Vettore induzione magnetica e campo magnetico -

Abbiamo visto che ad un conduttore, o più in generale ad un solenoide percorso da corrente, sono associate delle linee di forza. In fisica, la grandezza introdotta per descrivere il campo magnetico generato è l’intensità di campo magnetico, indicata con il simbolo H, che nella letteratura classica viene talvolta denominata anche “forza magnetica”.
Consideriamo solo la parte centrale di un solenoide lungo, ove le linee di forza risultano praticamente parallele: verso gli estremi divergono, figura 1.

La forza magnetica è proporzionale al valore della corrente I, al numero delle spire N che formano il solenoide ed inversamente proporzionale alla lunghezza I del solenoide.

$H = \frac{N \cdot I}{l}$

La sua unità di misura è l’amperspire/metro

$\left( \frac{\text{Asp}}{\text{m}} \right)$

e corrisponde alla forza magnetica ottenuta in una spira, percorsa dalla corrente di 1A, che sia parte di un solenoide lungo un metro. A volte, viene utilizzata anche l’unità

$\left( \frac{\text{Asp}}{\text{cm}} \right)$

Osserviamo che la forza magnetica è indipendente sia dal diametro della spira, cioè dall’area di questa, che dal materiale entro il quale agisce: H rimane lo stesso, se il campo si crea nell’aria o nel ferro.
Consideriamo adesso il campo magnetico di un conduttore rettilineo (percorso da corrente). Ricordando che le relative linee di forza sono circolari, la forza magnetica è data dal rapporto tra la corrente che percorre il conduttore e la lunghezza della linea di forza considerata. Se r è la distanza di questa dal conduttore, la sua lunghezza sarà 2×π×r, e quindi la relazione precedente diventa:

$\left( \frac{\text{Asp}}{\text{m}} \right)$

La forza magnetica è una grandezza unitaria del campo, è riferita infatti ad una lunghezza unitaria (un metro) di solenoide. Se consideriamo invece tutta la lunghezza dell’avvolgimento, otterremo la tensione magnetica, che corrisponde alla somma delle forze magnetiche che si hanno nel circuito, moltiplicate per la lunghezza entro la quale ciascuna di esse agisce.
Considerando costante la forza magnetica e indicando con V_m la tensione magnetica, possiamo scrivere:

M = H × l

$M= H \times l$

e ricordando che:

$H = \frac{N \cdot I}{l}$

abbiamo $M = \frac{N \cdot I}{l} \cdot l = N \cdot I$ misurata in amperspira (Asp).
La parola tensione richiama quella dei circuiti elettrici.
Come in questi è presente una f.e.m. ai capi di un generatore, qui si ha una forza magnetomotrice (f.m.m.) agli estremi di un solenoide percorso da corrente che agisce nel circuito come causa del campo magnetico. Allo stesso modo, come esiste una c.d.t. in un utilizzatore, qui abbiamo una c.d.t. magnetica fra due punti di un circuito magnetico che non comprendono elettromagneti o magneti naturali.
Questa c.d.t. si verifica in tutte le parti del circuito magnetico e i suoi valori dipendono anche dal materiale di cui questo è costituito.
Le formule date per la tensione magnetica, (H × I e N × I), si possono applicare indifferentemente per calcolare la f.m.m.; per la c.d.t. magnetica, invece, ha senso solo l’espressione H × I poiché abbiamo detto che essa si ha dove non esistono né spire né corrente. Dobbiamo, a questo punto, introdurre una grandezza che abbia lo stesso significato nei riguardi della c.d.t. della corrente elettrica (effetto): il flusso magnetico (simbolo Φ, leggi fi).
L’analogia tra corrente elettrica e flusso magnetico è solo formale. Infatti nella corrente si ha, in seno al circuito, spostamento di elettroni; nel caso del flusso, invece, nessuna particella materiale si muove; al più si può pensare ad un orientamento delle orbite degli elettroni nel senso delle linee di forza, effetto simile a quello determinato da un campo elettrostatico su un dielettrico.
Possiamo dire a questo punto che la tensione magnetica è la causa del fenomeno magnetico, il flusso ne è invece l’effetto. Inoltre, mentre la tensione non risente del mezzo entro il quale si sviluppa il campo, il flusso dipende da quest’ultimo e particolarmente dalle sue proprietà magnetiche.
Il flusso magnetico Φ, misurato in Weber (Wb), è valutato su tutta la sezione del campo considerato.
Formalmente, il flusso magnetico attraverso la superficie S, viene ottenuto eseguendo l’integrale di superficie:

