Un resistore, un induttore e un condensatore ideali descrivono tre comportamenti elettrici fondamentali. I componenti costruiti realmente, però, non coincidono mai perfettamente con questi modelli: un avvolgimento possiede resistenza elettrica, un condensatore presenta perdite e ogni collegamento introduce effetti indesiderati. Per interpretare i dati di un componente e prevederne il comportamento occorrono due strumenti complementari: impedenza e ammettenza, che descrivono il bipolo ai morsetti, e circuiti equivalenti, che ne rappresentano i fenomeni interni essenziali.
1. Obiettivi, prerequisiti e campo di validità
Assumiamo noti sinusoidi, pulsazione, numeri complessi, fasori efficaci, convenzioni dei bipoli e relazioni costitutive di R, L e C ideali (Articoli 13–16). Qui lavoriamo prevalentemente in regime sinusoidale permanente, a frequenza fissata e con convenzione dell’utilizzatore: tensione e corrente hanno riferimenti associati. Quando la risposta è lineare e tempo-invariante, una sinusoide alla frequenza di eccitazione produce una risposta sinusoidale alla stessa frequenza. Impedenza e ammettenza sono allora rapporti complessi ben definiti, purché il denominatore del rapporto considerato non sia nullo.
Indicheremo con \(\underline V\) e \(\underline I\) i fasori complessi efficaci; con \(V\) e \(I\) i loro moduli non negativi; con \(j\) l’unità immaginaria e con \(\omega=2\pi f\) la pulsazione. Gli angoli seguono la convenzione del coseno. I parametri ideali concentrati costituiscono approssimazioni: validità in frequenza, temperatura, livello di eccitazione e condizioni costruttive va sempre dichiarata.
2. Dall’elemento ideale al bipolo reale
Nel componente reale convivono fenomeni differenti. Una bobina, per esempio, produce flusso magnetico concatenato ma è avvolta con un conduttore resistivo; inoltre tra spire esiste una capacità parassita. Anche un resistore può immagazzinare una piccola quantità di energia magnetica ed elettrica. In un condensatore, infine, il dielettrico e i collegamenti non sono perfetti.
Non è possibile separare materialmente tutti questi contributi come se fossero componenti discreti indipendenti. Possiamo però costruire un modello equivalente con elementi ideali, utile per un determinato intervallo di frequenze e condizioni operative. L’equivalenza è esterna, ai morsetti: a una certa frequenza due bipoli lineari con la stessa impedenza presentano la stessa relazione fra tensione e corrente fasoriali. Questo non significa che abbiano identica struttura fisica, uguali tensioni interne o identico comportamento a qualsiasi frequenza.
3. Impedenza complessa: definizione e significato fisico
Per un bipolo lineare in regime sinusoidale, il rapporto tra fasore di tensione e fasore di corrente prende il nome di impedenza complessa. Essa misura sia il rapporto tra le ampiezze sia la differenza di fase.
\(\underline V=\underline Z\,\underline I\)
La parte reale \(R=\mathrm{Re}(\underline Z)\) è detta parte resistiva (o resistenza equivalente serie, quando si adotta quel modello). La parte immaginaria \(X=\mathrm{Im}(\underline Z)\) è la reattanza algebrica. Per un bipolo passivo ordinario, a parametri concentrati e senza sorgenti interne, la parte reale è non negativa. È importante non confondere questa parte reale con la resistenza in continua del componente: in generale le due possono differire.
La reattanza è positiva quando il comportamento equivalente è induttivo e negativa quando è capacitivo, con i riferimenti adottati. Una componente reattiva descrive lo sfasamento associato all’accumulo e alla restituzione periodica di energia; non va identificata con una dissipazione irreversibile. In un componente reale, per contro, la parte resistiva dell’impedenza incorpora i meccanismi di perdita osservati dall’esterno.
3.1 Modulo, argomento e rappresentazione polare
\(\underline Z=|\underline Z|(\cos\varphi+j\sin\varphi)\)
In particolare \(|\underline Z|=V/I\), mentre \(\varphi=\arg(\underline V)-\arg(\underline I)\). Se \(R>0\), il rapporto \(X/R\) fornisce la tangente dell’angolo, ma l’angolo deve essere scelto nel quadrante corretto. La formula \(|\underline Z|=\sqrt{R^2+X^2}\) non esprime l’intera impedenza complessa: esprime soltanto il suo modulo.
