Circuiti RLC in serie: impedenza e fasori

DiAlfredo Di Fiore

1. Circuiti in serie in regime sinusoidale: problema fisico e prerequisiti

In una rete monofase alimentata da una tensione sinusoidale, gli elementi collegati in serie sono attraversati dalla stessa corrente. La tensione applicata, invece, è la somma algebrica delle tensioni istantanee sui singoli bipoli e, nel dominio fasoriale, la loro somma complessa. Questo semplice vincolo topologico permette di analizzare in modo unitario circuiti RL, RC e RLC in serie, purché si distinguano accuratamente fasori e valori efficaci scalari.

Presupponiamo note le grandezze sinusoidali (Articolo 13), le convenzioni sui fasori con riferimento al coseno (Articolo 14), le relazioni costitutive di R, L e C ideali (Articolo 16) e il concetto di impedenza (Articolo 17). Qui non le ridimostriamo: le utilizziamo per risolvere una specifica topologia.

Assumiamo regime sinusoidale permanente, frequenza positiva f > 0, pulsazione \(\omega=2\pi f\), componenti lineari ideali a parametri concentrati, collegamenti ideali e condizioni iniziali transitorie ormai esaurite. Nelle formule i fasori delle tensioni e delle correnti rappresentano valori efficaci; le corrispondenti grandezze istantanee sono, per esempio, \(v(t)=\sqrt{2}\,V\cos(\omega t+\alpha_V)\) e \(i(t)=\sqrt{2}\,I\cos(\omega t+\alpha_I)\). La distinzione fra moduli \(V,I\) e fasori \(\underline V,\underline I\) resterà esplicita.

Adottiamo per ogni bipolo passivo la convenzione dell’utilizzatore: il riferimento positivo della corrente entra nel morsetto contrassegnato come positivo per la tensione del componente. Le tensioni sui componenti vengono orientate coerentemente lungo il percorso della maglia; la tensione del generatore è intesa come tensione applicata ai morsetti della serie, con polarità coerente con la KVL.

2. Impedenze in serie e legge di Kirchhoff delle tensioni

Per \(n\) bipoli attraversati dal medesimo fasore di corrente \(\underline I\), la KVL, con polarità coerenti, impone \(\underline V=\underline V_1+\underline V_2+\cdots+\underline V_n\). Utilizzando \(\underline V_k=\underline Z_k\underline I\) si ottiene:

\(\underline Z_{\mathrm{eq}}=\sum_{k=1}^{n}\underline Z_k,\qquad \underline V=\underline Z_{\mathrm{eq}}\,\underline I\)
Schema del circuito RLC in serie con generatore sinusoidale, corrente comune e tensioni fasoriali ai capi di resistore, induttore e condensatore
Figura 1 – Circuito RLC in serie: corrente comune, polarità delle tensioni di ramo e legge di Kirchhoff in forma fasoriale.

L’equivalenza riguarda il comportamento elettrico ai morsetti della serie alla frequenza considerata. Se \(\underline Z_k=R_k+jX_k\), allora \(R_{\mathrm{eq}}=\sum R_k\) e \(X_{\mathrm{eq}}=\sum X_k\). Si sommano le parti reali e immaginarie, non i moduli delle impedenze. In particolare, le reattanze capacitive hanno segno negativo nella parte immaginaria dell’impedenza.Assegnata la tensione del generatore, la corrente si ricava da \(\underline I=\underline V/\underline Z_{\mathrm{eq}}\), purché \(\underline Z_{\mathrm{eq}}\ne0\). I fasori delle tensioni sui componenti derivano poi dal prodotto \(\underline V_k=\underline Z_k\underline I\). La KVL fornisce anche la verifica finale: la somma complessa delle tensioni calcolate deve restituire quella applicata.

