilizzato.
La distinzione diventerà particolarmente importante quando discuteremo l’indipendenza delle equazioni.
Fondamento fisico della legge delle tensioni
Quando una carica attraversa un componente elettrico, può acquistare o cedere energia. La tensione rappresenta infatti energia per unità di carica.
Se percorriamo un circuito chiuso tornando al punto di partenza, nel modello circuitale ordinario il bilancio complessivo delle variazioni di tensione deve risultare nullo.
Una carica che compie un percorso completo può, per esempio, ricevere energia attraversando un generatore e cederla successivamente nei componenti utilizzatori.
Da questo punto di vista, la legge delle tensioni esprime un bilancio energetico lungo il percorso chiuso.
È però necessario introdurre una precisazione importante.
La forma usuale della legge di Kirchhoff delle tensioni appartiene al modello circuitale a parametri concentrati. In tale modello le dimensioni fisiche della rete e i tempi di propagazione dei fenomeni elettromagnetici sono considerati trascurabili rispetto alle scale temporali del problema, e le tensioni dei singoli bipoli possono essere trattate come grandezze circuitali ben definite.
Se un percorso è concatenato con un flusso magnetico variabile nel tempo non correttamente rappresentato dagli elementi del modello, il campo elettrico non può essere trattato semplicemente come un campo elettrostatico conservativo e la formulazione elementare della KVL richiede una descrizione più generale.
Questa osservazione non limita l’utilità delle leggi di Kirchhoff nei circuiti ordinari: chiarisce semplicemente che anche le leggi circuitali operano entro precise ipotesi di modellazione.
Seconda legge di Kirchhoff — KVL
La seconda legge di Kirchhoff, indicata con l’acronimo KVL dall’inglese Kirchhoff’s Voltage Law, afferma che lungo un percorso chiuso la somma algebrica delle tensioni è nulla:
\[
{\sum_k v_k=0}
\]
In forma intuitiva possiamo esprimere la stessa relazione come:
\[
\sum \text{aumenti di tensione}
=
\sum \text{cadute di tensione}
\]
Anche in questo caso la seconda forma è utile per comprendere il significato fisico, mentre la forma algebrica è più generale.
Verso di percorrenza, polarità e convenzioni dei segni
Per applicare la KVL si sceglie innanzitutto un verso di percorrenza del percorso chiuso.
Anche questa scelta è arbitraria: è possibile percorrere il circuito in senso orario oppure antiorario.
Successivamente si osservano le polarità assegnate alle tensioni dei singoli bipoli.
Attraversando un elemento:
- dal morsetto contrassegnato con \( – \) al morsetto contrassegnato con \( + \), si incontra una variazione positiva di tensione;
- dal morsetto contrassegnato con \( + \) al morsetto contrassegnato con \( – \), si incontra una variazione negativa di tensione.
Questa regola è sufficiente e rende inutile memorizzare lunghi elenchi separati per generatori e resistori.
Consideriamo, per esempio, un generatore ideale di tensione \(E\) e due resistori attraversati da una corrente \(i\). Percorrendo il circuito nel verso nel quale il generatore rappresenta un aumento di tensione e i resistori due cadute, possiamo scrivere:
\[
E-R_1i-R_2i=0
\]
Se scegliessimo il verso opposto otterremmo:
\[
-E+R_1i+R_2i=0
\]
Le due equazioni sono equivalenti: la seconda è semplicemente la prima moltiplicata per \(-1\).
Il risultato fisico non dipende quindi dal verso scelto per percorrere il circuito.
Kirchhoff e relazioni costitutive: due ruoli differenti
Questo punto è centrale nell’analisi delle reti.
Le leggi di Kirchhoff descrivono i vincoli imposti dalla connessione.
Le relazioni costitutive descrivono invece il comportamento dei componenti.
Se a un nodo sono collegati tre rami, la KCL può imporre, per esempio:
\[
i_1-i_2-i_3=0
\]
Questa equazione non ci dice però in che modo \(i_2\) dipenda dalla tensione ai capi del componente presente nel secondo ramo.
Se quel componente è un resistore ideale, occorre aggiungere:
\[
v_2=R_2i_2
\]
Se invece il ramo contiene un generatore ideale di tensione:
\[
v_2=E
\]
con il segno determinato dalla polarità di riferimento.