Il diagramma nel piano complesso ha ascissa \(R\) e ordinata \(X\). Il cosiddetto triangolo dell’impedenza è una rappresentazione geometrica di queste componenti e del modulo: per \(X<0\) la componente immaginaria si disegna sotto l’asse reale. Analogamente, assumendo \(\underline I\) come riferimento reale, le componenti della tensione soddisfano \(RI=V\cos\varphi\) e \(XI=V\sin\varphi\). Sono relazioni algebriche: il secondo membro può essere negativo.
3.2 Confronto con i tre elementi ideali
Senza ripetere le dimostrazioni nel dominio del tempo dell’Articolo 16, ricordiamo le loro conseguenze fasoriali:
| Bipolo ideale | Impedenza | Fase della tensione rispetto alla corrente |
|---|---|---|
| Resistore | \(\underline Z_R=R\) | 0° |
| Induttore | \(\underline Z_L=j\omega L\) | +90° |
| Condensatore | \(\underline Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}\) | −90° |
Le formule valgono, nel caso di L e C, per \(\omega>0\) nel regime considerato. Non autorizzano a estrapolare il comportamento di un componente reale a frequenza nulla o arbitrariamente elevata.
4. Ammettenza: descrizione duale del bipolo
Quando si desidera esprimere la corrente in funzione della tensione è naturale utilizzare l’ammettenza complessa. La definizione non dipende dal fatto che il bipolo sia fisicamente costruito con elementi in parallelo: ogni impedenza non nulla possiede il proprio inverso.
\(\underline I=\underline Y\,\underline V\)
La parte reale \(G\) si chiama conduttanza; la parte immaginaria \(B\) prende il nome di suscettanza algebrica. Entrambe si misurano in siemens (S), inverso dell’ohm. Le grandezze \(G\) e \(B\) costituiscono i parametri naturali del modello equivalente parallelo.
4.1 Conversione esatta fra impedenza e ammettenza
Razionalizzando il denominatore complesso, per \(R^2+X^2\ne0\) si ricava:
Il segno meno nell’espressione di \(B\) è essenziale. Per un’impedenza induttiva con \(X>0\), la suscettanza risulta negativa; per una impedenza capacitiva con \(X<0\), risulta positiva. È questo uno degli errori dell’antico articolo «Circuiti reali» che la presente rifondazione corregge.
Procedendo nell’altra direzione, se \(G^2+B^2\ne0\):
\(\underline Z=\frac{G-jB}{G^2+B^2},\qquad R=\frac{G}{G^2+B^2},\qquad X=-\frac{B}{G^2+B^2}\)
Il modulo e la fase dell’ammettenza risultano:
\(|\underline Y|=\sqrt{G^2+B^2}=\frac{1}{|\underline Z|},\qquad \arg(\underline Y)=-\varphi\)
Il triangolo dell’ammettenza si costruisce con ascissa \(G\), ordinata algebrica \(B\) e ipotenusa \(|\underline Y|\). I triangoli di impedenza e ammettenza sono geometricamente collegati, ma le componenti reattive hanno segno opposto. Se si impiega \(\varphi\) come angolo della tensione rispetto alla corrente, allora \(\cos\varphi=G/|\underline Y|\) e \(\sin\varphi=-B/|\underline Y|\), non \(B/|\underline Y|\).
5. Modello equivalente serie e modello equivalente parallelo
Un bipolo può essere rappresentato, a una frequenza fissata, da una parte resistiva e una reattiva in serie, oppure da una conduttanza e una suscettanza in parallelo. I due modelli devono riprodurre la medesima impedenza complessa ai morsetti. Qui studiamo la conversione del modello di un singolo bipolo; la soluzione sistematica delle reti RLC serie e parallelo resta riservata agli Articoli 18 e 19.
Nel modello serie sono naturali \(R_s\) e \(X_s\). Nel modello parallelo sono naturali \(G_p\) e \(B_p\). Per un modello parallelo con ramo resistivo finito \(R_p\) e ramo reattivo ideale \(jX_p\), si ha \(G_p=1/R_p\) e \(B_p=-1/X_p\), con \(X_p\) algebrico. A partire da \(R_s+jX_s\):
Queste ultime forme richiedono \(R_s\ne0\) e \(X_s\ne0\). Nei casi degeneri, come un bipolo puramente resistivo o puramente reattivo, è preferibile usare direttamente l’ammettenza e rappresentare l’eventuale ramo assente come aperto. Una resistenza serie \(R_s\) non coincide in generale con la resistenza parallelo \(R_p\); di conseguenza \(G_p\ne1/R_s\) se \(X_s\ne0\).
