Quando una rete elettrica contiene più generatori indipendenti, tensioni e correnti nei diversi rami dipendono dall’azione simultanea di tutte le sorgenti presenti. La rete può essere analizzata direttamente mediante le leggi di Kirchhoff e i metodi sistematici già studiati, ma, quando essa è lineare, è possibile adottare anche un procedimento differente: considerare separatamente l’effetto prodotto da ciascun generatore e ricostruire successivamente la risposta complessiva.
Questa possibilità costituisce il principio di sovrapposizione degli effetti. Il principio non è una nuova legge dei circuiti: deriva direttamente dalla linearità delle equazioni che descrivono la rete.
Linearità e sovrapposizione
Prima di applicare il principio di sovrapposizione è necessario chiarire che cosa significhi affermare che un sistema è lineare.
Consideriamo un sistema nel quale a una grandezza di ingresso x corrisponda una risposta y. Indichiamo simbolicamente questa relazione mediante un operatore L:
\[
y=L(x)
\]
Un sistema è lineare quando soddisfa due proprietà fondamentali: additività e omogeneità.
Additività
Se all’ingresso \(x_1\) corrisponde la risposta \(L(x_1)\) e all’ingresso \(x_2\) corrisponde la risposta \(L(x_2)\), applicando simultaneamente i due ingressi la risposta deve essere:
\[
L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2)
\]
Omogeneità
Se l’ingresso viene moltiplicato per una costante \(\alpha\), anche la risposta deve essere moltiplicata per la stessa costante:
\[
L(\alpha x)=\alpha L(x)
\]
Le due proprietà possono essere riunite nella relazione:
L(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha L(x_1)+\beta L(x_2)
\]
La linearità può essere visualizzata considerando separatamente gli effetti prodotti da due eccitazioni e confrontandoli con la risposta ottenuta quando le stesse eccitazioni agiscono contemporaneamente.
È proprio questa proprietà a rendere possibile la sovrapposizione degli effetti.
Elementi lineari e reti lineari
Nel contesto dell’analisi circuitale, una rete lineare è una rete nella quale le equazioni che descrivono tensioni e correnti sono lineari rispetto alle grandezze incognite e alle sorgenti indipendenti considerate. In queste condizioni, la risposta della rete soddisfa le proprietà di additività e omogeneità e può quindi essere ricostruita mediante il principio di sovrapposizione.
Il resistore ideale con resistenza costante è un esempio fondamentale di elemento lineare, perché la sua relazione costitutiva è:
\[
v=Ri
\]
Se la corrente viene moltiplicata per una costante, anche la tensione viene moltiplicata per la stessa costante; inoltre, alla somma di due correnti corrisponde la somma delle rispettive tensioni.
Una rete costituita da resistori lineari, generatori indipendenti e, eventualmente, generatori dipendenti descritti da relazioni lineari può quindi soddisfare le condizioni necessarie per applicare il principio di sovrapposizione.
La presenza di elementi non lineari richiede invece particolare attenzione. Se la relazione costitutiva di un elemento non è lineare, non è in generale possibile scomporre la risposta complessiva nella somma delle risposte prodotte separatamente dalle diverse sorgenti.
Enunciato del principio di sovrapposizione degli effetti
Consideriamo una rete lineare contenente più generatori indipendenti. Vogliamo determinare una tensione oppure una corrente della rete.
Principio di sovrapposizione degli effetti
In una rete lineare contenente più sorgenti indipendenti, ogni tensione o corrente può essere determinata come somma algebrica dei contributi prodotti da ciascuna sorgente indipendente considerata separatamente, mantenendo attive le eventuali sorgenti dipendenti.
Se, per esempio, una corrente \(I\) dipende da tre sorgenti indipendenti, possiamo scrivere:
\[
I=I^{(1)}+I^{(2)}+I^{(3)}
\]
dove \(I^{(1)}\), \(I^{(2)}\) e \(I^{(3)}\) rappresentano i contributi alla corrente dovuti rispettivamente alla prima, alla seconda e alla terza sorgente.
