Nei circuiti studiati finora tensioni e correnti erano determinate, in ogni istante considerato, attraverso relazioni essenzialmente algebriche: fissati i generatori e i parametri della rete, le leggi di Kirchhoff e le relazioni costitutive dei resistori permettevano di determinare lo stato elettrico del circuito. Con l’introduzione di condensatori e induttori il quadro cambia profondamente. Questi elementi possono infatti immagazzinare energia e la loro condizione presente dipende anche da ciò che è accaduto in precedenza.
Compare così una proprietà fondamentale delle reti dinamiche: la memoria del circuito. La tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono, nelle condizioni ordinarie del modello ideale, modificarsi arbitrariamente da un istante all’altro. Esse descrivono quindi lo stato energetico della rete e determinano il modo in cui il circuito evolve dopo una commutazione.
Lo studio del regime transitorio riguarda proprio questa evoluzione temporale: che cosa accade immediatamente dopo la modifica della configurazione di una rete, quali grandezze conservano il loro valore iniziale, come viene raggiunto il nuovo regime permanente e quale ruolo assumono resistenza, capacità e induttanza nella velocità e nella forma della risposta.
1. Dal regime stazionario alla dinamica dei circuiti
Si parla di regime permanente quando le grandezze della rete hanno assunto il comportamento stabile imposto dall’eccitazione applicata. Nel caso di una rete alimentata da generatori continui, il regime permanente è caratterizzato da tensioni e correnti costanti nel tempo.
Un regime transitorio è invece l’intervallo durante il quale il circuito passa da una condizione di funzionamento a un’altra. Il transitorio può essere provocato, per esempio, dalla chiusura o dall’apertura di un interruttore, dall’inserimento o dalla rimozione di un generatore, oppure da una modifica della configurazione della rete.
Nei circuiti puramente resistivi ideali non esistono elementi capaci di immagazzinare energia elettrica o magnetica. Per questo motivo, trascurando fenomeni parassiti, il nuovo stato viene determinato direttamente dalle relazioni algebriche della nuova configurazione.
Nei circuiti contenenti condensatori o induttori, invece, l’energia già immagazzinata non può generalmente scomparire o comparire istantaneamente. Di conseguenza lo stato precedente della rete influenza quello successivo e l’evoluzione deve essere descritta mediante equazioni differenziali.
Idea fondamentale
energia immagazzinata → memoria del circuito → condizioni iniziali → equazioni differenziali → regime transitorio
2. Il condensatore come elemento dinamico
Il condensatore ideale è un bipolo capace di immagazzinare energia nel campo elettrico. Nel modello lineare la carica accumulata sulle armature è proporzionale alla tensione presente ai morsetti:
\[
q=Cv_C
\]
La costante di proporzionalità \(C\) è la capacità e si misura in farad:
\[
[C]=\mathrm{F}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}}.
\]
Assumendo la convenzione passiva, con la corrente positiva entrante nel morsetto assunto positivo per \(v_C\), vale:
\[
i_C=\frac{dq}{dt}.
\]
Per un condensatore ideale lineare con capacità costante:
\[
i_C=C\frac{dv_C}{dt}.
\]
Questa relazione mostra immediatamente perché il condensatore sia un elemento dinamico: la corrente non dipende semplicemente dal valore istantaneo della tensione, ma dalla sua velocità di variazione nel tempo.
Continuità della tensione del condensatore
Dalla relazione precedente segue una proprietà fondamentale. Se la corrente rimane finita, anche \(dv_C/dt\) deve rimanere finita. Una variazione finita della tensione non può quindi avvenire in un intervallo di tempo nullo.
\[
v_C(0^+)=v_C(0^-)
\]
La relazione non significa che la tensione del condensatore sia costante. Significa soltanto che, nelle condizioni ordinarie considerate, non può subire un salto istantaneo.
Formalmente un salto di tensione sarebbe possibile soltanto introducendo una corrente impulsiva ideale, cioè una corrente infinita per un intervallo infinitesimo con area finita. Questo caso appartiene a modelli matematici più avanzati e non rappresenta la normale commutazione di una rete fisica.
3. Energia immagazzinata nel condensatore
La potenza istantanea assorbita da un bipolo, nella convenzione passiva, è:
\[
p=vi.
\]
Per il condensatore:
\[
p_C=v_C i_C
=Cv_C\frac{dv_C}{dt}.
\]
L’energia accumulata passando dalla tensione nulla a una generica tensione \(v_C\) è quindi:
\[
W_C
=
\int p_C\,dt
=
\int C v_C\,dv_C.
\]
Per capacità costante:
\[
W_C=\frac{1}{2}Cv_C^2.
\]
L’energia è sempre non negativa perché dipende dal quadrato della tensione. Un condensatore ideale può assorbire energia, conservarla nel proprio campo elettrico e successivamente restituirla alla rete. Nel modello ideale non è presente dissipazione interna.
Un condensatore reale presenta invece perdite dielettriche, resistenza serie equivalente e fenomeni parassiti. Questi aspetti sono importanti nella pratica, ma non devono essere confusi con la relazione costitutiva del condensatore ideale utilizzata nell’analisi dei transitori.