5.1 Esempio recuperato: equivalente di un carico induttivo
Un carico reale funzionante a 50 Hz è alimentato a 220 V efficaci, assorbe 8 A efficaci e presenta \(\cos\varphi=0{,}8\) con corrente in ritardo sulla tensione. Rappresentiamolo ai morsetti mediante i modelli serie e parallelo. I dati storici erano riferiti a un motore: qui il modello è inteso soltanto come equivalente elettrico alla frequenza e nella condizione di funzionamento indicate, non come modello completo della macchina.
\(|\underline Z|=\frac{220}{8}=27{,}5\ \Omega,\qquad \sin\varphi=+\sqrt{1-0{,}8^2}=0{,}6\)
\(R_s=27{,}5\cdot0{,}8=22\ \Omega,\qquad X_s=27{,}5\cdot0{,}6=16{,}5\ \Omega\)
Quindi \(\underline Z=(22+j16{,}5)\ \Omega\). Per il modello parallelo:
\(\underline Y=\frac{1}{22+j16{,}5}=\frac{22-j16{,}5}{756{,}25}\ \mathrm S\)
\(G_p\simeq0{,}02909\ \mathrm S,\qquad B_p\simeq-0{,}02182\ \mathrm S\)
\(R_p=34{,}375\ \Omega,\qquad X_p\simeq45{,}833\ \Omega\)
La verifica si effettua ai morsetti: \(|\underline Y|=1/27{,}5\ \mathrm S\) e \(I=220/27{,}5=8\ \mathrm A\), con identico sfasamento. La suscettanza del carico induttivo è negativa anche se il valore della reattanza del suo ramo induttivo parallelo è positivo. Questa distinzione risolve l’ambiguità di segno del testo storico.
6. Il resistore reale
Il resistore ideale oppone una resistenza indipendente dalla frequenza e non introduce sfasamento. Un resistore fisico, invece, è formato da un materiale, da terminali e da una geometria: questi elementi generano piccoli effetti induttivi e capacitivi, oltre a variazioni della resistenza con la temperatura. Il modello semplice più utile comprende una resistenza \(R\), una induttanza serie parassita \(L_p\) e una capacità parassita \(C_p\) tra i terminali o fra parti della struttura.
In una fascia di frequenze sufficientemente bassa, quando l’effetto di \(C_p\) è trascurabile, una prima approssimazione è:
\(\underline Z_{R,\mathrm{appross}}\simeq R+j\omega L_p\)
Un modello più ricco può essere costituito dal ramo \(R+j\omega L_p\) posto in parallelo con \(C_p\):
\(\underline Y_{R,\mathrm{mod}}=\frac{1}{R+j\omega L_p}+j\omega C_p\)
Non si tratta di un circuito universale valido per ogni tecnologia. Resistori avvolti, a film e a montaggio superficiale hanno distribuzioni parassite differenti. Inoltre la resistenza può variare con la temperatura, spesso descritta localmente dalla relazione approssimata \(R(T)\simeq R(T_0)[1+\alpha(T-T_0)]\), quando l’intervallo termico rende sensata l’approssimazione lineare. Non si assume qui che tale legge valga per tutti i materiali e per qualsiasi temperatura.
Esempio di ordine di grandezza. Per un modello serie con \(R=100\ \Omega\) e \(L_p=100\ \mathrm{nH}\), a \(f=1\ \mathrm{MHz}\) la componente parassita induttiva è \(X_{L_p}=2\pi fL_p\simeq0{,}628\ \Omega\). È piccola rispetto a 100 Ω, ma non nulla. Se frequenza e geometria cambiano, il suo peso può crescere; non si può estendere indiscriminatamente questo modello a frequenze elevate.
7. L’induttore reale
Una bobina reale possiede la resistenza del filo avvolto, eventuali perdite del nucleo e capacità distribuite tra spire e strati. Il modello più immediato, valido quando capacità distribuite ed effetti del nucleo sono trascurabili o inglobabili in un parametro efficace, è una resistenza serie \(R_s\) con un’induttanza \(L\):
\(\underline Z_{L,\mathrm{semplice}}=R_s+j\omega L\)
Nel caso di bobina con nucleo magnetico, le perdite per isteresi e correnti indotte possono essere rappresentate, in un intervallo operativo fissato, mediante una resistenza di perdita equivalente, oppure tramite parametri efficaci dipendenti dalla frequenza. Non è corretto assimilare automaticamente ogni perdita del nucleo alla sola resistenza in continua dell’avvolgimento. La saturazione e la dipendenza della permeabilità dal livello di eccitazione possono inoltre rendere il dispositivo non lineare, limitando l’uso di una singola impedenza costante.