Analogamente, per una tensione:
\[
V=V^{(1)}+V^{(2)}+V^{(3)}
\]
La somma è algebrica: ogni contributo deve quindi essere considerato con il proprio segno rispetto all’orientazione scelta inizialmente per la tensione o per la corrente cercata.
Disattivazione delle sorgenti indipendenti
Per determinare il contributo prodotto da una sorgente indipendente, essa viene mantenuta attiva mentre le altre sorgenti indipendenti vengono disattivate.
Disattivare una sorgente non significa semplicemente cancellarla dallo schema. Significa porre uguale a zero la grandezza che essa impone alla rete.
Generatore ideale indipendente di tensione
Un generatore ideale di tensione impone ai propri morsetti una tensione assegnata. Disattivarlo significa porre:
\[
E=0
\]
Un generatore ideale di tensione con tensione nulla mantiene i suoi morsetti allo stesso potenziale. Dal punto di vista circuitale equivale quindi a un cortocircuito ideale.
\text{Generatore ideale di tensione disattivato}
\quad\longrightarrow\quad
E=0
\quad\longrightarrow\quad
\text{cortocircuito}
\]
Generatore ideale indipendente di corrente
Un generatore ideale di corrente impone la corrente che attraversa il proprio ramo. Disattivarlo significa porre:
\[
I_s=0
\]
Se la corrente imposta deve essere nulla, il ramo non deve essere attraversato da corrente. Il generatore ideale di corrente disattivato equivale quindi a un circuito aperto.
\text{Generatore ideale di corrente disattivato}
\quad\longrightarrow\quad
I_s=0
\quad\longrightarrow\quad
\text{circuito aperto}
\]
Queste sostituzioni non devono essere considerate semplici regole mnemoniche: derivano direttamente dalla definizione dei generatori ideali e dall’annullamento della rispettiva grandezza impressa.
Generatori reali e resistenza interna
Nel caso di un generatore reale è necessario distinguere la sorgente ideale dagli elementi che costituiscono il suo modello circuitale.
Consideriamo, per esempio, un generatore reale di tensione rappresentato mediante una sorgente ideale di f.e.m. \(E\) in serie con una resistenza interna \(r_i\). Quando il generatore viene disattivato si pone:
\[
E=0
\]
La sorgente ideale viene quindi sostituita da un cortocircuito, ma la resistenza interna \(r_i\) rimane nella rete.
In generale, applicando la sovrapposizione si annulla l’azione della sorgente indipendente ideale; non si eliminano automaticamente gli elementi passivi appartenenti al modello del generatore reale.
Generatori dipendenti
Una distinzione particolarmente importante riguarda i generatori dipendenti, o controllati. Il valore della grandezza impressa da questi generatori dipende da un’altra tensione o corrente della stessa rete.
Nell’applicazione del principio di sovrapposizione:
si disattivano soltanto le altre sorgenti indipendenti; le sorgenti dipendenti rimangono attive.
La ragione è fondamentale: una sorgente dipendente fa parte delle relazioni che descrivono il comportamento interno della rete. Il suo valore deve continuare a dipendere dalla propria grandezza di controllo anche quando si calcola il contributo prodotto da una singola sorgente indipendente.
La presenza di generatori dipendenti non impedisce quindi, di per sé, l’applicazione della sovrapposizione, purché le loro relazioni costitutive siano lineari.
Procedura operativa
Per determinare mediante sovrapposizione una tensione o una corrente in una rete lineare si può seguire una procedura sistematica.
- Scegliere la grandezza da determinare e fissarne chiaramente il verso di riferimento, se si tratta di una corrente, oppure la polarità di riferimento, se si tratta di una tensione.
- Individuare tutte le sorgenti indipendenti presenti nella rete.
- Mantenere attiva una sola sorgente indipendente e disattivare tutte le altre.