4. L’induttore come elemento dinamico
L’induttore ideale è un bipolo capace di immagazzinare energia nel campo magnetico associato alla corrente che lo attraversa.
Nel modello lineare ideale, adottando la convenzione passiva, la tensione ai morsetti dell’induttore è proporzionale alla velocità di variazione della corrente:
\[
v_L=L\frac{di_L}{dt}.
\]
La costante \(L\) è l’induttanza e si misura in henry:
\[
[L]=\mathrm{H}=\frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A}}.
\]
Anche in questo caso il comportamento del componente non dipende soltanto dal valore istantaneo della grandezza elettrica, ma dalla sua variazione nel tempo.
Continuità della corrente dell’induttore
Se la tensione ai morsetti dell’induttore rimane finita, anche \(di_L/dt\) rimane finita. La corrente non può quindi effettuare un salto finito in un intervallo di tempo nullo.
\[
i_L(0^+)=i_L(0^-).
\]
La continuità non significa che la corrente dell’induttore non possa cambiare. Significa che la variazione deve avvenire nel tempo.
Un salto istantaneo della corrente richiederebbe, nel modello ideale, una tensione impulsiva. Nei normali circuiti alimentati da sorgenti finite questo non avviene.
5. Energia immagazzinata nell’induttore
Per l’induttore:
\[
p_L=v_Li_L
=
Li_L\frac{di_L}{dt}.
\]
Integrando:
\[
W_L
=
\int L i_L\,di_L.
\]
Per induttanza costante:
\[
W_L=\frac{1}{2}Li_L^2.
\]
Anche l’induttore ideale può assorbire energia, conservarla e restituirla successivamente alla rete. L’energia è associata al campo magnetico e, nel modello ideale, non viene dissipata.
Un induttore reale possiede invece una resistenza dell’avvolgimento, perdite nel nucleo, effetti parassiti e limiti di linearità. In particolare, la saturazione magnetica può rendere l’induttanza dipendente dalla corrente. Nel presente studio utilizzeremo il modello lineare ideale salvo indicazione contraria.
6. Commutazione e condizioni iniziali
Con commutazione si indica una modifica della configurazione della rete che avviene in un determinato istante. Il modello più comune utilizza un interruttore ideale che cambia posizione all’istante assunto come origine dei tempi:
\[
t=0.
\]
È fondamentale distinguere tre condizioni:
- \(t=0^-\): istante immediatamente precedente alla commutazione;
- \(t=0^+\): istante immediatamente successivo alla commutazione;
- \(t\rightarrow\infty\): nuovo regime permanente, quando il transitorio si è praticamente esaurito.
Le variabili energetiche conservano il proprio valore attraverso la commutazione:
\[
v_C(0^+)=v_C(0^-)
\]
\[
i_L(0^+)=i_L(0^-).
\]
Non sono invece necessariamente continue la corrente del condensatore e la tensione dell’induttore. Queste grandezze possono modificarsi bruscamente quando cambia la configurazione della rete, purché rimangano compatibili con le equazioni circuitali.
Metodo generale di analisi dopo una commutazione
- analizzare la rete per \(t<0\);
- determinare \(v_C(0^-)\) e/o \(i_L(0^-)\);
- applicare le condizioni di continuità per trovare \(v_C(0^+)\) e/o \(i_L(0^+)\);
- analizzare la nuova configurazione valida per \(t>0\);
- determinare il nuovo valore di regime per \(t\rightarrow\infty\);
- determinare la dinamica che collega valore iniziale e valore finale.
Questa procedura rappresenta uno degli strumenti più importanti di tutta l’analisi dei transitori.
7. Condensatore e induttore nel regime permanente in corrente continua
Quando una rete alimentata in corrente continua ha raggiunto il regime permanente, tutte le grandezze sono costanti.
Condensatore
Se \(v_C\) è costante:
\[
\frac{dv_C}{dt}=0.
\]
Quindi:
\[
i_C=C\frac{dv_C}{dt}=0.
\]
Nel regime permanente ideale in corrente continua il condensatore si comporta quindi, dal punto di vista della corrente di ramo, come un circuito aperto.
Induttore
Se \(i_L\) è costante:
\[
\frac{di_L}{dt}=0.
\]
Di conseguenza:
\[
v_L=L\frac{di_L}{dt}=0.
\]
Nel regime permanente ideale in corrente continua l’induttore presenta quindi tensione nulla ai morsetti e si comporta come un cortocircuito ideale.
Attenzione. Le frasi “il condensatore è un circuito aperto” e “l’induttore è un cortocircuito” non sono proprietà universali dei due componenti. Sono equivalenze valide nel regime permanente ideale in corrente continua.
8. Circuiti del primo ordine
Un circuito viene detto del primo ordine quando la sua evoluzione dinamica indipendente può essere descritta mediante un’equazione differenziale del primo ordine.
