1. Dal regime sinusoidale al comportamento dei bipoli
Una tensione sinusoidale applicata a due bipoli differenti non produce necessariamente correnti uguali, né correnti in fase con la tensione. Il resistore ideale risponde al valore istantaneo della tensione; l’induttore collega tensione e variazione della corrente; il condensatore collega corrente e variazione della tensione. Sono tre leggi costitutive differenti, non tre eccezioni alla legge di Ohm.
Il nostro obiettivo è ricavare, a partire dalle relazioni nel dominio del tempo, il rapporto fra ampiezze efficaci e la differenza di fase di tensione e corrente. Non ripetiamo le definizioni di sinusoide e fasore degli Articoli 13 e 14, né la generazione elettromagnetica della f.e.m. dell’Articolo 15.
Osservazione storica da conservare. Una stessa bobina alimentata in continua stazionaria e in alternata sinusoidale può assorbire correnti efficaci differenti, pur applicando tensioni numericamente uguali: in continua, a regime, conta la resistenza dell’avvolgimento; in alternata interviene anche l’effetto induttivo. Non è una violazione della legge di Ohm per il resistore, ma il comportamento di un bipolo che non è puramente resistivo. Le formule quantitative per la bobina reale appartengono all’Articolo 17.
2. Ipotesi, versi e rappresentazione comune
Assumiamo bipoli ideali, lineari e tempo-invarianti, parametri R, L e C costanti, regime sinusoidale permanente e pulsazione positiva \(\omega=2\pi f>0\). La tensione \(v(t)\) è misurata con polarità positiva sul morsetto nel quale entra la corrente di riferimento \(i(t)\): adottiamo la convenzione dell’utilizzatore.
Usiamo fasori efficaci con convenzione del coseno, come nell’Articolo 14:
\(\underline V=V e^{j\varphi_v},\qquad \underline I=I e^{j\varphi_i},\qquad \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i\)
In questa convenzione \(\Delta\varphi>0\) significa che la tensione anticipa la corrente; \(\Delta\varphi<0\) che la tensione ritarda rispetto alla corrente. Il simbolo \(j\) è l’unità immaginaria: \(j^2=-1\). Una derivata nel tempo di una componente armonica corrisponde alla moltiplicazione del suo fasore per \(j\omega\).
3. Il resistore ideale: la tensione segue la corrente senza ritardo
Per un resistore lineare ideale la relazione costitutiva vale istante per istante: \(v_R(t)=R\,i_R(t)\), con \(R>0\) misurata in ohm. Scegliendo la corrente \(i_R(t)=\sqrt2 I\cos(\omega t+\varphi_i)\), otteniamo per sostituzione:
Le fasi coincidono: \(\varphi_v=\varphi_i\) e \(\Delta\varphi_R=0\). Pertanto \(V_R=RI_R\), con V e I efficaci. Il resistore ideale non introduce sfasamento e il rapporto fra le ampiezze non dipende dalla frequenza, purché \(R\) sia costante.
3.1 Significato energetico
Nella convenzione dell’utilizzatore \(p_R(t)=v_R(t)i_R(t)=R i_R^2(t)\geq0\). La potenza istantanea assorbita non diventa negativa; l’energia viene dissipata, non restituita periodicamente alla sorgente da un campo di accumulo ideale. La media sul periodo è \(\langle p_R\rangle=RI^2=VI\). È un richiamo alla legge di Joule già acquisita, non la trattazione generale della potenza sinusoidale riservata all’Articolo 22.
3.2 Esempio: riscaldatore resistivo
Un resistore ideale \(R=20\,\Omega\) è alimentato a \(V=220\,\mathrm V\) efficaci. Si trova \(I=220/20=11\,\mathrm A\) e \(I_{\max}=\sqrt2\cdot11\simeq15{,}56\,\mathrm A\). Con fase iniziale nulla, \(i(t)=15{,}56\cos(\omega t)\,\mathrm A\). Il valore medio della potenza dissipata è \(P=220\cdot11=2420\,\mathrm W\). Frequenza e fase iniziale non alterano i valori efficaci di questo resistore ideale.
4. L’induttore ideale: tensione proporzionale alla variazione della corrente
Per un induttore ideale lineare il flusso concatenato è \(\lambda=L i_L\), con \(L>0\) costante. Con i riferimenti passivi la tensione ai morsetti è \(v_L=d\lambda/dt\), quindi:
La legge descrive l’autoinduzione secondo la convenzione di segno dichiarata. Non va confusa con la f.e.m. indotta definita lungo un contorno orientato: i segni possono differire in funzione dei riferimenti. Fissiamo una corrente sinusoidale \(i_L(t)=\sqrt2 I\cos(\omega t+\varphi_i)\). Derivando si ottiene:
\(v_L(t)=-\sqrt2\,\omega L I\sin(\omega t+\varphi_i)=\sqrt2\,\omega L I\cos(\omega t+\varphi_i+\pi/2)\)
La tensione anticipa la corrente di 90°; equivalentemente, la corrente ritarda di 90° rispetto alla tensione. La quadratura dipende dalla derivata e non da un generico “rallentamento” meccanico degli elettroni.