$\phi = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \quad \left[ \mathrm{Wb} = \mathrm{T} \cdot \mathrm{m}^2 \right]$

del prodotto scalare del vettore $\vec{B}$ campo magnetico, per $\vec{dS}$ che è un vettore rappresentativo della porzione infinitesima dS con orientamento perpendicolare ad essa.
Semplificando al massimo, se il campo B fosse perpendicolare alla superficie S, ipotizzata piana, il flusso sarebbe semplicemente ϕ = B⋅S.
Nel magnetismo, una delle proprietà più significative è che non esistono poli magnetici isolati. A differenza delle cariche elettriche, che possono esistere singolarmente (come un elettrone o un protone), i poli magnetici si presentano sempre in coppia: un polo nord è sempre accompagnato da un polo sud.
Ne consegue che le linee di forza del campo magnetico non hanno mai origine né fine, ma sono sempre chiuse su sé stesse. Ogni linea che entra in una certa regione dello spazio ne uscirà altrove, chiudendo il percorso.
Se consideriamo una superficie chiusa arbitraria posta in un campo magnetico, il flusso magnetico totale attraverso tale superficie sarà sempre nullo, poiché il numero di linee di forza che entra è uguale a quello che esce.
Si può quindi dire:

$\phi = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S} =0$

Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.
Questo risultato è noto come la legge di Gauss per il campo magnetico. Assieme alla legge di Gauss per il campo elettrico e la legge di Faraday-Henry vennero usate da Maxwell per definire compiutamente i fenomeni elettromagnetici.

Se il campo è uniforme e perpendicolare alla superficie piana S si ha:

$\Phi = B \cdot S$

Otteniamo, pertanto una grandezza chiamata induzione magnetica è definita come:

$B = \frac{\Phi}{S}$

la cui unità di misura è il: $\mathrm{T} = \frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{m}^2}$

$B = \frac{\Phi}{S}$

Abbiamo accennato all’importanza che ha la natura del materiale nei riguardi del flusso prodotto. Vediamo adesso di definire una caratteristica dei materiali magnetici che, per analogia, possa essere messa in relazione con la resistività, o meglio con la conducibilità, dei conduttori elettrici. Anche questa grandezza entra in gioco richiamando il legame che esiste tra causa ed effetto nei fenomeni magnetici.
L’esperienza insegna che esiste un legame di proporzionalità tra la causa (M, H) e l’effetto (Φ, B) e che, considerando i parametri specifici, possiamo scrivere:

B = μ × H

dove μ (leggi mu) chiamata permeabilità magnetica è il coefficiente di proporzionalità legato alla natura del materiale entro cui si sviluppa il campo. Questa grandezza viene misurata in:

$\mu = \frac{B}{H}$

L’unità di misura nel SI è:

$\left[ \mu \right] = \left[ \frac{\mathrm{Wb/m^2}}{\mathrm{Asp/m}} \right]= \left[ \frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{Asp}} \cdot \frac{1}{\mathrm{m}} \right]= \left[ \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}} \right]$

in cui l’Henry corrisponde al rapporto tra Weber e Amperspire.