Un circuito contenente un solo condensatore indipendente oppure un solo induttore indipendente conduce tipicamente a una relazione del tipo:
\[
\frac{dx}{dt}+ax=b,
\]
dove \(x(t)\) è la variabile dinamica della rete:
- \(v_C(t)\) per un circuito RC;
- \(i_L(t)\) per un circuito RL.
La presenza della derivata rende evidente la differenza rispetto alle reti puramente resistive: per determinare la soluzione non basta conoscere i generatori e i parametri del circuito, ma è necessario conoscere anche una condizione iniziale.
Risposta naturale
La risposta naturale, detta anche risposta libera o risposta omogenea, è la soluzione associata alla dinamica propria del circuito, cioè all’equazione differenziale ottenuta ponendo a zero le sorgenti indipendenti. La sua forma dipende dai parametri della rete, mentre le costanti che ne determinano l’ampiezza sono fissate dalle condizioni iniziali. In una risposta completa la componente naturale può quindi essere presente anche quando inizialmente non vi è energia immagazzinata, perché deve concorrere con la risposta forzata al rispetto delle condizioni iniziali.
Nel primo ordine stabile assume una forma esponenziale:
\[
x_n(t)=K e^{-t/\tau}.
\]
Risposta forzata
La risposta forzata è la particolare risposta prodotta dall’eccitazione esterna applicata al circuito.
Se, dopo la commutazione, l’eccitazione è costante e il circuito è stabile, la risposta particolare è costante e coincide con il valore raggiunto nel nuovo regime permanente.
In generale, però, risposta forzata e valore finale non sono sinonimi: per eccitazioni variabili nel tempo la risposta forzata può essere anch’essa variabile.
Risposta completa
Per una rete lineare:
\[
\text{risposta completa}
=
\text{risposta naturale}
+
\text{risposta forzata}.
\]
9. La costante di tempo
La costante di tempo \(\tau\) determina la rapidità con cui decade la componente naturale della risposta.
Per un circuito RC del primo ordine:
\[
\tau=R_{\mathrm{eq}}C.
\]
Per un circuito RL del primo ordine:
\[
\tau=\frac{L}{R_{\mathrm{eq}}}.
\]
In entrambi i casi \(\tau\) si misura in secondi.
Significato fisico
Una costante di tempo grande corrisponde a una variazione lenta; una costante di tempo piccola corrisponde a un’evoluzione rapida.
Dopo un intervallo pari a una costante di tempo:
\[
e^{-1}\approx0{,}368.
\]
Pertanto rimane circa il 36,8% della componente naturale iniziale e risulta compiuto circa il 63,2% del cambiamento complessivo verso il valore finale.
Dopo \(5\tau\):
\[
e^{-5}\approx0{,}0067.
\]
Rimane meno dell’1% della componente naturale iniziale. Per questo, nell’uso tecnico, si considera spesso il transitorio praticamente esaurito dopo circa \(5\tau\).
Non si tratta però di una fine matematica esatta: l’esponenziale tende a zero soltanto asintoticamente.
10. Come si determina la resistenza equivalente per la costante di tempo
Nelle reti semplici la resistenza che compare in \(\tau=RC\) oppure \(\tau=L/R\) è immediatamente evidente. Nelle reti più generali occorre invece determinare la resistenza equivalente vista dall’elemento reattivo.
Il metodo è strettamente collegato alla determinazione della resistenza di Thévenin già studiata.
Procedura generale
- considerare la configurazione della rete valida durante il transitorio;
- osservare la rete dai morsetti dell’elemento reattivo;
- disattivare soltanto le sorgenti indipendenti;
- sostituire un generatore ideale indipendente di tensione con un cortocircuito;
- sostituire un generatore ideale indipendente di corrente con un circuito aperto;
- mantenere attive le eventuali sorgenti dipendenti;
- se necessario, applicare una sorgente di prova e ricavare \(R_{\mathrm{eq}}=V_{\mathrm{test}}/I_{\mathrm{test}}\).
Il condensatore o l’induttore vengono considerati come il componente che “osserva” la rete circostante. Non bisogna quindi scegliere una resistenza arbitraria solo perché compare fisicamente vicino all’elemento.
Per una rete passiva puramente resistiva \(R_{\mathrm{eq}}>0\), e la componente naturale decade. In reti attive contenenti sorgenti dipendenti possono verificarsi condizioni più complesse; il semplice comportamento esponenziale decrescente non deve essere dato per scontato indipendentemente dalla rete.
11. Forma universale della risposta del primo ordine
Per un circuito lineare stabile del primo ordine che, dopo la commutazione, sia sottoposto a sorgenti costanti, la variabile dinamica può essere scritta nella forma:
\[
x(t)
=
x(\infty)
+
\left[x(0^+)-x(\infty)\right]e^{-t/\tau}.
\]
Questa relazione è particolarmente potente perché riduce il problema alla determinazione di tre grandezze:
- valore iniziale \(x(0^+)\);
- valore finale \(x(\infty)\);
- costante di tempo \(\tau\).
Per il condensatore:
\[
x(t)=v_C(t).