4.1 Reattanza induttiva e interpretazione della frequenza
Il coefficiente positivo \(X_L=\omega L=2\pi fL\) ha dimensioni di ohm e consente di scrivere per le sole ampiezze efficaci \(V_L=X_L I_L\). Non è una resistenza dissipativa: il segno e la fase del rapporto fasoriale sono contenuti nel fattore \(j\). A parità di \(I_L\), l’ampiezza della tensione richiesta aumenta linearmente con la frequenza; a tensione efficace fissata, \(I_L=V_L/(\omega L)\) diminuisce con \(f\).
Il limite \(f\to0\) suggerisce \(X_L\to0\); non autorizza a usare la formula del regime sinusoidale a pulsazione zero per descrivere transitori o condizioni iniziali. In corrente continua stazionaria, un induttore ideale con corrente costante ha tensione nulla, ma la corrente viene determinata dal resto del circuito e dalle condizioni di collegamento.
Analogia utile, ma limitata. L’induttanza può essere accostata all’inerzia meccanica: così come una massa oppone una relazione fra forza e variazione della velocità, l’induttore lega la tensione alla variazione della corrente. L’analogia riguarda la forma delle equazioni e l’accumulo energetico; non equivale a identificare la corrente con un moto meccanico reale.
4.2 Energia nel campo magnetico
La potenza istantanea ai morsetti è \(p_L=v_Li_L=Li_L\,di_L/dt=d(\frac{1}{2} Li_L^2)/dt\). Ne segue l’energia accumulata \(w_L(t)=\frac{1}{2} L i_L^2(t)\). Quando \(|i_L|\) cresce, \(w_L\) aumenta; quando diminuisce, il bipolo restituisce energia. In regime sinusoidale permanente, l’induttore ideale scambia periodicamente energia con il circuito: il valor medio di \(p_L\) su un periodo è nullo. Non significa assenza di corrente, tensione o trasferimento istantaneo di energia.
4.3 Esempio: induttore a 50 Hz
Per \(L=0{,}100\,\mathrm H\), \(f=50\,\mathrm{Hz}\) e \(V=100\,\mathrm V\): \(\omega=314{,}16\,\mathrm{rad/s}\), \(X_L=31{,}416\,\Omega\) e \(I=3{,}183\,\mathrm A\). Ponendo \(v(t)=\sqrt2\cdot100\cos(\omega t)\), la corrente è \(i(t)=\sqrt2\cdot3{,}183\cos(\omega t-90^\circ)\). Il controllo consiste nel derivare quest’ultima e moltiplicare per \(L\): si deve ritrovare la tensione imposta.
Recupero dell’esempio storico. In un modello puramente induttivo alimentato a \(V=220\,\mathrm V\) e \(f=50\,\mathrm{Hz}\), una corrente efficace prescritta di \(I=500\,\mathrm A\) corrisponderebbe a \(X_L=0{,}44\,\Omega\) e \(L=X_L/(2\pi f)\simeq1{,}40\,\mathrm{mH}\). È un esercizio teorico: non rappresenta il dimensionamento di un limitatore reale di cortocircuito, che richiederebbe resistenza, transitori, picchi e sollecitazioni termiche ed elettrodinamiche.
5. Il condensatore ideale: corrente proporzionale alla variazione della tensione
Nel condensatore lineare ideale vale \(q=C v_C\) e, con convenzione dell’utilizzatore, \(i_C=dq/dt\). Per \(C>0\) costante si ottiene:
Una tensione applicata sinusoidale \(v_C(t)=\sqrt2 V\cos(\omega t+\varphi_v)\) determina:
\(i_C(t)=-\sqrt2\,\omega CV\sin(\omega t+\varphi_v)=\sqrt2\,\omega CV\cos(\omega t+\varphi_v+\pi/2)\)
La corrente anticipa la tensione di 90°; equivalentemente, la tensione è in ritardo di 90° rispetto alla corrente. Quando la tensione raggiunge un estremo, la sua derivata è nulla, quindi la corrente capacitiva ideale è nulla in quell’istante. Quando la tensione attraversa lo zero con pendenza massima in modulo, la corrente raggiunge un estremo.