Per rappresentare la capacità parassita distribuita si può collocare una capacità equivalente \(C_p\) in parallelo al ramo serie. In questa approssimazione:
\(\underline Y_{L,\mathrm{mod}}=\frac{1}{R_s+j\omega L}+j\omega C_p\)
Questa formula mostra perché il componente non può essere descritto a tutte le frequenze dalla sola legge \(j\omega L\). La disposizione reale è distribuita e i parametri del modello possono dipendere dalla frequenza. L’analisi sistematica dei fenomeni risonanti associati a questi contributi verrà sviluppata nell’Articolo 21.
Esempio. Per \(L=0{,}100\ \mathrm H\), \(R_s=12\ \Omega\) e \(f=50\ \mathrm{Hz}\), se la capacità parassita è trascurabile, \(X_L=2\pi\cdot50\cdot0{,}100\simeq31{,}416\ \Omega\). Pertanto \(\underline Z\simeq(12+j31{,}416)\ \Omega\), \(|\underline Z|\simeq33{,}63\ \Omega\) e \(\varphi\simeq69{,}1^\circ\). Il modello prevede uno sfasamento inferiore ai 90° del componente ideale, senza richiedere di risolvere una rete RLC generale.
8. Il condensatore reale
Un condensatore reale è caratterizzato dalla capacità nominale \(C\), dalla resistenza serie equivalente \(R_{\mathrm{ESR}}\), dalla induttanza serie equivalente \(L_{\mathrm{ESL}}\) e dalle perdite di isolamento o dielettriche. Il termine ESR raccoglie in un parametro equivalente alcune perdite viste ai morsetti e, in generale, dipende da frequenza, temperatura e tecnologia. La resistenza di isolamento rappresenta invece la presenza di una piccola corrente di perdita anche in condizioni in cui il dielettrico ideale la impedirebbe.
Un modello elementare per le perdite e i parassiti consiste in un ramo serie \(R_{\mathrm{ESR}}\), \(L_{\mathrm{ESL}}\) e \(C\), eventualmente completato da un ramo di perdita resistivo. Se il ramo di perdita parallelo è trascurabile:
\(\underline Z_{C,\mathrm{mod}}=R_{\mathrm{ESR}}+j\omega L_{\mathrm{ESL}}-\frac{j}{\omega C}\)
La relazione non significa che la capacità fisica scompaia o che le perdite siano sempre puramente resistive in tutto lo spettro: si tratta di un modello concentrato valido entro condizioni definite. Una semplice conduttanza di perdita \(G_d\) posta in parallelo al condensatore ideale produce, invece, il modello:
\(\underline Y_{C,\mathrm{perdite}}=G_d+j\omega C\)
In tale modello parallelo, per \(G_d>0\), si può introdurre il rapporto adimensionale \(\tan\delta=G_d/(\omega C)\), utile a caratterizzare il peso delle perdite dielettriche rispetto alla suscettanza capacitiva. È un parametro riferito al modello e alla frequenza di misura; non va confuso con l’angolo \(\varphi\) fra tensione e corrente del bipolo. L’eventuale collegamento quantitativo con altre rappresentazioni delle perdite richiede una conversione fra modelli alla stessa frequenza.
Esempio. Per \(C=10\ \mathrm{\mu F}\), \(R_{\mathrm{ESR}}=0{,}50\ \Omega\) e \(f=1\ \mathrm{kHz}\), trascurando l’ESL e la perdita parallelo, si ha \(1/(\omega C)\simeq15{,}915\ \Omega\). Quindi \(\underline Z\simeq(0{,}50-j15{,}915)\ \Omega\) e \(|\underline Z|\simeq15{,}923\ \Omega\). La piccola parte reale è necessaria per rappresentare la perdita, mentre il segno della parte immaginaria indica un comportamento capacitivo.
9. Scelta dei modelli, misure e limiti di impiego
Un circuito equivalente non è «vero» o «falso» in assoluto: deve essere adeguato allo scopo. Per un resistore a frequenza industriale può bastare \(R\); per un avvolgimento con resistenza apprezzabile serve almeno \(R_s+j\omega L\); per un condensatore impiegato in applicazioni più rapide possono diventare importanti ESR ed ESL. La scelta richiede il confronto fra grandezze parassite e contributi principali alla frequenza d’interesse.
Le misure di impedenza di un componente si effettuano applicando una piccola eccitazione sinusoidale nota e ricavando rapporto e sfasamento fra tensione e corrente, oppure usando uno strumento che determini parametri equivalenti. Il risultato dipende dalla frequenza di prova, dal livello del segnale, dalla temperatura e dalle connessioni di misura. Per elementi non lineari occorre specificare il punto di lavoro e considerare, se appropriata, una impedenza differenziale per piccoli segnali. Le tolleranze nominali e i valori riportati dal costruttore non sostituiscono queste condizioni di misura.