\]
Per l’induttore:
\[
x(t)=i_L(t).
\]
La formula non deve però essere utilizzata meccanicamente. Prima di applicarla è sempre necessario capire quale sia la variabile continua, come determinare lo stato iniziale, quale rete rimanga attiva dopo la commutazione e quale resistenza sia realmente vista dall’elemento.
12. Transitorio RC
Carica di un condensatore
Consideriamo un generatore continuo \(V\), una resistenza \(R\) e un condensatore \(C\) collegati in serie. All’istante \(t=0\) viene chiuso l’interruttore.
Applicando la KVL:
\[
V=Ri+v_C.
\]
Poiché:
\[
i=C\frac{dv_C}{dt},
\]
si ottiene:
\[
RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=V.
\]
Il valore finale è:
\[
v_C(\infty)=V.
\]
Se la tensione iniziale è \(V_0\):
\[
v_C(t)
=
V+
(V_0-V)e^{-t/(RC)}.
\]
Per un condensatore inizialmente scarico, \(V_0=0\):
\[
v_C(t)=V\left(1-e^{-t/(RC)}\right).
\]
La corrente vale:
\[
i(t)
=
\frac{V-v_C(t)}{R}.
\]
Per \(V_0=0\):
\[
i(t)=\frac{V}{R}e^{-t/(RC)}.
\]
All’istante iniziale la tensione del condensatore è ancora nulla, mentre la corrente assume il massimo valore \(V/R\). Con il trascorrere del tempo la tensione aumenta verso \(V\), la corrente diminuisce e l’energia fornita dalla sorgente viene in parte immagazzinata nel condensatore e in parte dissipata nella resistenza.
Scarica di un condensatore
Supponiamo ora che il condensatore possieda una tensione iniziale \(V_0\) e venga collegato, senza generatore, a una resistenza \(R\).
La KVL porta a:
\[
RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=0.
\]
La risposta è completamente naturale:
\[
v_C(t)=V_0e^{-t/(RC)}.
\]
Il segno della corrente dipende dal verso di riferimento scelto. Se la corrente positiva è definita entrante nel morsetto positivo del condensatore:
\[
i_C(t)
=
C\frac{dv_C}{dt}
=
-\frac{V_0}{R}e^{-t/(RC)}.
\]
Il segno negativo indica che durante la scarica il condensatore sta erogando energia alla rete rispetto alla convenzione passiva adottata.
Esempio numerico RC
Un condensatore da \(100\,\mu\mathrm{F}\), inizialmente scarico, viene collegato attraverso una resistenza da \(2\,\mathrm{k}\Omega\) a una sorgente continua da \(12\,\mathrm{V}\).
La costante di tempo è:
\[
\tau=RC
=
2000\cdot100\times10^{-6}
=
0{,}2\,\mathrm{s}.
\]
La tensione è:
\[
v_C(t)
=
12\left(1-e^{-t/0{,}2}\right)\,\mathrm{V}.
\]
A \(t=\tau=0{,}2\,\mathrm{s}\):
\[
v_C(\tau)
=
12(1-e^{-1})
\approx7{,}59\,\mathrm{V}.
\]
Il condensatore ha quindi compiuto circa il 63,2% del percorso verso i \(12\,\mathrm{V}\) finali.
13. Transitorio RL
Crescita della corrente
Consideriamo un generatore continuo \(V\), una resistenza \(R\) e un induttore \(L\) collegati in serie.
Applicando la KVL:
\[
V=Ri+L\frac{di}{dt}.
\]
Si ottiene quindi:
\[
L\frac{di}{dt}+Ri=V.
\]
Il valore finale della corrente è:
\[
I_f=\frac{V}{R}.
\]
La costante di tempo è:
\[
\tau=\frac{L}{R}.
\]
Per una corrente iniziale \(I_0\):
\[
i_L(t)
=
I_f+
(I_0-I_f)e^{-t/\tau}.
\]
Se l’induttore è inizialmente privo di corrente:
\[
i_L(t)
=
\frac{V}{R}
\left(1-e^{-t/\tau}\right).
\]
La tensione sull’induttore è:
\[
v_L(t)
=
V e^{-t/\tau},
\]
mentre quella sulla resistenza cresce secondo:
\[
v_R(t)
=
V\left(1-e^{-t/\tau}\right).
\]
All’istante iniziale la corrente non può saltare, mentre l’induttore può sostenere una tensione finita. Nel tempo la corrente cresce e la tensione sull’induttore diminuisce progressivamente fino a zero.
Decadimento della corrente
Se un induttore percorso dalla corrente iniziale \(I_0\) viene successivamente collegato a una rete resistiva senza generatori indipendenti attivi, l’energia magnetica accumulata alimenta temporaneamente la corrente.
Per il semplice circuito RL:
\[
L\frac{di}{dt}+Ri=0.
\]
La risposta naturale è:
\[
i_L(t)=I_0e^{-t/\tau},
\qquad
\tau=\frac{L}{R}.