- Mantenere attive le eventuali sorgenti dipendenti.
- Risolvere la rete risultante mediante il metodo più conveniente e determinare il contributo alla grandezza cercata.
- Ripetere il procedimento per ciascuna sorgente indipendente.
- Sommare algebricamente tutti i contributi rispettando le orientazioni inizialmente assegnate.
- Verificare il risultato, quando opportuno, mediante le leggi di Kirchhoff oppure mediante un metodo diretto di analisi della rete.
Orientazioni e segni dei contributi
Prima di iniziare i calcoli è opportuno scegliere arbitrariamente un verso positivo per la corrente cercata oppure una polarità positiva per la tensione cercata.
Supponiamo di aver scelto un verso positivo per una corrente \(I\). Se il contributo prodotto dalla prima sorgente risulta:
\[
I^{(1)}=3\,\text{A}
\]
mentre quello prodotto dalla seconda sorgente risulta:
\[
I^{(2)}=-1\,\text{A}
\]
la corrente complessiva è:
\[
I=I^{(1)}+I^{(2)}=3-1=2\,\text{A}
\]
Il segno negativo di \(I^{(2)}\) non indica un risultato errato: significa semplicemente che la seconda sorgente tende a produrre una corrente orientata in verso opposto rispetto al riferimento scelto.
Questo mostra perché i contributi non devono essere sommati utilizzando soltanto i loro moduli.
Sovrapposizione delle correnti
Se una corrente di ramo è prodotta dall’azione simultanea di \(n\) sorgenti indipendenti, in una rete lineare possiamo scrivere:
I=\sum_{k=1}^{n} I^{(k)}
\]
Ogni \(I^{(k)}\) rappresenta il contributo ottenuto mantenendo attiva la sorgente indipendente \(k\)-esima e disattivando le altre sorgenti indipendenti.
Sovrapposizione delle tensioni
Lo stesso principio vale per le tensioni. Se la tensione \(V_{AB}\) tra due nodi dipende da \(n\) sorgenti indipendenti:
V_{AB}=\sum_{k=1}^{n}V_{AB}^{(k)}
\]
Anche in questo caso ciascun contributo deve essere considerato con il proprio segno rispetto alla polarità scelta per \(V_{AB}\).
Perché la potenza non si sovrappone
Una delle limitazioni più importanti del principio riguarda la potenza.
La sovrapposizione può essere applicata direttamente alle tensioni e alle correnti di una rete lineare, ma non, in generale, alle potenze.
Consideriamo un resistore di resistenza \(R\). Se due sorgenti producono separatamente i contributi di corrente \(I^{(1)}\) e \(I^{(2)}\), la corrente complessiva è:
\[
I=I^{(1)}+I^{(2)}
\]
La potenza assorbita dal resistore è però:
\[
P=RI^2
\]
e quindi:
\[
P=R\left(I^{(1)}+I^{(2)}\right)^2
\]
Sviluppando:
\[
P=R\left[\left(I^{(1)}\right)^2+
\left(I^{(2)}\right)^2+
2I^{(1)}I^{(2)}\right]
\]
Le potenze che le due sorgenti produrrebbero separatamente sul resistore sarebbero invece:
\[
P^{(1)}=R\left(I^{(1)}\right)^2
\]
e:
\[
P^{(2)}=R\left(I^{(2)}\right)^2
\]
In generale, quindi:
P\neq P^{(1)}+P^{(2)}
\]
La differenza è dovuta al termine incrociato \(2RI^{(1)}I^{(2)}\). La potenza dipende quadraticamente dalla corrente, oppure dal prodotto fra tensione e corrente, e non costituisce quindi una risposta lineare rispetto alle sorgenti.
Per determinare una potenza mediante un’analisi basata sulla sovrapposizione occorre prima ricostruire la tensione totale e/o la corrente totale e soltanto successivamente calcolare la potenza.