La permeabilità esprime l’attitudine che possiede un certo materiale a lasciarsi attraversare dal flusso magnetico; ciò vuol dire che i corpi che hanno permeabilità elevata si magnetizzano intensamente anche con forze magnetiche ridotte.
La permeabilità assume, in molti casi, dei valori variabili, ossia non sempre è una costante. Nella pratica per ogni materiale magnetico non vengono dati i valori assoluti di permeabilità ma, come abbiamo visto per le costanti dielettriche, prendiamo un valore di riferimento, e, in funzione di questo, definiamo i valori relativi degli altri materiali.

Anche in questo caso il valore di riferimento della permeabilità magnetica scelto è quello dei vuoto, o dell’aria, che è noto e costante:

$\mu_0 = 1{,}256 \cdot 10^{-6} \, \frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}$

Per gli altri materiali otteniamo:

$\mu = \mu_r \cdot \mu_0$

essendo μ_r il rapporto tra la permeabilità assoluta del materiale considerato e quello del vuoto, detto anche permeabilità relativa, (μ_r) la quale oltre che a contraddistinguere comodamente le varie sostanze dal punto di vista del loro comportamento magnetico, ne permette una classificazione.
A tale riguardo le sostanze il cui comportamento magnetico differisce assai poco da quello del vuoto, le più numerose vengono raggruppate, a seconda che la permeabilità relativa sia leggermente inferiore o superiore a uno, rispettivamente, in diamagnetiche o paramagnetiche.
Riportiamo come esempio la Tabella che mette in evidenza i valori di permeabilità relativa per alcune sostanze magnetiche e paramagnetiche.
Le sostanze invece che mostrano una spiccata tendenza alla magnetizzazione, cioè quelle che presentano una permeabilità relativa di gran lunga maggiore di uno, sono le cosiddette sostanze ferromagnetiche, indicate molte volte semplicemente come magnetiche in contrapposizione a quelle dia e paramagnetiche dette correntemente, invece, non magnetiche.
Riassumendo diciamo che a seconda del valore di $μr\mu_r$ , i materiali si classificano in:

Diamagnetici, con $μr<1\mu_r < 1$ , come rame e bismuto, che tendono a respingere il campo.
Paramagnetici, con $μr>1\mu_r > 1$ , come l’alluminio o l’ossigeno, che vengono debolmente attratti.
Ferromagnetici, con $μr≫1\mu_r \gg 1$ , come ferro e acciaio, capaci di conservare una forte magnetizzazione.

Esistono anche comportamenti più complessi: ad esempio, l’antiferromagnetismo si verifica quando i momenti magnetici atomici si orientano in modo opposto e si annullano a vicenda, mentre il ferrimagnetismo presenta momenti contrari ma di intensità diversa, producendo un campo netto. Quest’ultimo è tipico della magnetite e di altri materiali usati in dispositivi elettronici come memorie e sensori.

Valori di permeabilità relativa per alcune sostanze diamagnetiche e paramagnetiche
Sostanza	Permeabilità magnetica relativa
Sostanze diamagnetiche
Idrogeno	0,999 994
Acqua	0,999 991
Rame	0,999 990
Argento	0,999 981
Oro	0,999 962
Bismuto	0,999 830
Sostanze paramagnetiche
Aria	1,000 000 4
Ossigeno	1,000 001 4
Alluminio	1,000 022
Platino	1,000 360
Manganese	1,003 800