5.1 Reattanza capacitiva e interpretazione della frequenza
Per le ampiezze efficaci definiamo la reattanza capacitiva positiva \(X_C=1/(\omega C)=1/(2\pi f C)\), misurata in ohm; quindi \(V_C=X_C I_C\). Questa uguaglianza scalare non esprime la fase: la relazione completa è \(\underline V_C=\underline I_C/(j\omega C)=-j\,\underline I_C/(\omega C)\). A tensione efficace fissata, \(I_C=\omega C V_C\) aumenta linearmente con la frequenza.
In regime continuo stazionario il condensatore ideale ha corrente nulla, ma può sostenere una tensione non nulla; la sua tensione è determinata dalla carica e dalla storia del circuito. Per \(f\to\infty\) la reattanza ideale tende a zero, senza implicare che un condensatore reale diventi un cortocircuito a frequenze arbitrariamente elevate.
5.2 Energia nel campo elettrico
La potenza è \(p_C=v_Ci_C=Cv_C\,dv_C/dt=d(\frac{1}{2} C v_C^2)/dt\); l’energia immagazzinata è \(w_C(t)=\frac{1}{2} C v_C^2(t)\). Quando cresce \(|v_C|\), il condensatore accumula energia; quando diminuisce, la restituisce. In regime sinusoidale permanente il condensatore ideale scambia energia con il circuito e il valor medio della potenza assorbita su un periodo è nullo. Il dielettrico impedisce la conduzione ideale fra le armature, ma la corrente ai terminali è possibile grazie alla variazione delle cariche e del campo elettrico; non occorre ipotizzare il passaggio diretto di elettroni attraverso il dielettrico.
5.3 Esempio: condensatore a 50 Hz
Con \(C=31{,}8\,\mu\mathrm F\), \(f=50\,\mathrm{Hz}\) e \(V=100\,\mathrm V\), otteniamo \(\omega C\simeq0{,}00999\,\mathrm S\), \(X_C\simeq100{,}1\,\Omega\) e \(I\simeq0{,}999\,\mathrm A\). Se \(v(t)=\sqrt2\cdot100\cos(\omega t)\), allora \(i(t)\simeq\sqrt2\cdot0{,}999\cos(\omega t+90^\circ)\). La verifica si effettua derivando la tensione e moltiplicando per \(C\).
Recupero dell’esempio storico. Se un condensatore ideale assorbe \(I=1\,\mathrm A\) a \(V=100\,\mathrm V\) e \(f=50\,\mathrm{Hz}\), risulta \(X_C=100\,\Omega\) e \(C=1/(2\pi f X_C)\simeq31{,}83\,\mu\mathrm F\).
6. Confronto sistematico fra R, L e C
| Proprietà | Resistore R | Induttore L | Condensatore C |
|---|---|---|---|
| Legge nel tempo | \(v=Ri\) | \(v=L\,di/dt\) | \(i=C\,dv/dt\) |
| Relazione fasoriale | \(\underline V=R\underline I\) | \(\underline V=j\omega L\underline I\) | \(\underline I=j\omega C\underline V\) |
| \(\varphi_v-\varphi_i\) | \(0^\circ\) | \(+90^\circ\) | \(-90^\circ\) |
| Rapporto fra valori efficaci | \(V/I=R\) | \(V/I=\omega L\) | \(V/I=1/(\omega C)\) |
| Energia | dissipazione | campo magnetico \(Li^2/2\) | campo elettrico \(Cv^2/2\) |
Esplora il comportamento di resistore, induttore e condensatore
in regime sinusoidale, modificando i parametri e osservando
tensioni, correnti e sfasamenti.
7. I diagrammi temporali e fasoriali sono coerenti
Scegliamo il fasore della corrente sull’asse reale positivo. Sul resistore, tensione e corrente sono allineate; sull’induttore, il fasore della tensione è ruotato di \(+90^\circ\) rispetto a quello della corrente. Per il condensatore è invece più immediato porre la tensione sull’asse reale positivo: la corrente è ruotata di \(+90^\circ\) rispetto alla tensione. In entrambi i casi i grafici temporali devono mostrare esattamente lo stesso anticipo o ritardo.
La formula mnemonica «nell’induttore la corrente ritarda; nel condensatore la corrente anticipa» è corretta solo dichiarando rispetto alla tensione e con i riferimenti coerenti. Cambiare il verso della corrente di riferimento o la polarità di tensione senza adeguare le equazioni conduce a errori di segno apparentemente paradossali.