3. Circuito RL in serie

Consideriamo un resistore ideale R > 0 e un induttore ideale L > 0 in serie. Alla pulsazione assegnata, definiamo XL = ωL > 0. La serie presenta un’impedenza con parte immaginaria positiva:

\(\underline Z_{RL}=R+j\omega L=R+jX_L\)
Diagramma fasoriale del circuito RL in serie con corrente di riferimento, tensione resistiva in fase, tensione induttiva in anticipo di 90 gradi e tensione totale
Figura 2 – Diagramma fasoriale del circuito RL in serie: la tensione resistiva è in fase con la corrente, la tensione induttiva è in anticipo di 90° e la tensione totale è la loro somma vettoriale.

Assumendo la corrente quale riferimento fasoriale, \(\underline I=I\angle0^\circ\), le tensioni risultano \(\underline V_R=RI\angle0^\circ\) e \(\underline V_L=X_LI\angle90^\circ\). Quindi la tensione resistiva è in fase con la corrente, mentre quella induttiva è in anticipo di 90°. La somma \(\underline V=\underline V_R+\underline V_L\) corrisponde geometricamente alla diagonale di un triangolo rettangolo.

\(|\underline Z_{RL}|=\sqrt{R^2+X_L^2},\quad V=I\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{V_R^2+V_L^2}\)
\(\varphi=\arg(\underline Z_{RL})=\arctan\!\left(\frac{X_L}{R}\right),\qquad \tan\varphi=\frac{X_L}{R}\)

Con R > 0 e XL > 0, 0° < φ < 90°. Poiché \(\varphi=\alpha_V-\alpha_I\), la corrente ritarda rispetto alla tensione applicata di \(\varphi\). A tensione efficace fissata, aumentando \(X_L\) aumenta il modulo dell’impedenza e diminuisce il modulo della corrente. Non è corretto dire che l’induttanza “aumenta la resistenza”: aggiunge una componente reattiva, distinta dalla componente resistiva.

4. Circuito RC in serie

Per un resistore R > 0 e un condensatore ideale C > 0 in serie, definiamo XC = 1/(ωC) > 0 come modulo della reattanza capacitiva. La reattanza algebrica del condensatore è \(-X_C\), non \(+X_C\). Ne segue:

\(\underline Z_{RC}=R-\frac{j}{\omega C}=R-jX_C\)
Diagramma fasoriale RC serie con corrente di riferimento, tensione resistiva in fase, tensione capacitiva a meno 90 gradi e tensione totale
Figura 3 – Diagramma fasoriale del circuito RC in serie: la tensione capacitiva è in ritardo di 90° rispetto alla corrente e la tensione totale presenta uno sfasamento negativo.

Prendendo ancora \(\underline I=I\angle0^\circ\), la tensione resistiva \(\underline V_R=RI\angle0^\circ\) è in fase con la corrente, mentre la tensione capacitiva \(\underline V_C=X_CI\angle(-90^\circ)\) è in ritardo di 90°. La componente immaginaria della tensione totale è dunque negativa.

\(|\underline Z_{RC}|=\sqrt{R^2+X_C^2},\quad V=\sqrt{V_R^2+V_C^2}\)
\(\varphi=\arg(\underline Z_{RC})=\arctan\!\left(-\frac{X_C}{R}\right),\quad \sin\varphi=-\frac{X_C}{|\underline Z_{RC}|},\quad\tan\varphi=-\frac{X_C}{R}\)

In questo caso -90° < φ < 0°: la corrente anticipa la tensione applicata di \(|\varphi|\). Il segno negativo non è una convenzione secondaria: è necessario per rappresentare fedelmente l’orientamento dei fasori. Una formula con seno o tangente positivi può riferirsi soltanto al modulo dell’angolo, che deve essere dichiarato come tale.