La classificazione che distingue le sostanze in diamagnetiche, paramagnetiche e ferromagnetiche è basata sulle diverse reazioni dei materiali sottoposti all’azione di un campo magnetico esterno. Quando una sostanza diamagnetica viene immersa in un campo magnetico, essa reagisce indebolendo il campo esterno con un piccolo momento magnetico diretto in verso opposto. Questo fenomeno è l’effetto macroscopico dell’induzione nel materiale di correnti elettriche atomiche, i cui singoli momenti magnetici hanno verso contrario al campo applicato.
Il comportamento paramagnetico riguarda materiali i cui atomi e le cui molecole sono per loro natura dotati di un momento magnetico proprio. In presenza di un campo magnetico esterno, i singoli momenti magnetici atomici tendono ad allinearsi lungo la direzione del campo applicato, rinforzandolo. I materiali paramagnetici contengono solitamente metalli di transizione o elementi delle terre rare, i cui atomi sono caratterizzati dalla presenza di elettroni spaiati. I fenomeni paramagnetici nei non–metalli dipendono generalmente dalla temperatura; più precisamente, l’intensità del momento magnetico indotto è inversamente proporzionale alla temperatura. Ad alte temperature infatti l’allineamento dei momenti magnetici atomici della sostanza lungo la direzione del campo magnetico è ostacolato dal moto vibrazionale di agitazione termica degli atomi stessi.
Una sostanza si dice ferromagnetica se è in grado di conservare un momento magnetico anche una volta rimosso il campo magnetizzante. Questo effetto è il risultato di una forte interazione tra i momenti magnetici atomici della sostanza. I materiali ferromagnetici sono divisi in piccole aree chiamate domini; all’interno di ogni dominio i momenti magnetici sono allineati in un’unica direzione. In presenza di un campo magnetico esterno i domini, che normalmente hanno un’orientazione casuale, si allineano secondo la direzione del campo applicato, determinando la magnetizzazione del materiale. L’energia spesa per smagnetizzare il materiale ferromagnetico magnetizzato si manifesta in un ritardo nella risposta, detto isteresi.
Al di sopra della cosiddetta temperatura di Curie, dal nome del fisico francese Pierre Curie che studiò il fenomeno nel 1895, i materiali ferromagnetici perdono le loro proprietà. Per il ferro metallico la temperatura di Curie è di circa 770 °C, per il cobalto 1127 °C. è importante sottolineare che se il materiale viene riportato al di sotto del suo punto di Curie, esso riacquista le sue proprietà ferromagnetiche e può essere nuovamente magnetizzato.

Altre classificazioni delle proprietà magnetiche
In seguito a recenti scoperte sulle origini atomiche delle proprietà magnetiche, sono state formulate altre classificazioni dei materiali. Si conoscono sostanze per le quali risulta energeticamente favorevole che i momenti magnetici si allineino in modo antiparallelo; queste sostanze sono quindi dette antiferromagnetiche. Al di sopra della temperatura di Néel, l’equivalente della temperatura di Curie, le proprietà antiferromagnetiche scompaiono.
Sono stati osservati anche altri comportamenti dei momenti magnetici atomici. Le sostanze ferrimagnetiche hanno almeno due tipi diversi di momento magnetico atomico, l’uno antiparallelo all’altro. Questi momenti sono di intensità diversa e quindi non si annullano; il risultato è perciò un momento magnetico netto. Secondo questa classificazione la magnetite risulta un ferrimagnete, e non un ferromagnete; infatti sono presenti nel materiale due tipi di ioni di ferro, ciascuno con un momento magnetico diverso.
Sono stati osservati anche sistemi più complessi, in cui i momenti magnetici sono disposti a spirale. Gli studi condotti in questo campo hanno fornito importanti informazioni sulle interazioni tra momenti magnetici nei solidi.
Secondo la legge di Ampère, la circuitazione di B lungo un percorso chiuso che racchiude una corrente totale I è:

$\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$

vediamo il perché.

Consideriamo un conduttore rettilineo di lunghezza infinita percorso da una corrente i.
Il campo magnetico B nel punto A a distanza r dalla corrente è perpendicolare ad OA ed è dato dalla relazione

$\vec{B} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \, \vec{u}_T$

con u_T versore tangente al cerchio di raggio r.

Calcoliamo la circuitazione $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$

dove dl è un elemento infinitesimo di arco intorno alla corrente sul percorso circolare di raggio r.
Dato che si tratta di un prodotto scalare e che B è tangente al percorso

$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B \, dl$

mentre B è costante in modulo intorno al percorso circolare.
Si ottiene la circuitazione cercata, indicata come forza magnetomotrice ( fmm ).