\]
La corrente decade perché l’energia magnetica iniziale viene progressivamente dissipata nella resistenza.
Esempio numerico RL
Un circuito serie contiene \(R=12\,\Omega\), \(L=2{,}4\,\mathrm{H}\) e una sorgente continua da \(24\,\mathrm{V}\). La corrente iniziale è nulla.
Il valore finale è:
\[
I_f=\frac{24}{12}=2\,\mathrm{A}.
\]
La costante di tempo è:
\[
\tau=\frac{2{,}4}{12}=0{,}2\,\mathrm{s}.
\]
Quindi:
\[
i_L(t)
=
2\left(1-e^{-t/0{,}2}\right)\,\mathrm{A}.
\]
Dopo una costante di tempo:
\[
i_L(0{,}2)
\approx
1{,}264\,\mathrm{A}.
\]
14. Un esempio completo con condizioni iniziali e resistenza equivalente
Consideriamo ora un esempio in cui non è sufficiente applicare automaticamente \(\tau=RC\) scegliendo una sola resistenza.
Per \(t<0\), un condensatore da:
\[
C=100\,\mu\mathrm{F}
\]
è collegato da molto tempo a una sorgente continua da \(12\,\mathrm{V}\). In regime permanente:
\[
v_C(0^-)=12\,\mathrm{V}.
\]
Alla commutazione il condensatore viene collegato a una nuova rete costituita da una sorgente da \(6\,\mathrm{V}\), una resistenza \(R_1=2\,\mathrm{k}\Omega\) tra la sorgente e il nodo del condensatore e una resistenza \(R_2=3\,\mathrm{k}\Omega\) tra il nodo e il riferimento.
Valore iniziale
Per continuità:
\[
v_C(0^+)=12\,\mathrm{V}.
\]
Valore finale
Per \(t\rightarrow\infty\) il condensatore è aperto nel regime permanente DC e il suo nodo assume la tensione del partitore:
\[
v_C(\infty)
=
6
\frac{3}{2+3}
=
3{,}6\,\mathrm{V}.
\]
Resistenza equivalente vista dal condensatore
Disattivando la sorgente indipendente da \(6\,\mathrm{V}\), essa viene sostituita da un cortocircuito. Dal condensatore si vedono quindi \(R_1\) e \(R_2\) in parallelo:
\[
R_{\mathrm{eq}}
=
R_1\parallel R_2
=
\frac{2000\cdot3000}{2000+3000}
=
1200\,\Omega.
\]
La costante di tempo è:
\[
\tau
=
R_{\mathrm{eq}}C
=
1200\cdot100\times10^{-6}
=
0{,}12\,\mathrm{s}.
\]
Risposta completa
\[
v_C(t)
=
3{,}6
+
(12-3{,}6)e^{-t/0{,}12}.
\]
Quindi:
\[
v_C(t)
=
3{,}6
+
8{,}4e^{-t/0{,}12}\;\mathrm{V}.
\]
Il condensatore non si sta caricando da zero né scaricando verso zero: sta passando da una condizione iniziale di \(12\,\mathrm{V}\) a un nuovo equilibrio di \(3{,}6\,\mathrm{V}\). Questo esempio mostra perché la forma generale del primo ordine sia molto più potente delle sole formule canoniche di carica e scarica.
15. Dal primo al secondo ordine: stato e memoria della rete
Nel primo ordine è sufficiente una sola variabile energetica indipendente per descrivere la memoria del circuito. Nel secondo ordine sono necessarie due condizioni iniziali indipendenti.
In un circuito RLC esse possono essere rappresentate naturalmente da:
\[
v_C(0^+),
\qquad
i_L(0^+).
\]
Queste grandezze sono dette, in un linguaggio più generale, variabili di stato: conoscendole a un determinato istante, insieme all’eccitazione successiva e ai parametri della rete, è possibile determinare l’evoluzione futura del sistema.
Il concetto non deve essere confuso con il semplice conteggio fisico dei componenti. L’ordine di una rete coincide con il numero di variabili energetiche indipendenti. Particolari vincoli topologici possono rendere alcune tensioni di condensatori o correnti di induttori non indipendenti.
Nel circuito RLC serie elementare, tuttavia, il condensatore e l’induttore forniscono due forme indipendenti di accumulo energetico e conducono a un’equazione differenziale del secondo ordine.
16. Il circuito RLC serie e l’equazione differenziale
Consideriamo un circuito serie formato da resistenza \(R\), induttanza \(L\) e capacità \(C\). Studiamo inizialmente la risposta naturale, cioè il comportamento prodotto dall’energia inizialmente immagazzinata in \(L\) e \(C\) senza un generatore indipendente attivo per \(t>0\).
Applicando la KVL:
\[
Ri+L\frac{di}{dt}+v_C=0.
\]
Poiché:
\[
i=C\frac{dv_C}{dt},
\]
si può derivare l’equazione rispetto al tempo:
\[
R\frac{di}{dt}
+
L\frac{d^2i}{dt^2}
+
\frac{1}{C}i
=
0.