5. Circuito RLC in serie: reattanza risultante e impedenza equivalente

Nel circuito RLC serie ideale la medesima corrente attraversa resistenza, induttanza e capacità. Con XL = ωL > 0 e XC = 1/(ωC) > 0 definiamo la reattanza algebrica risultante \(X=X_L-X_C\). Essa può essere positiva, negativa oppure nulla. La combinazione dei tre componenti conduce alla relazione fondamentale:

\(\underline Z_{RLC}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)=R+jX,\qquad X=X_L-X_C\)

Il modulo e l’argomento dell’impedenza, per R > 0, sono:

\(|\underline Z_{RLC}|=\sqrt{R^2+X^2},\qquad \varphi=\arg(\underline Z_{RLC})=\arctan\!\left(\frac{X}{R}\right)\)
\(\cos\varphi=\frac{R}{|\underline Z_{RLC}|},\qquad \sin\varphi=\frac{X}{|\underline Z_{RLC}|},\qquad \tan\varphi=\frac{X}{R}\)

L’impiego di \(\arctan\!\left(\frac{X}{R}\right)\) rende esplicito il segno dell’angolo; con R > 0 è equivalente all’arcotangente di \(X/R\). Le formule trigonometriche non vanno applicate dividendo per \(R\) nel caso limite \(R=0\); la rappresentazione complessa resta invece significativa quando l’impedenza non è nulla.

6. Comportamento induttivo, capacitivo e reattanza risultante nulla

  • X > 0 — comportamento complessivamente induttivo: XL > XC, φ > 0; la corrente è in ritardo rispetto alla tensione applicata.
  • X < 0 — comportamento complessivamente capacitivo: XL < XC, φ < 0; la corrente è in anticipo rispetto alla tensione applicata.
  • \(X=0\) — comportamento complessivamente resistivo ai morsetti: \(\underline Z_{RLC}=R\), \(\varphi=0\) e tensione totale e corrente sono in fase, pur rimanendo presenti le tensioni sui due elementi reattivi.
Due diagrammi fasoriali RLC serie che confrontano il caso induttivo con tensione in anticipo e il caso capacitivo con tensione in ritardo
Figura 4 – Circuito RLC in serie: confronto dei diagrammi fasoriali nei casi di reattanza risultante positiva e negativa.

Nel terzo caso \(\underline V_L+\underline V_C=0\), ma non significa che entrambe le tensioni siano nulle: i loro fasori sono opposti e di uguale modulo. La cancellazione riguarda esclusivamente la somma fasoriale ai morsetti. L’approfondimento sul fenomeno della risonanza, la frequenza caratteristica, il fattore di qualità e la banda passante appartiene all’Articolo 21.

7. Somma fasoriale delle tensioni e triangoli

Scegliendo la corrente quale riferimento, i tre fasori delle tensioni sono:

\(\underline V_R=RI,\qquad \underline V_L=jX_LI,\qquad \underline V_C=-jX_CI\)

La KVL assume pertanto la forma \(\underline V=\underline V_R+\underline V_L+\underline V_C=RI+j(X_L-X_C)I\). Ne deriva la relazione fra moduli efficaci:

\(V=\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}=I\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)
Triangoli dell'impedenza di un circuito RLC serie con resistenza R, reattanza risultante X positiva o negativa, modulo Z e angolo di fase
Figura 5 – Triangolo dell’impedenza di un circuito RLC in serie: confronto tra reattanza risultante positiva e negativa e relativo angolo di fase.

Qui \(V_R,V_L,V_C\) indicano moduli non negativi; la differenza \(V_L-V_C\) è invece una componente algebrica riferita all’asse in quadratura con la corrente. Il triangolo delle tensioni ha cateto orizzontale \(V_R\), cateto verticale orientato \(V_L-V_C\) e ipotenusa \(V\). Dividendo tutti i lati per I > 0 si ottiene il triangolo dell’impedenza, con cateti \(R\) e \(X\) e ipotenusa \(|\underline Z|\). Se X < 0, il cateto verticale è rivolto verso il basso.Attenzione: non è in generale vero che \(V=V_R+V_L+V_C\), perché i tre numeri sono moduli e non tengono conto degli angoli. Non è neppure vero che \(V=V_R+|V_L-V_C|\), tranne casi degeneri: si deve usare la somma complessa, oppure il teorema di Pitagora nelle condizioni precisate.