Non va confusa la resistenza ohmica dell’avvolgimento, misurabile anche in continua, con la parte reale dell’impedenza in alternata, che può comprendere ulteriori perdite. Analogamente, la capacità nominale e l’induttanza nominale non definiscono integralmente il comportamento del componente reale. I modelli a parametri concentrati cessano di essere sufficienti quando la distribuzione spaziale dei campi e la propagazione lungo le strutture diventano rilevanti.
10. Controllo dimensionale
Il rapporto tra fasori di tensione e corrente ha unità \([\underline Z]=\mathrm{V/A}=\Omega\), quindi entrambe le sue parti, \(R\) e \(X\), sono misurate in ohm. Viceversa, \([\underline Y]=\mathrm{A/V}=\mathrm S\), e la stessa unità spetta a \(G\) e \(B\).
Poiché \([\omega]=\mathrm{s^{-1}}\), \([L]=\mathrm{V\,s/A}=\mathrm H\) e \([C]=\mathrm{A\,s/V}=\mathrm F\), sia \(\omega L\) sia \(1/(\omega C)\) hanno dimensione di ohm. Infine \(R/(R^2+X^2)\) e \(X/(R^2+X^2)\) hanno dimensione di \(\Omega^{-1}=\mathrm S\). Il radiante è adimensionale nel controllo dimensionale.
11. Errori concettuali da evitare
- Scambiare \(\underline Z\) con \(|\underline Z|\): una è complessa, l’altro è un numero reale non negativo.
- Scrivere \(B=X/(R^2+X^2)\): per \(\underline Z=R+jX\) il segno corretto è negativo.
- Usare \(G=1/R_s\) per un bipolo serie che presenta anche reattanza.
- Considerare due modelli equivalenti a una frequenza come identici a tutte le frequenze e in qualsiasi condizione.
- Attribuire a ogni condensatore o induttore reale lo sfasamento esatto di 90°.
- Confondere ESR, resistenza di isolamento, resistenza in continua e perdite magnetiche.
- Supporre che un solo circuito concentrato riproduca perfettamente un componente a frequenze illimitate.
12. Esercizi di consolidamento e autoverifica
Esercizio 1 — Conversione complessa. Un bipolo ha \(\underline Z=(30-j40)\ \Omega\). Calcolare modulo, fase, ammettenza e segno della suscettanza. Controllo: \(|\underline Z|=50\ \Omega\), \(\underline Y=(0{,}012+j0{,}016)\ \mathrm S\) e \(\varphi\simeq-53{,}13^\circ\).
Esercizio 2 — Modello serie-parallelo. Alla frequenza di prova un bipolo induttivo è descritto da \(R_s=6\ \Omega\) e \(X_s=8\ \Omega\). Determinare il ramo parallelo equivalente. Controllo: \(G_p=0{,}06\ \mathrm S\), \(B_p=-0{,}08\ \mathrm S\), \(R_p\simeq16{,}67\ \Omega\) e \(X_p=12{,}5\ \Omega\).
Esercizio 3 — Diagnosi del modello. Un condensatore con capacità nominale nota viene misurato a due frequenze differenti e mostra una parte reale dell’impedenza non nulla. Spiegare quali fenomeni possono renderla diversa da zero e perché non si deve assumere automaticamente una ESR costante.
Esercizio 4 — Scelta della rappresentazione. Descrivere quando preferire, per una bobina, un modello serie \(R_s+j\omega L\) e quando sia utile aggiungere una capacità parassita. Indicare inoltre quale informazione occorre conoscere prima di confrontare due modelli equivalenti.
13. Sintesi operativa e continuità del percorso
L’impedenza \(\underline Z=R+jX\) e l’ammettenza \(\underline Y=G+jB\) sono due rappresentazioni dello stesso comportamento fasoriale ai morsetti, legate dall’inversione complessa. La prima rende immediate le componenti equivalenti serie; la seconda quelle parallelo. I componenti reali richiedono ulteriori elementi ideali per modellare perdite ed effetti parassiti. Ogni equivalenza deve essere interpretata con riferimento alla frequenza e alle condizioni di funzionamento.
Questi strumenti preparano l’analisi sistematica dei circuiti RLC serie (Articolo 18) e parallelo (Articolo 19), senza anticiparne i procedimenti completi. Metodi generali, risonanza, potenze sinusoidali ed effetti non sinusoidali saranno trattati negli articoli successivi previsti dalla Roadmap Megistone.