La soluzione completa della rete nasce quindi dall’intersezione fra due insiemi di informazioni:
struttura della rete + comportamento dei componenti.
È questa combinazione che consente di determinare correnti e tensioni incognite.
Come nasce il sistema di equazioni della rete
Consideriamo una rete generica formata da più nodi e più rami.
Una procedura concettualmente corretta consiste nel:
- individuare nodi e rami;
- assegnare un verso di riferimento alle correnti di ramo;
- assegnare le polarità delle tensioni;
- scrivere le equazioni KCL necessarie;
- individuare opportuni percorsi chiusi;
- scrivere le equazioni KVL necessarie;
- aggiungere le relazioni costitutive dei componenti;
- risolvere il sistema ottenuto;
- interpretare fisicamente i segni delle soluzioni;
- verificare la coerenza del risultato.
Il punto fondamentale è che non tutte le equazioni che possiamo scrivere sono necessariamente indipendenti.
Scrivere un numero maggiore di equazioni non significa automaticamente ottenere più informazioni.
Equazioni nodali indipendenti
Consideriamo una rete connessa avente \(n\) nodi.
In linea di principio possiamo scrivere una KCL per ciascun nodo. Tuttavia queste \(n\) equazioni non sono tutte indipendenti.
Il numero delle equazioni nodali indipendenti è:
\[
n-1
\]
Per comprendere il motivo, immaginiamo di scrivere le equazioni KCL di tutti i nodi della rete adottando la stessa convenzione dei segni.
Ogni corrente di ramo compare esattamente in due equazioni: una volta come corrente uscente da un nodo e una volta come corrente entrante nell’altro nodo collegato dal ramo.
Sommando tutte le equazioni nodali, tutti i contributi delle correnti si cancellano a coppie e si ottiene un’identità:
\[
0=0
\]
Ciò significa che una delle equazioni nodali può essere ricavata dalle altre.
Per una rete connessa di \(n\) nodi sono quindi sufficienti \(n-1\) equazioni KCL indipendenti.
Albero, rami d’albero e corde
Per comprendere l’indipendenza delle equazioni associate ai percorsi chiusi è utile introdurre alcuni concetti essenziali di teoria dei grafi.
Consideriamo il grafo associato a una rete connessa.
Un albero della rete, più precisamente un albero ricoprente, è un sottografo che:
- contiene tutti i nodi della rete;
- è connesso;
- non contiene cicli.
Un albero di una rete con \(n\) nodi contiene sempre:
\[
n-1
\]
rami, detti rami d’albero.
I rami della rete che non appartengono all’albero sono detti corde.
Se la rete possiede complessivamente \(b\) rami, il numero delle corde è quindi:
\[
b-(n-1)
\]
ossia:
\[
b-n+1
\]
Ogni volta che una corda viene aggiunta all’albero, si genera esattamente un nuovo ciclo.
Il ciclo così ottenuto prende il nome di ciclo fondamentale rispetto all’albero scelto.
Questa costruzione permette di capire l’origine del numero delle equazioni indipendenti associate ai percorsi chiusi senza trasformare l’analisi circuitale in un corso completo di teoria dei grafi.
Equazioni KVL indipendenti
Per una rete connessa avente \(n\) nodi e \(b\) rami, il numero dei cicli fondamentali indipendenti è:
\[
b-n+1
\]
Possiamo quindi costruire \(b-n+1\) equazioni KVL indipendenti scegliendo opportunamente altrettanti cicli fondamentali.
Ciò non significa che la KVL possa essere scritta soltanto su questi percorsi.
È possibile applicarla anche ad altri percorsi chiusi, ma le equazioni ottenute potranno risultare combinazioni lineari di quelle già scritte.
È quindi importante distinguere:
- il numero di percorsi chiusi che possiamo individuare geometricamente;
- il numero di equazioni KVL realmente indipendenti.
Questa distinzione evita un errore frequente: pensare che ogni percorso chiuso fornisca automaticamente una nuova informazione indipendente.
Relazione fra numero di rami ed equazioni indipendenti
I due risultati:
\[
n-1
\]
e:
\[
b-n+1
\]
presentano una relazione particolarmente significativa.