8. Procedura operativa di analisi e controllo

  1. Fissare polarità e versi di riferimento, individuando la corrente comune e la tensione applicata.
  2. Verificare l’unità di frequenza e calcolare \(\omega=2\pi f\) in \(\mathrm{rad/s}\).
  3. Calcolare \(X_L=\omega L\) e \(X_C=1/(\omega C)\) in ohm, definendo esplicitamente \(X=X_L-X_C\).
  4. Costruire \(\underline Z=R+jX\), poi determinarne modulo e argomento con il segno corretto.
  5. Data la tensione fasoriale, calcolare \(\underline I=\underline V/\underline Z\); se è data la corrente, procedere inversamente con \(\underline V=\underline Z\underline I\).
  6. Determinare \(\underline V_R=R\underline I\), \(\underline V_L=jX_L\underline I\) e \(\underline V_C=-jX_C\underline I\).
  7. Verificare numericamente \(\underline V_R+\underline V_L+\underline V_C=\underline V\) e, sui moduli, \(V^2=V_R^2+(V_L-V_C)^2\).
  8. Interpretare il segno di \(\varphi\), dichiarare le unità e mantenere un numero ragionevole di cifre significative.

Quando si assegna soltanto il valore efficace della tensione del generatore, è lecito scegliere \(\underline V=V\angle0^\circ\) come riferimento; quando interessa il triangolo delle tensioni, è spesso più semplice porre \(\underline I=I\angle0^\circ\). Cambiare riferimento ruota tutti i fasori dello stesso angolo ma non modifica alcuna relazione fisica o sfasamento relativo.

9. Esempi numerici universitari verificati

9.1 Serie RL: corrente, sfasamento e verifica della KVL

Dati: generatore \(V=24\ \mathrm V\) efficaci a \(f=50\ \mathrm{Hz}\); \(R=8\ \Omega\), \(L=0{,}060\ \mathrm H\). Poniamo \(\underline V=24\angle0^\circ\ \mathrm V\).

\(X_L=2\pi\cdot50\cdot0{,}060=18{,}8496\ \Omega\)
\(\underline Z=8+j18{,}8496\ \Omega,\quad |\underline Z|=20{,}4770\ \Omega,\quad\varphi=67{,}003^\circ\)
\(\underline I=\frac{24}{8+j18{,}8496}=(0{,}45790-j1{,}07890)\ \mathrm A=1{,}17205\angle(-67{,}003^\circ)\ \mathrm A\)

Le tensioni dei componenti in modulo valgono \(V_R=9{,}3764\ \mathrm V\) e \(V_L=22{,}0926\ \mathrm V\). Con la tensione applicata scelta a fase nulla:

\(\underline V_R=(3{,}66320-j8{,}63121)\ \mathrm V,\qquad \underline V_L=(20{,}33680+j8{,}63121)\ \mathrm V\)

La verifica complessa è immediata: \(\underline V_R+\underline V_L=(24{,}00000+j0{,}00000)\ \mathrm V\). La corrente è in ritardo di circa \(67{,}0^\circ\) sulla tensione applicata.

9.2 Serie RC: il segno negativo dello sfasamento

Dati: \(V=120\ \mathrm V\) efficaci, \(f=50\ \mathrm{Hz}\), \(R=30\ \Omega\), \(C=100\ \mu\mathrm F\); riferimento \(\underline V=120\angle0^\circ\ \mathrm V\).

\(X_C=\frac{1}{2\pi\cdot50\cdot100\cdot10^{-6}}=31{,}8310\ \Omega\)
\(\underline Z=30-j31{,}8310\ \Omega,\quad |\underline Z|=43{,}7403\ \Omega,\quad \varphi=-46{,}696^\circ\)
\(\underline I=(1{,}88165+j1{,}99650)\ \mathrm A=2{,}74347\angle46{,}696^\circ\ \mathrm A\)

Quindi \(V_R=82{,}3040\ \mathrm V\), \(V_C=87{,}3273\ \mathrm V\). In forma complessa, \(\underline V_R=(56{,}4496+j59{,}8949)\ \mathrm V\) e \(\underline V_C=(63{,}5504-j59{,}8949)\ \mathrm V\), la cui somma è \(120+j0\ \mathrm V\). La corrente anticipa la tensione: non si deve sostituire l’angolo negativo con un angolo positivo senza dichiarare che se ne sta considerando il modulo.