\]
Dividendo per \(L\):
\[
\frac{d^2i}{dt^2}
+
\frac{R}{L}\frac{di}{dt}
+
\frac{1}{LC}i
=
0.
\]
La stessa dinamica può essere espressa utilizzando come variabile la tensione del condensatore. Sostituendo \(i=C\,dv_C/dt\) direttamente nella KVL:
\[
LC\frac{d^2v_C}{dt^2}
+
RC\frac{dv_C}{dt}
+
v_C
=
0.
\]
Le due formulazioni descrivono lo stesso circuito e possiedono la stessa equazione caratteristica.
Esistono naturalmente anche circuiti RLC parallelo, nei quali resistore, induttore e condensatore condividono la stessa tensione. Anche tali reti conducono, nelle condizioni appropriate, a un’equazione differenziale del secondo ordine, ma i coefficienti che descrivono lo smorzamento dipendono dalla diversa topologia. In questo articolo utilizziamo l’RLC serie come modello fondamentale, evitando una seconda derivazione che non aggiungerebbe nuovi principi alla comprensione del regime transitorio.
17. Equazione caratteristica e regimi di smorzamento
Associamo all’equazione del circuito RLC serie la relazione caratteristica:
\[
s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0.
\]
Introduciamo due parametri fondamentali:
\[
\alpha=\frac{R}{2L}
\]
\[
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
\]
Entrambe le grandezze hanno la dimensione dell’inverso di un tempo. In particolare:
\[
[\alpha]=\mathrm{s}^{-1},
\qquad
[\omega_0]=\mathrm{rad/s}.
\]
Anche la pulsazione smorzata \(\omega_d\), che verrà introdotta nel caso sottosmorzato, si misura in rad/s.
L’equazione diventa:
\[
s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0.
\]
Le radici sono:
\[
s_{1,2}
=
-\alpha
\pm
\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.
\]
La natura delle radici determina il comportamento del circuito.
A. Regime sovrasmorzato
Se:
\[
\alpha>\omega_0,
\]
le due radici sono reali, distinte e negative:
\[
s_1<0,
\qquad
s_2<0.
\]
La risposta naturale assume la forma:
\[
x(t)
=
A e^{s_1t}
+
B e^{s_2t}.
\]
Non si hanno oscillazioni. La grandezza ritorna verso il valore di equilibrio attraverso la combinazione di due decadimenti esponenziali.
Per un RLC serie la condizione può essere scritta anche come:
\[
R>2\sqrt{\frac{L}{C}}.
\]
B. Smorzamento critico
Se:
\[
\alpha=\omega_0,
\]
l’equazione caratteristica presenta una radice reale doppia:
\[
s=-\alpha.
\]
La risposta assume la forma:
\[
x(t)
=
(A+Bt)e^{-\alpha t}.
\]
Il caso critico rappresenta il limite fra comportamento oscillatorio e non oscillatorio. Nel modello ideale lineare è il ritorno più rapido all’equilibrio che non presenti oscillazioni.
Per il circuito RLC serie:
\[
R_{\mathrm{crit}}
=
2\sqrt{\frac{L}{C}}.
\]
C. Regime sottosmorzato
Se:
\[
\alpha<\omega_0,
\]
le radici sono complesse con parte reale negativa:
\[
s_{1,2}
=
-\alpha
\pm
j\omega_d,
\]
dove:
\[
\omega_d
=
\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.
\]
La risposta può essere scritta come:
\[
x(t)
=
e^{-\alpha t}
\left[
A\cos(\omega_d t)
+
B\sin(\omega_d t)
\right].
\]
Il circuito oscilla, ma l’ampiezza delle oscillazioni diminuisce nel tempo secondo l’inviluppo esponenziale \(e^{-\alpha t}\).
Per il circuito RLC serie la condizione equivalente è:
\[
R<2\sqrt{\frac{L}{C}}.
\]
Osservazione importante. Non tutti i circuiti RLC oscillano. L’oscillazione si verifica soltanto nel regime sottosmorzato. Una resistenza sufficientemente elevata elimina il comportamento oscillatorio.
Significato di \(\omega_0\) e \(\omega_d\)
La grandezza:
\[
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}
\]
è la pulsazione naturale non smorzata associata all’interazione fra capacità e induttanza.
La grandezza:
\[
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}
\]
è invece la pulsazione effettiva delle oscillazioni smorzate. Se \(R>0\), nel regime sottosmorzato vale:
\[
\omega_d<\omega_0.
\]
Queste grandezze non devono essere confuse con la risonanza di un circuito alimentato sinusoidalmente, che appartiene allo studio del regime sinusoidale e sarà affrontata successivamente.
18. Condizioni iniziali nel circuito RLC
Poiché il circuito è del secondo ordine, per determinare completamente la risposta servono due condizioni iniziali indipendenti.
La scelta fisicamente naturale è:
\[
v_C(0^+)=V_0,
\qquad
i_L(0^+)=I_0.