Sommandoli otteniamo:
\[
(n-1)+(b-n+1)=b
\]
cioè:
\[
(n-1)+(b-n+1)=b
\]
Il numero complessivo delle equazioni topologiche indipendenti ottenibili attraverso un insieme opportuno di equazioni KCL e KVL coincide quindi con il numero dei rami della rete.
Occorre però interpretare correttamente questo conteggio. Le \(b\) equazioni topologiche non sono sufficienti, da sole, a determinare tutte le tensioni e le correnti della rete. Se a ciascuno dei \(b\) rami associamo una corrente e una tensione, le grandezze di ramo sono complessivamente \(2b\). Alle \(b\) equazioni indipendenti fornite dalla topologia devono quindi essere affiancate le \(b\) relazioni costitutive dei componenti.
Si ritrova così, anche dal punto di vista del conteggio delle equazioni, la distinzione fondamentale:
vincoli topologici della rete + relazioni costitutive dei rami = modello circuitale completo
Questo risultato mostra elegantemente come struttura nodale e struttura dei cicli siano complementari.
Non significa però che, in qualunque problema, sia necessario utilizzare contemporaneamente esattamente \(n-1\) equazioni KCL e \(b-n+1\) equazioni KVL nella stessa forma. I metodi sistematici di analisi sfrutteranno queste dipendenze in modi differenti.
Condizioni di validità delle leggi di Kirchhoff
Le leggi di Kirchhoff sono estremamente generali nell’ambito della teoria dei circuiti, ma non devono essere presentate come formule prive di ipotesi.
La rappresentazione circuitale ordinaria si fonda sul modello a parametri concentrati.
In questo modello:
- le dimensioni geometriche della rete sono sufficientemente piccole rispetto alle lunghezze caratteristiche dei fenomeni elettromagnetici considerati;
- i tempi di propagazione all’interno della rete possono essere trascurati rispetto alle scale temporali di interesse;
- le grandezze tensione e corrente possono essere associate ai singoli elementi circuitali;
- gli effetti elettromagnetici distribuiti non dominano il comportamento della rete.
La KCL deriva dalla conservazione della carica ed è compatibile con il bilancio locale della carica.
La KVL, nella forma circuitale:
\[
\sum_k v_k=0
\]
richiede invece particolare attenzione quando siano presenti campi magnetici variabili concatenati con il percorso e tali effetti non siano già rappresentati mediante opportuni elementi o generatori nel modello.
In quei casi la descrizione completa richiede le leggi dell’elettromagnetismo.
Per le reti elettriche ordinarie analizzate mediante componenti concentrati, le leggi di Kirchhoff costituiscono comunque lo strumento fondamentale per la costruzione delle equazioni circuitali.
Esempio completo: dalla rete alle equazioni
Consideriamo una rete costituita da tre nodi, che indichiamo con \(A\), \(B\) e \(O\).
Il nodo \(O\) viene assunto come riferimento.
Siano presenti quattro rami:
- un generatore ideale \(E=12\,\text{V}\) tra \(O\) e \(A\), con morsetto positivo in \(A\);
- un resistore \(R_1=4\,\Omega\) tra \(A\) e \(O\);
- un resistore \(R_2=6\,\Omega\) tra \(A\) e \(B\);
- un resistore \(R_3=3\,\Omega\) tra \(B\) e \(O\).
Indichiamo con:
- \(i_1\) la corrente fornita dal generatore verso il nodo \(A\);
- \(i_2\) la corrente da \(A\) verso \(O\) attraverso \(R_1\);
- \(i_3\) la corrente da \(A\) verso \(B\) attraverso \(R_2\);
- \(i_4\) la corrente da \(B\) verso \(O\) attraverso \(R_3\).
Dal generatore ideale segue:
\[
V_A=12\,\text{V}
\]
dove \(V_A\) rappresenta il potenziale del nodo \(A\) rispetto al nodo \(O\).
Applicando la KCL al nodo \(A\):
\[
i_1-i_2-i_3=0
\]
Applicando la KCL al nodo \(B\):
\[
i_3-i_4=0
\]
Poiché la rete presenta \(n=3\) nodi, il numero di equazioni nodali indipendenti è:
\[
n-1=2
\]
Le due equazioni appena scritte costituiscono infatti un insieme indipendente.