9.3 Serie RLC: tensioni reattive grandi e somma totale corretta

Dati: \(V=120\ \mathrm V\) efficaci, \(f=50\ \mathrm{Hz}\), \(R=20\ \Omega\), \(L=0{,}120\ \mathrm H\), \(C=80\ \mu\mathrm F\). Poniamo \(\underline V=120\angle0^\circ\ \mathrm V\).

\(X_L=37{,}6991\ \Omega,\quad X_C=39{,}7887\ \Omega,\quad X=-2{,}08962\ \Omega\)
\(\underline Z=(20-j2{,}08962)\ \Omega,\quad |\underline Z|=20{,}1089\ \Omega,\quad \varphi=-5{,}96469^\circ\)
\(\underline I=(5{,}93521+j0{,}62012)\ \mathrm A=5{,}96752\angle5{,}96469^\circ\ \mathrm A\)

I moduli delle tensioni valgono \(V_R=119{,}350\ \mathrm V\), \(V_L=224{,}970\ \mathrm V\) e \(V_C=237{,}440\ \mathrm V\). Pur essendo le tensioni reattive individuali maggiori della tensione applicata, la loro somma fasoriale è relativamente piccola:

\(\underline V_R=(118{,}704+j12{,}402)\ \mathrm V\)
Questa è la tensione sul resistore, rappresentata nel piano complesso.
\(\underline V_L=(-23{,}378+j223{,}752)\ \mathrm V,\quad \underline V_C=(24{,}674-j236{,}154)\ \mathrm V\)
Le componenti immaginarie delle tensioni reattive hanno segni opposti. Di conseguenza, la legge di Kirchhoff richiede di sommare i fasori, non i loro moduli.
\(\underline V_R+\underline V_L+\underline V_C\simeq(120{,}000+j0{,}000)\ \mathrm V\)

La verifica sui moduli dà \(\sqrt{119{,}350^2+(224{,}970-237{,}440)^2}\simeq120{,}0\ \mathrm V\). Il circuito è complessivamente capacitivo alla frequenza assegnata: il dato rilevante è il segno di \(X\), non il fatto che sia presente anche un induttore.

9.4 Problema inverso RL: determinare i componenti da tensione, corrente e fase

Riprendiamo, correggendone la presentazione, un’impostazione presente negli esercizi storici Megistone. Dati: tensione efficace applicata \(V=6\ \mathrm V\), corrente istantanea \(i(t)=6\sin(10^3t)\ \mathrm{mA}\), tensione applicata in anticipo di \(60^\circ\) rispetto alla corrente. La scelta del seno nella consegna non cambia il valore efficace né lo sfasamento relativo; la convenzione fasoriale dell’articolo rimane riferita al coseno.

Il valore \(6\ \mathrm{mA}\) indicato nella sinusoide è massimo, non efficace. Pertanto:

\(I=\frac{6}{\sqrt2}\ \mathrm{mA}=4{,}24264\ \mathrm{mA},\quad |\underline Z|=\frac{6}{4{,}24264\cdot10^{-3}}=1414{,}21\ \Omega\)
\(R=|\underline Z|\cos60^\circ=707{,}11\ \Omega\)
\(X_L=|\underline Z|\sin60^\circ=1224{,}74\ \Omega,\quad L=\frac{X_L}{\omega}=1{,}22474\ \mathrm H\)

Controllo: \(R+j\omega L\simeq707{,}11+j1224{,}74\ \Omega\), con modulo \(1414{,}21\ \Omega\) e argomento \(+60^\circ\). Moltiplicato per la corrente efficace, restituisce una tensione efficace di \(6\ \mathrm V\) e lo sfasamento assegnato. L’esercizio mostra perché confondere ampiezza e valore efficace altera tutti i parametri identificati.