\]
Se si utilizza \(v_C(t)\) come variabile, la seconda condizione può essere espressa attraverso:
\[
\left.\frac{dv_C}{dt}\right|_{0^+}
=
\frac{I_0}{C},
\]
purché i riferimenti di tensione e corrente siano quelli della convenzione adottata.
Se invece si utilizza la corrente \(i(t)\), dalla KVL della risposta naturale:
\[
Ri+L\frac{di}{dt}+v_C=0,
\]
si ricava:
\[
\left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+}
=
-\frac{RI_0+V_0}{L}.
\]
Le costanti presenti nella soluzione del secondo ordine vengono quindi determinate dallo stato energetico iniziale della rete.
19. Interpretazione energetica del circuito RLC
Il significato più profondo del comportamento RLC emerge considerando contemporaneamente l’energia elettrica del condensatore e l’energia magnetica dell’induttore.
L’energia totale immagazzinata nei due elementi ideali è:
\[
W(t)
=
\frac{1}{2}Cv_C^2(t)
+
\frac{1}{2}Li^2(t).
\]
Per il circuito RLC serie in risposta naturale:
\[
Ri+L\frac{di}{dt}+v_C=0.
\]
Deriviamo l’energia totale:
\[
\frac{dW}{dt}
=
Cv_C\frac{dv_C}{dt}
+
Li\frac{di}{dt}.
\]
Poiché:
\[
C\frac{dv_C}{dt}=i,
\]
si ottiene:
\[
\frac{dW}{dt}
=
v_C i
+
Li\frac{di}{dt}
=
i
\left(
v_C+L\frac{di}{dt}
\right).
\]
Dalla KVL:
\[
v_C+L\frac{di}{dt}=-Ri.
\]
Pertanto:
\[
\frac{dW}{dt}
=
-Ri^2
\le 0
\qquad (R\ge 0).
\]
Questa relazione riassume fisicamente l’intero fenomeno dello smorzamento. Per una resistenza passiva \(R\ge 0\), l’energia complessivamente immagazzinata nel condensatore e nell’induttore non può aumentare durante la risposta naturale: diminuisce esattamente alla velocità con cui la resistenza dissipa potenza per effetto Joule.
Il condensatore e l’induttore possono scambiarsi energia: quando diminuisce l’energia elettrica del condensatore può aumentare quella magnetica dell’induttore e viceversa. La resistenza, invece, trasforma irreversibilmente parte dell’energia elettrica in energia interna per effetto Joule.
Per questo motivo, nel regime sottosmorzato, tensioni e correnti possono cambiare segno ripetutamente, ma l’ampiezza delle oscillazioni diminuisce progressivamente. A ogni oscillazione una parte dell’energia totale viene dissipata nella resistenza.
20. Il limite ideale LC
Il significato energetico dell’RLC diventa ancora più chiaro considerando il limite ideale:
\[
R=0.
\]
In questo caso:
\[
\alpha=0,
\]
e quindi:
\[
\omega_d=\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
\]
La relazione energetica diventa:
\[
\frac{dW}{dt}=0.
\]
L’energia totale rimane costante e viene continuamente trasferita dal campo elettrico del condensatore al campo magnetico dell’induttore e viceversa.
Il circuito LC ideale può quindi sostenere oscillazioni persistenti. L’RLC reale rappresenta il caso in cui una parte dell’energia viene invece dissipata e le oscillazioni, quando presenti, si attenuano progressivamente.
Questa osservazione non deve essere confusa con il fenomeno della risonanza sinusoidale forzata, che richiede una sorgente periodica e appartiene allo studio successivo dei circuiti in corrente alternata.
21. Il gradino come modello della commutazione
La chiusura ideale di un interruttore che collega improvvisamente una sorgente continua alla rete può essere interpretata come l’applicazione di un ingresso a gradino: la grandezza imposta dalla sorgente passa idealmente da un valore a un altro nell’istante \(t=0\).
Il concetto è utile perché permette di distinguere chiaramente:
- la variazione idealmente istantanea dell’eccitazione esterna;
- la risposta dinamica degli elementi capacitivo e induttivo;
- le condizioni iniziali che la rete deve rispettare.
Non è necessario introdurre, in questa fase, il formalismo matematico della funzione gradino o la trasformata di Laplace. L’analisi diretta nel dominio del tempo è sufficiente per comprendere i circuiti del primo e del secondo ordine trattati in questo articolo.
22. Modello ideale e componenti reali
Le relazioni utilizzate finora descrivono elementi ideali:
\[
i_C=C\frac{dv_C}{dt},
\qquad
v_L=L\frac{di_L}{dt}.
\]
Un componente reale presenta inevitabilmente effetti aggiuntivi.
Condensatore reale
- resistenza serie equivalente;
- correnti di perdita;
- perdite dielettriche;
- induttanze parassite;
- dipendenza dei parametri da temperatura e frequenza.
Induttore reale
- resistenza dell’avvolgimento;
- capacità parassite;
- perdite nel nucleo;
- correnti parassite;
- saturazione magnetica;
- dipendenza dell’induttanza dalle condizioni operative.