Equazioni lungo i percorsi chiusi
Consideriamo innanzitutto il percorso chiuso formato dal generatore \(E\) e dal resistore \(R_1\). Applicando la KVL:
\[
E-R_1i_2=0
\]
da cui:
\[
i_2=\frac{E}{R_1}
=\frac{12}{4}
=3\,\text{A}
\]
Consideriamo ora il percorso chiuso contenente il generatore, \(R_2\) e \(R_3\). Applicando nuovamente la KVL:
\[
E-R_2i_3-R_3i_4=0
\]
Dalla KCL applicata al nodo \(B\) sappiamo che:
\[
i_3=i_4
\]
pertanto:
\[
12-6i_3-3i_3=0
\]
\[
12-9i_3=0
\]
da cui:
\[
i_3=\frac{4}{3}\,\text{A}
\]
e quindi:
\[
i_4=\frac{4}{3}\,\text{A}
\]
Infine, dalla KCL applicata al nodo \(A\):
\[
i_1=i_2+i_3
\]
\[
i_1=3+\frac{4}{3}
=\frac{13}{3}\,\text{A}
\]
Verifica mediante la KVL
Consideriamo il percorso chiuso formato dal generatore e dal resistore \(R_1\).
Percorrendolo dal generatore verso il nodo \(A\), incontriamo un aumento di tensione pari a \(12\,\text{V}\) e successivamente una caduta sul resistore:
\[
12-R_1i_2=0
\]
Sostituendo:
\[
12-4\cdot3=0
\]
da cui:
\[
12-12=0
\]
La KVL è verificata.
Consideriamo ora il percorso contenente il generatore, \(R_2\) e \(R_3\):
\[
12-R_2i_3-R_3i_4=0
\]
Sostituendo i valori:
\[
12
-6\cdot\frac{4}{3}
-3\cdot\frac{4}{3}
=0
\]
ossia:
\[
12-8-4=0
\]
anche in questo caso la KVL è verificata.
Verifica fisica della soluzione
Una soluzione algebricamente corretta deve sempre essere interpretata dal punto di vista fisico.
Nel nostro esempio tutte le correnti sono risultate positive rispetto ai riferimenti scelti. Ciò significa che i versi effettivi coincidono con quelli assegnati inizialmente.
Possiamo effettuare anche una verifica energetica.
La potenza fornita dal generatore è:
\[
P_G=Ei_1
\]
quindi:
\[
P_G
=
12\cdot\frac{13}{3}
=
52\,\text{W}
\]
Le potenze dissipate nei resistori sono:
\[
P_1=R_1i_2^2
=
4\cdot3^2
=
36\,\text{W}
\]
\[
P_2
=
6\left(\frac{4}{3}\right)^2
=
\frac{32}{3}\,\text{W}
\]
\[
P_3
=
3\left(\frac{4}{3}\right)^2
=
\frac{16}{3}\,\text{W}
\]
La potenza complessivamente dissipata è:
\[
P_1+P_2+P_3
=
36+\frac{32}{3}+\frac{16}{3}
\]
\[
=
36+16
=
52\,\text{W}
\]
che coincide con la potenza fornita dal generatore:
\[
P_G=P_1+P_2+P_3=52\,\text{W}
\]
Il bilancio di potenza fornisce quindi un’ulteriore verifica della coerenza della soluzione.
Un metodo generale di lettura della rete
L’esempio precedente mostra un principio che può essere applicato a reti molto più complesse.
Di fronte a una rete non è opportuno iniziare immediatamente a scrivere formule.
È molto più efficace procedere secondo una sequenza logica:
topologia → riferimenti → KCL → KVL → relazioni costitutive → sistema → soluzione → interpretazione fisica.
La topologia stabilisce quali grandezze sono vincolate fra loro.
L’orientazione stabilisce come tali grandezze vengono rappresentate algebricamente.
La KCL impone i vincoli sulle correnti.
La KVL impone i vincoli sulle tensioni lungo i percorsi chiusi.
Le relazioni costitutive introducono il comportamento dei componenti.
La soluzione matematica fornisce infine i valori delle grandezze incognite, che devono essere sempre interpretati alla luce dei riferimenti inizialmente scelti.