$\text{fmm} = \oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint_L B \, dl = B \oint_L dl = B L = \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \right) \cdot (2\pi r)$

quindi la circuitazione del campo magnetico (o fmm) lungo una linea chiusa che concatena la corrente i vale:

$\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i$

chiaramente se il percorso concatena più correnti, la corrente i sarà rappresentativa della somma algebrica di queste correnti.
Non essendo nulla la circuitazione del campo si deduce che il campo magnetico non è conservativo, al contrario del campo elettrico e del campo gravitazionale che invece sono campi conservativi.

Consideriamo adesso il campo magnetico generato da un conduttore rettilineo percorso da corrente. Ricordando che le relative linee di forza sono circolari, la forza magnetica è data dal rapporto tra la corrente che percorre il conduttore e la lunghezza della linea di forza considerata.
Se $r$ è la distanza dal filo, la lunghezza della circonferenza magnetica sarà $2\pi r$ . Pertanto, l’intensità della forza magnetica è:

$H = \frac{I}{2\pi r}$

La forza magnetica è una grandezza unitaria del campo e si riferisce a una lunghezza unitaria (un metro), come avviene ad esempio nel caso del solenoide.
Consideriamo il solenoide disegnato che ha n spire per ogni unità di lunghezza percorse da una corrente i.

Se il solenoide è molto lungo e le spire sono molto compatte fra loro il campo magnetico è completamente confinato all’interno del solenoide; questo discorso non vale se vi sono delle dispersioni non trascurabili del campo all’esterno.
Applicando la legge di Ampère per il percorso chiuso SPQR osservando che per i lati QR ed SP si ha un contributo nullo dato che essi sono perpendicolari al campo. Per il lato SR non vi è nessun contributo perché come detto all’esterno non c’è campo.
Solo il lato PQ contribuisce alla circuitazione con la quantità Bx.

$\oint_{\text{SPQR}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = Bx$

la quantità di spire nella distanza x vale nx.

$Bx = \mu_0 n x i \quad \Rightarrow \quad B = \mu_0 n i$

Avendo considerato n il numero di spire per unità di lunghezza se il solenoide è lungo L ed è costituito da un numero N di spire si ha

$B = \frac{\mu_0 N i}{L}$

mentre agli estremi il valore è la metà di quello al centro, cioè:

$B = \frac{\mu_0 N i}{2L}$

È normale che il campo magnetico agli estremi sia la metà di quello al centro. Se un solenoide lungo viene diviso in due metà, il campo magnetico all’estremo comune è la somma dei campi prodotti dalle due sezioni. Pertanto ognuno deve essere metà del valore originario.
Le relazioni, confermano il fatto che all’interno del solenoide il campo magnetico è uniforme.
Se invece consideriamo tutta la lunghezza dell’avvolgimento, otteniamo la cosiddetta tensione magnetica, che rappresenta la somma delle forze magnetiche che si hanno nel circuito, moltiplicate per la lunghezza entro la quale ciascuna di esse agisce.

$M = H \cdot l$

dove:

$M$ è la tensione magnetica,
$H$ è la forza magnetica,
$l$ è la lunghezza del circuito.

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Induzione magnetica nel vuoto

Nel vuoto (o in aria), l’induzione magnetica $B$ è proporzionale al campo magnetico $H$ secondo:

$B = \mu_0 H$

dove $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{H/m}$ è la permeabilità magnetica del vuoto.
Unendo le relazioni precedenti, otteniamo l’espressione del campo magnetico prodotto da un filo nel vuoto:

$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \quad \Rightarrow \quad H_0 = \frac{I}{2\pi r}$

Campo magnetico all’interno di un toroide

Il toroide è una particolare configurazione di solenoide in cui il filo conduttore è avvolto a spirale su un nucleo a forma di anello. Si tratta di un dispositivo molto utilizzato in elettrotecnica e fisica per ottenere campi magnetici confinati nello spazio interno dell’anello.
Supponiamo che il toroide sia costituito da N spire, percorse da una corrente costante $I$ , e abbia raggio medio $R$ .