Questi fenomeni diventano essenziali quando si vuole prevedere quantitativamente il comportamento di componenti fisici ad alta frequenza, ad alta potenza o vicino ai limiti operativi. Nel presente articolo il loro ruolo è soprattutto quello di ricordare che il modello circuitale ideale possiede un preciso campo di validità.
23. Errori concettuali da evitare
1. “La tensione del condensatore non cambia.”
Falso. La tensione può variare, ma nelle condizioni ordinarie non può subire un salto istantaneo.
2. “La corrente dell’induttore non cambia.”
Falso. La corrente può variare, ma deve essere continua attraverso una normale commutazione.
3. “Il condensatore è sempre un circuito aperto.”
Falso. L’equivalenza vale nel regime permanente ideale in corrente continua.
4. “L’induttore è sempre un cortocircuito.”
Falso. Anche questa equivalenza è limitata al regime permanente ideale in corrente continua.
5. “Un condensatore inizialmente scarico è sempre un corto a \(t=0^+\).”
La frase è una scorciatoia valida soltanto in configurazioni molto particolari. La regola generale è la continuità di \(v_C\).
6. “Un induttore inizialmente senza corrente è sempre aperto a \(t=0^+\).”
Anche questa è una semplificazione circuitale non universale. La regola generale è la continuità di \(i_L\).
7. Confondere \(0^-\) e \(0^+\).
Il primo indica lo stato immediatamente precedente alla commutazione, il secondo quello immediatamente successivo.
8. Utilizzare automaticamente \(\tau=RC\) oppure \(\tau=L/R\).
Nelle reti generali occorre determinare la resistenza equivalente realmente vista dall’elemento reattivo.
9. Spegnere le sorgenti dipendenti nel calcolo di \(R_{\mathrm{eq}}\).
Le sorgenti dipendenti devono rimanere attive; se necessario si utilizza una sorgente di prova.
10. Considerare \(5\tau\) la fine matematica del transitorio.
È soltanto una convenzione pratica: l’esponenziale non raggiunge mai esattamente zero in un tempo finito.
11. Identificare sempre risposta forzata e valore finale.
Questo vale soltanto in casi particolari, per esempio con eccitazione costante e rete stabile.
12. Pensare che ogni RLC oscilli.
Il comportamento dipende dal rapporto fra \(\alpha\) e \(\omega_0\).
13. Confondere \(\omega_0\) e \(\omega_d\).
\(\omega_0\) è la pulsazione naturale non smorzata; \(\omega_d\) è quella effettiva dell’oscillazione sottosmorzata.
14. Chiamare risonanza qualsiasi oscillazione RLC.
Le oscillazioni naturali dovute alle condizioni iniziali non sono la stessa cosa della risonanza sinusoidale forzata.
15. Determinare l’ordine contando semplicemente tutti i condensatori e gli induttori.
L’ordine è legato al numero di variabili di stato energetiche indipendenti.
24. Un quadro unitario dei circuiti RC, RL e RLC
I circuiti studiati possono ora essere letti come parti di un unico quadro.
| Circuito | Memoria energetica | Variabile naturale | Ordine | Parametro dinamico principale |
|---|---|---|---|---|
| RC | campo elettrico | \(v_C\) | primo | \(\tau=R_{\mathrm{eq}}C\) |
| RL | campo magnetico | \(i_L\) | primo | \(\tau=L/R_{\mathrm{eq}}\) |
| RLC | campo elettrico + magnetico | \(v_C,\ i_L\) | secondo | \(\alpha,\ \omega_0,\ \omega_d\) |
Il passaggio concettuale può essere riassunto così:
condensatore e induttore
↓
energia immagazzinata
↓
memoria dello stato precedente
↓
condizioni iniziali
↓
equazioni differenziali
↓
evoluzione temporale della rete
25. Dal regime transitorio al regime sinusoidale
Con lo studio dei transitori cambia definitivamente il modo di interpretare una rete elettrica. Una rete non è soltanto un insieme di relazioni istantanee fra tensioni e correnti: quando sono presenti elementi capaci di accumulare energia, il suo comportamento dipende dallo stato precedente e dalla dinamica temporale.
Il condensatore conserva memoria attraverso la propria tensione:
\[
v_C.
\]
L’induttore conserva memoria attraverso la propria corrente:
\[
i_L.
\]
Nei circuiti del primo ordine questa memoria produce un’evoluzione esponenziale caratterizzata da una sola costante di tempo. Nei circuiti del secondo ordine l’interazione fra due forme indipendenti di accumulo energetico rende possibile una dinamica più ricca, che può essere sovrasmorzata, criticamente smorzata oppure oscillatoria smorzata.
La resistenza assume allora un significato energetico essenziale: non modifica soltanto tensioni e correnti, ma determina la rapidità con cui l’energia accumulata viene dissipata.
Con questi concetti si chiude il quadro fondamentale dei circuiti in corrente continua e si costruisce il ponte verso il passo successivo: lo studio delle grandezze alternate sinusoidali e, successivamente, dei resistori, condensatori e induttori in regime sinusoidale.