Il fatto che la potenza non sia direttamente sovrapponibile non deve essere confuso con il bilancio delle potenze. Una volta determinate le tensioni e le correnti effettive della rete, rimane naturalmente valido il principio di conservazione dell’energia: la somma algebrica delle potenze assorbite ed erogate dagli elementi della rete deve rispettare il bilancio energetico complessivo.
Perché il principio di sovrapposizione funziona
Il principio può essere compreso anche dal punto di vista matematico. Le equazioni ottenute applicando le leggi di Kirchhoff a una rete lineare possono essere organizzate, in forma compatta, come un sistema lineare:
\[
A\mathbf{x}=\mathbf{b}
\]
dove \(\mathbf{x}\) rappresenta il vettore delle incognite della rete, \(A\) contiene i coefficienti determinati dai parametri degli elementi e \(\mathbf{b}\) raccoglie gli effetti delle sorgenti indipendenti.
Supponiamo ora che nella rete siano presenti due gruppi di eccitazioni indipendenti. Indichiamo con \(\mathbf{x}_1\) la soluzione prodotta dal primo gruppo di sorgenti e con \(\mathbf{x}_2\) quella prodotta dal secondo. Possiamo quindi scrivere:
\[
A\mathbf{x}_1=\mathbf{b}_1
\]
e:
\[
A\mathbf{x}_2=\mathbf{b}_2
\]
Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:
\[
A\mathbf{x}_1+A\mathbf{x}_2=\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2
\]
Poiché il sistema è lineare:
\[
A(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)=\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2
\]
La somma \(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2\) soddisfa quindi le equazioni della rete quando i due gruppi di sorgenti agiscono contemporaneamente. Se il problema circuitale ammette una soluzione unica, ne segue che:
\mathbf{x}=\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2
\]
La sovrapposizione non è quindi un artificio di calcolo, ma una conseguenza diretta della linearità delle equazioni che descrivono la rete.
Esempio numerico completo
Consideriamo una rete lineare costituita da un nodo \(A\), collegato al riferimento \(O\) mediante tre rami. Nel primo ramo sono presenti un generatore ideale di tensione \(E_1=12\,\text{V}\) e un resistore \(R_1=3\,\Omega\); nel secondo ramo sono presenti un generatore ideale di tensione \(E_2=6\,\text{V}\) e un resistore \(R_2=6\,\Omega\); nel terzo ramo è presente il resistore \(R_3=2\,\Omega\).
I generatori sono orientati in modo che i nodi posti a monte di \(R_1\) e \(R_2\) si trovino rispettivamente ai potenziali \(+12\,\text{V}\) e \(+6\,\text{V}\) rispetto al riferimento \(O\). Vogliamo determinare la tensione \(V_A\) del nodo \(A\) rispetto a \(O\) e, successivamente, la corrente \(I_3\) nel resistore \(R_3\), assunta positiva da \(A\) verso \(O\).
Poiché la rete è lineare e contiene due sorgenti indipendenti, possiamo scrivere:
\[
V_A=V_A^{(1)}+V_A^{(2)}
\]
dove \(V_A^{(1)}\) rappresenta il contributo prodotto da \(E_1\) e \(V_A^{(2)}\) quello prodotto da \(E_2\).
Primo contributo: agisce soltanto \(E_1\)
Manteniamo attivo il generatore \(E_1\) e disattiviamo \(E_2\). Poiché \(E_2\) è un generatore ideale di tensione, poniamo \(E_2=0\) e lo sostituiamo con un cortocircuito.
Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo \(A\):
\[
\frac{V_A^{(1)}-12}{3}
+
\frac{V_A^{(1)}}{6}
+
\frac{V_A^{(1)}}{2}
=0
\]
Moltiplicando per \(6\):
\[
2V_A^{(1)}-24+V_A^{(1)}+3V_A^{(1)}=0
\]
\[
6V_A^{(1)}=24
\]
da cui:
\[
V_A^{(1)}=4\,\text{V}
\]
Il contributo alla corrente nel resistore \(R_3\) vale quindi:
\[
I_3^{(1)}=
\frac{V_A^{(1)}}{R_3}
=
\frac{4}{2}
=
2\,\text{A}
\]
Secondo contributo: agisce soltanto \(E_2\)
Ripristiniamo la rete originale, manteniamo attivo \(E_2\) e disattiviamo \(E_1\). Il generatore ideale \(E_1\) viene quindi sostituito con un cortocircuito.
Applicando nuovamente la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo \(A\):
\[
\frac{V_A^{(2)}}{3}
+
\frac{V_A^{(2)}-6}{6}
+
\frac{V_A^{(2)}}{2}
=0
\]
Moltiplicando per \(6\):
\[
2V_A^{(2)}+V_A^{(2)}-6+3V_A^{(2)}=0
\]
\[
6V_A^{(2)}=6
\]
e quindi:
\[
V_A^{(2)}=1\,\text{V}
\]
Il secondo contributo alla corrente nel resistore \(R_3\) è:
\[
I_3^{(2)}
=
\frac{V_A^{(2)}}{R_3}
=
\frac{1}{2}
=
0{,}5\,\text{A}
\]
Ricomposizione dei contributi
La tensione del nodo \(A\) nella rete originale si ottiene sommando algebricamente i due contributi:
V_A=V_A^{(1)}+V_A^{(2)}
=4+1
=5\,\text{V}
\]
Analogamente, per la corrente nel resistore \(R_3\):
I_3=I_3^{(1)}+I_3^{(2)}
=2+0{,}5
=2{,}5\,\text{A}
\]
Verifica mediante soluzione diretta
Possiamo verificare il risultato risolvendo direttamente la rete originale, con entrambi i generatori contemporaneamente attivi.
Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo \(A\):
\[
\frac{V_A-12}{3}
+
\frac{V_A-6}{6}
+
\frac{V_A}{2}
=0
\]
Moltiplicando per \(6\):
\[
2V_A-24+V_A-6+3V_A=0
\]
\[
6V_A=30
\]
da cui:
\[
V_A=5\,\text{V}
\]
La corrente nel resistore \(R_3\) vale pertanto:
\[
I_3=\frac{V_A}{R_3}
=\frac{5}{2}
=2{,}5\,\text{A}
\]
Il risultato coincide esattamente con quello ottenuto mediante sovrapposizione:
I_3^{(1)}+I_3^{(2)}
=
2+0{,}5
=
2{,}5\,\text{A}
=
I_3
\]
L’esempio mostra concretamente che la sovrapposizione non modifica le leggi fondamentali della rete: suddivide il problema originale in sottoproblemi lineari più semplici e ricostruisce la stessa soluzione che si ottiene analizzando direttamente tutte le sorgenti contemporaneamente.
Sovrapposizione e metodi nodale e delle maglie
Il principio di sovrapposizione non sostituisce il metodo dei potenziali nodali né il metodo delle correnti di maglia.
I due strumenti rispondono infatti a domande differenti.
Il principio di sovrapposizione stabilisce come decomporre una rete lineare con più sorgenti in una successione di sottoproblemi. Il metodo nodale e il metodo delle maglie stabiliscono invece come formulare e risolvere le equazioni di ciascuna rete.
Dopo aver mantenuto attiva una sola sorgente indipendente, il sottoproblema risultante può quindi essere risolto mediante:
- riduzioni serie-parallelo;
- partitori di tensione o di corrente;
- metodo dei potenziali nodali;
- metodo delle correnti di maglia;
- applicazione diretta delle leggi di Kirchhoff.
La scelta dipende dalla topologia della rete e dal numero delle incognite.
Quando conviene utilizzare la sovrapposizione
Il principio di sovrapposizione è particolarmente utile quando la rete contiene più sorgenti ma, considerando una sorgente alla volta, i circuiti risultanti diventano significativamente più semplici.