Errori concettuali da evitare
Lo studio delle leggi di Kirchhoff porta frequentemente ad alcune interpretazioni errate.
La corrente non viene “consumata” in un nodo. Il nodo rappresenta una connessione; nel modello circuitale non costituisce un luogo nel quale la corrente scompare.
La corrente non sceglie il percorso più breve. La distribuzione delle correnti dipende dall’intera struttura della rete e dalle caratteristiche elettriche dei suoi componenti.
Non è necessario conoscere preventivamente il verso reale della corrente. Il verso può essere assegnato arbitrariamente e un risultato negativo ne corregge automaticamente l’interpretazione.
La KCL non è una semplice regola matematica. Essa esprime il bilancio di carica nel modello circuitale.
Una maglia non coincide necessariamente con qualsiasi percorso chiuso. La KVL può essere applicata anche a percorsi chiusi che non costituiscono maglie elementari.
La KVL non deve essere presentata come universalmente valida senza condizioni. La sua forma circuitale ordinaria appartiene al modello a parametri concentrati e richiede attenzione in presenza di fenomeni elettromagnetici distribuiti o di induzione non rappresentata dal modello.
Le leggi di Kirchhoff non descrivono il comportamento interno dei componenti. Tale comportamento è espresso dalle relazioni costitutive.
Legge di Ohm e leggi di Kirchhoff non sono leggi dello stesso tipo. La prima caratterizza un particolare modello di componente, mentre le seconde esprimono vincoli generali della rete.
Non tutte le equazioni nodali sono indipendenti. In una rete connessa di \(n\) nodi sono indipendenti soltanto \(n-1\).
Non tutte le equazioni associate ai percorsi chiusi sono indipendenti. Per una rete connessa avente \(b\) rami e \(n\) nodi, lo spazio dei cicli ha dimensione \(b-n+1\).
Verso i metodi sistematici di analisi
Le leggi di Kirchhoff consentono, almeno in linea di principio, di costruire direttamente le equazioni di qualsiasi rete compatibile con il modello circuitale considerato.
Quando però il numero dei nodi e dei rami aumenta, scrivere le equazioni senza una strategia sistematica può diventare poco efficiente.
I risultati ottenuti in questo articolo preparano quindi il terreno per metodi di analisi più strutturati.
In particolare, la distinzione fra equazioni nodali indipendenti e cicli indipendenti costituisce la base concettuale dei futuri metodi basati sui potenziali dei nodi e sulle correnti di maglia.
Allo stesso modo, le trasformazioni delle reti, i collegamenti equivalenti e i teoremi circuitali permetteranno in seguito di ridurre o semplificare problemi che potrebbero comunque essere affrontati mediante le leggi di Kirchhoff.
È però fondamentale mantenere chiaro l’ordine logico.
Prima vengono i principi generali:
struttura della rete → conservazione della carica → KCL → bilancio delle tensioni → KVL → relazioni costitutive → sistema di equazioni
Solo successivamente verranno introdotte tecniche specifiche per rendere l’analisi più rapida ed efficiente.
Conclusioni
Le leggi di Kirchhoff rappresentano uno dei passaggi fondamentali nello studio dell’Elettrotecnica perché permettono di passare dall’analisi del singolo bipolo all’analisi di una rete completa.
La prima legge stabilisce il vincolo sulle correnti nei nodi ed esprime, nel modello circuitale, il principio di conservazione della carica:
\[
\sum_k i_k=0
\]
La seconda legge stabilisce il vincolo sulle tensioni lungo un percorso chiuso:
\[
\sum_k v_k=0
\]
Queste relazioni non descrivono però da sole il comportamento dei componenti. Per ottenere il sistema completo della rete devono essere combinate con le relazioni costitutive dei bipoli.
Per una rete connessa avente \(n\) nodi e \(b\) rami, la struttura topologica conduce inoltre a:
\[
n-1
\qquad\text{equazioni nodali indipendenti}
\]
\[
b-n+1
\qquad\text{cicli fondamentali indipendenti}
\]
Il significato più profondo delle leggi di Kirchhoff non consiste quindi nella memorizzazione di due formule, ma nella comprensione del modo in cui topologia, principi di conservazione e comportamento dei componenti concorrono alla costruzione matematica di una rete elettrica.