10. Errori concettuali ricorrenti

  • Sommare moduli invece di fasori: in generale \(V\ne V_R+V_L+V_C\). La KVL somma grandezze con fase e segno coerenti.
  • Scrivere \(R+X_L+X_C\) come impedenza: il termine induttivo è \(+jX_L\), quello capacitivo è \(-jX_C\).
  • Scambiare \(\underline Z\) con \(|\underline Z|\): la prima è complessa, il secondo è un numero reale non negativo.
  • Attribuire sempre un ritardo alla corrente: ciò vale per comportamento complessivamente induttivo, non per quello capacitivo.
  • Considerare \(V_L\) e \(V_C\) come tensioni con lo stesso verso fasoriale: rispetto alla corrente di riferimento sono in quadratura di segno opposto.
  • Ritenere impossibile VL > V o VC > V: i singoli moduli possono essere maggiori del totale per compensazione fasoriale.
  • Confondere reattanza risultante nulla con assenza di tensioni reattive: si annulla la somma fasoriale \(\underline V_L+\underline V_C\), non necessariamente ciascuna tensione.
  • Confondere grandezze massime ed efficaci: con una sinusoide pura il valore efficace è il massimo diviso \(\sqrt2\); ogni conversione va esplicitata.
  • Usare prefissi errati: \(\mathrm{pF}\) e \(\mu\mathrm F\) differiscono di un fattore \(10^6\); l’errore stravolge \(X_C\).

11. Controllo dimensionale, ipotesi e limiti di validità

La resistenza e le reattanze hanno dimensione di impedenza e si misurano in ohm. Poiché \([\omega]=\mathrm{s}^{-1}\) nel controllo dimensionale (il radiante è adimensionale), \([\omega L]=\mathrm{s}^{-1}\mathrm H=\Omega\) e \([1/(\omega C)]=1/(\mathrm{s}^{-1}\mathrm F)=\Omega\). Di conseguenza \(V=I|\underline Z|\) ha dimensioni \(\mathrm A\cdot\Omega=\mathrm V\). Gli argomenti di seno, coseno e funzioni trigonometriche devono essere coerenti con la definizione di angolo e con le unità utilizzate.

Le relazioni presentate sono valide per componenti lineari e tempo-invarianti rappresentabili come R, L e C ideali in regime sinusoidale permanente. Componenti reali possono avere resistenze parassite, capacità distribuite, perdite, dipendenza dalla temperatura e parametri variabili con la frequenza: il trattamento dei loro modelli appartiene all’Articolo 17 e, per fenomeni avanzati, ad articoli successivi. Se i parametri non sono costanti, se si manifestano non linearità significative o se il regime non è sinusoidale, la presente rappresentazione può risultare insufficiente.

Nel caso di \(R=0\) e \(X=0\), il modello RLC serie puramente ideale fornisce \(\underline Z=0\): una sorgente ideale di tensione non nulla renderebbe impossibile determinare una corrente finita con la semplice relazione \(\underline I=\underline V/\underline Z\). È un limite del modello e non un risultato fisico da interpretare come corrente realmente infinita. La trattazione organica del comportamento in prossimità di tale condizione è riservata all’Articolo 21.

12. Sintesi operativa e continuità della Roadmap

Nei circuiti RL, RC e RLC in serie la topologia impone una corrente comune, mentre la legge di Kirchhoff impone la somma fasoriale delle tensioni. In regime sinusoidale permanente, il collegamento di impedenze si traduce in una somma di numeri complessi. Per un circuito RLC serie il segno della reattanza risultante \(X=\omega L-1/(\omega C)\) determina il carattere complessivamente induttivo o capacitivo, mentre \(R\) e \(X\) determinano insieme il modulo e l’argomento dell’impedenza.

\(\underline V=\underline V_R+\underline V_L+\underline V_C=\left[R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right]\underline I\)

La capacità di passare dalla somma fasoriale all’interpretazione fisica, e poi a una verifica numerica indipendente, costituisce il risultato centrale di questo articolo. L’Articolo 19 applicherà la stessa impostazione ai collegamenti RLC in parallelo; l’Articolo 20 estenderà l’analisi alle reti sinusoidali mediante metodi e teoremi generali; l’Articolo 21 svilupperà sistematicamente la risonanza, senza che tali argomenti vengano anticipati qui.

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