8. Verifiche dimensionali e condizioni di validità
Il controllo dimensionale conferma la coerenza delle tre relazioni costitutive. Per il resistore \([R]=\mathrm V/\mathrm A=\Omega\). Nel caso dell’induttore \([L]=\mathrm{V\,s/A}=\mathrm H\), quindi \([\omega L]=\mathrm{s^{-1}\,H}=\Omega\). Per il condensatore, invece, \([C]=\mathrm{A\,s/V}=\mathrm F\), da cui \([1/(\omega C)]=\Omega\). Il radiante è adimensionale nel controllo dimensionale.
Le relazioni fasoriali descritte valgono per una sola componente sinusoidale a frequenza comune, in regime permanente, con elementi ideali lineari e parametri costanti. Non descrivono, da sole, l’avviamento del circuito, sorgenti con componente continua, segnali non sinusoidali oppure materiali con saturazione e parametri dipendenti dall’ampiezza. L’induttore reale ha resistenza di avvolgimento, perdite nel nucleo e capacità parassite; il condensatore reale presenta perdite, dispersioni ed elementi parassiti. Il loro studio sistematico è riservato all’Articolo 17.
9. Errori ricorrenti da prevenire
- Confondere valore efficace e valore massimo: le formule fasoriali precedenti usano valori efficaci; moltiplicare ancora per \(\sqrt2\) soltanto nel passaggio alla sinusoide istantanea.
- Omettere il fattore \(j\): \(V=\omega LI\) e \(V=I/(\omega C)\) sono relazioni tra moduli, non equazioni fasoriali complete.
- Trattare L e C come resistenze: l’unità ohm di una reattanza non implica dissipazione.
- Scambiare anticipo e ritardo: per la stessa convenzione passiva la tensione precede la corrente su L, mentre la corrente precede la tensione su C.
- Estendere il modello ideale senza limiti: i limiti a frequenza nulla o infinita non descrivono automaticamente il circuito reale e non sostituiscono l’analisi dei transitori.
- Credere che nel condensatore gli elettroni attraversino il dielettrico: il campo variabile e le cariche sulle armature spiegano la corrente ai terminali nel modello ideale.
10. Esercizio comparativo con una sorgente sinusoidale comune
Consideriamo separatamente tre bipoli ideali alimentati dalla medesima tensione \(v(t)=\sqrt2\cdot100\cos(2\pi\cdot50t)\,\mathrm V\). Scegliamo \(R=100\,\Omega\), \(L=0{,}100\,\mathrm H\) e \(C=31{,}8\,\mu\mathrm F\). Per R si ha \(I_R=1{,}000\,\mathrm A\), con fase \(0^\circ\); per L \(I_L\simeq3{,}183\,\mathrm A\), con fase \(-90^\circ\); per C \(I_C\simeq0{,}999\,\mathrm A\), con fase \(+90^\circ\).
Le tre correnti non vanno sommate: sono i risultati di tre esperimenti distinti, ciascuno con un solo bipolo. La somma fasoriale di correnti e l’analisi sistematica di collegamenti saranno affrontate negli articoli dedicati. Il confronto serve a isolare e osservare la legge costitutiva di ciascun elemento.
11. Autoverifica ragionata
- Se si raddoppia la frequenza, mantenendo costanti \(L\) e \(V\), come cambia la corrente efficace dell’induttore? Si dimezza.
- Se si raddoppia la frequenza, mantenendo costanti \(C\) e \(V\), come cambia la corrente efficace del condensatore? Raddoppia.
- Quando la corrente di un induttore sinusoidale è massima in modulo, quale valore ha la tensione? Zero, perché la derivata della corrente è nulla.
- Quando la tensione del condensatore è zero e attraversa lo zero con pendenza non nulla, è necessariamente nulla anche la corrente? No: in modulo è massima per una sinusoide pura.
- Perché non basta scrivere \(V=X_L I\) per risolvere un problema fasoriale? Perché manca l’informazione di quadratura, codificata da \(j\).
- Un induttore ideale dissipa in media energia in regime sinusoidale? No: accumula e restituisce periodicamente l’energia magnetica.
12. Sintesi operativa e continuità del percorso
Nel resistore ideale, tensione e corrente sono proporzionali e in fase. Per l’induttore ideale, invece, la tensione è proporzionale alla derivata della corrente e la anticipa di 90°. Nel condensatore ideale, al contrario, la corrente è proporzionale alla derivata della tensione e la anticipa di 90°. Questo risultato nasce direttamente dalle leggi costitutive e dall’operatore di derivazione fasoriale \(j\omega\).
L’Articolo 17 generalizzerà queste relazioni mediante i concetti di impedenza e ammettenza e introdurrà i modelli reali. Successivamente sarà possibile analizzare collegamenti serie, parallelo e reti sinusoidali senza confondere comportamento del singolo bipolo e comportamento della rete complessiva.