È inoltre molto utile quando interessa comprendere quanto ciascuna sorgente contribuisca individualmente a una determinata tensione o corrente.
Non è però necessariamente il metodo più rapido in ogni situazione. Se una rete contiene molte sorgenti indipendenti, il numero dei sottoproblemi aumenta: con \(n\) sorgenti indipendenti occorre infatti considerare, in generale, \(n\) configurazioni distinte.
In questi casi un’unica applicazione del metodo nodale o del metodo delle maglie può risultare più efficiente.
La scelta di un metodo di analisi non deve quindi essere meccanica: fa parte della capacità di interpretare la struttura della rete prima di iniziare i calcoli.
Condizioni di validità e limiti
Il principio di sovrapposizione può essere applicato quando la relazione fra le eccitazioni indipendenti e la grandezza elettrica cercata è lineare.
In particolare:
- è applicabile alle tensioni e alle correnti di reti lineari;
- è applicabile in presenza di generatori dipendenti purché le loro relazioni siano lineari, mantenendoli attivi durante la decomposizione;
- non è applicabile direttamente alla potenza;
- non è in generale applicabile a reti contenenti elementi con caratteristiche non lineari, se la non linearità interviene nel problema considerato;
- la disattivazione riguarda le sorgenti indipendenti e non comporta l’eliminazione degli elementi passivi della rete.
Il principio è più generale del solo caso delle reti resistive in corrente continua. La sua validità deriva dalla linearità del sistema e può quindi essere estesa ad altri contesti lineari. Le applicazioni ai circuiti in regime sinusoidale verranno affrontate successivamente, quando saranno stati introdotti fasori e impedenze.
Errori concettuali da evitare
Nell’applicazione del principio di sovrapposizione è particolarmente importante evitare alcuni errori ricorrenti.
- Sommare i moduli invece dei valori algebrici. I contributi devono conservare il segno determinato dall’orientazione scelta.
- Eliminare completamente un generatore reale. Si disattiva la sorgente indipendente ideale; gli elementi passivi del suo modello rimangono nella rete.
- Disattivare una sorgente dipendente. Le sorgenti dipendenti devono rimanere attive.
- Sostituire un generatore di corrente disattivato con un cortocircuito. Un generatore ideale di corrente con corrente nulla equivale invece a un circuito aperto.
- Sostituire un generatore di tensione disattivato con un circuito aperto. Un generatore ideale di tensione con tensione nulla equivale invece a un cortocircuito.
- Sovrapporre direttamente le potenze. Occorre prima determinare tensione e corrente complessive e poi calcolare la potenza.
- Applicare automaticamente il principio a una rete non lineare. La linearità è la condizione fondamentale che giustifica la sovrapposizione.
Dal principio di sovrapposizione ai teoremi delle reti
Il principio di sovrapposizione introduce una prospettiva importante nell’analisi circuitale: una rete lineare può essere studiata separando gli effetti prodotti dalle diverse sorgenti e ricostruendo successivamente la risposta complessiva.
La sua importanza non è quindi soltanto operativa. Il principio mostra concretamente come la linearità delle relazioni costitutive e delle equazioni della rete determini proprietà precise delle sue soluzioni.
I metodi nodale e delle maglie hanno mostrato come organizzare sistematicamente le equazioni di una rete; la sovrapposizione mostra ora come sfruttarne la linearità per separare e interpretare gli effetti delle diverse sorgenti.
Il passo successivo consiste nel cambiare ancora prospettiva: invece di analizzare separatamente l’effetto delle sorgenti, ci chiederemo se una rete lineare complessa, osservata da una coppia di morsetti, possa essere sostituita da una rete molto più semplice che presenti ai morsetti lo stesso comportamento elettrico.
Questa idea conduce ai teoremi di Thévenin e Norton, che costituiscono il successivo sviluppo dell’analisi delle reti lineari.