La corrente genera un campo magnetico lungo circonferenze concentriche all’anello. Per calcolare l’intensità del campo magnetico, si applica la legge di Ampère lungo una linea di circuito chiusa coincidente con una di queste circonferenze:

$H_0 = \frac{N I}{2 \pi R}$

Dove:

$H_0$ è l’intensità del campo magnetico (in ampere/metro, $\mathrm{A/m}$ )
$N$ è il numero totale di spire avvolte sul toroide
$I$ è la corrente elettrica in ampere
$R$ è il raggio medio del toroide (in metri)

Una delle proprietà fondamentali del toroide è che il campo magnetico generato risulta confinato all’interno del nucleo, cioè praticamente nullo al di fuori. Questo rende il toroide particolarmente adatto a ridurre le perdite di energia per dispersione magnetica e a evitare interferenze con dispositivi esterni.
Il valore effettivo del campo magnetico (in tesla) si ottiene moltiplicando $H_0$ per la permeabilità magnetica del mezzo:

$B = \mu \cdot H_0 = \mu_0 \mu_r \cdot \frac{N I}{2\pi R}$

dove $\mu = \mu_0 \mu_r$ è la permeabilità assoluta del materiale.

Campo magnetico all’interno di un solenoide rettilineo

Il solenoide rettilineo è un avvolgimento cilindrico lungo, formato da $N$ spire avvolte lungo una lunghezza totale $l$ , e percorso da una corrente elettrica $I$ . Questo è uno dei modelli più utilizzati per la generazione di campi magnetici uniformi.

Nel caso di un solenoide “lungo” (cioè con lunghezza molto maggiore rispetto al diametro), il campo magnetico all’interno risulta:

praticamente costante e uniforme;
parallelo all’asse del solenoide;
quasi nullo all’esterno per effetto di cancellazioni simmetriche.

Applicando la legge di Ampère lungo una linea rettangolare che taglia le spire, si ottiene:

$H_0 = \frac{N I}{l}$

Dove:

$H_0$ è l’intensità del campo magnetico (in $\mathrm{A/m}$ )
$N$ è il numero totale di spire
$I$ è la corrente in ampere
$l$ è la lunghezza del solenoide (in metri)

Anche in questo caso il campo magnetico effettivo si ottiene con:

$B = \mu \cdot H_0 = \mu_0 \mu_r \cdot \frac{N I}{l}$

In particolare, se il solenoide è avvolto su aria, la permeabilità relativa $\mu_r \approx 1$ , e quindi:

$B = \mu_0 \cdot \frac{N I}{l}$

Questa formula è utilizzata per creare campi magnetici controllati in laboratorio, per elettromagneti, bobine di Helmholtz e altri dispositivi elettromagnetici.

Induzione Magnetica $B$ e Campo Magnetico $H$ in vari materiali
$B$ (T)	Ferro e acciaio dolce		Lamiere normali		Lamiere al silicio		Ghisa		Aria $H$
$B$ (T)	$H$ (Asp/cm)	$\mu_r$	$H$	$\mu_r$	$H$	$\mu_r$	$H$	$\mu_r$	Aria $H$
0,10	0,7	1140	0,45	1775	0,8	1000	2,0	400	800
0,20	0,9	1780	0,5	3200	1,0	1600	4,5	355	1600
0,30	1,0	2460	0,6	4000	1,25	1920	8,0	300	2400
0,40	1,2	2660	0,7	4570	1,45	2200	13,0	246	3200
0,50	1,4	2820	0,8	4690	1,6	2500	20,0	200	4000
0,60	1,7	2820	1,0	3690	1,8	2630	28,0	171	4800
0,70	2,2	2500	1,3	3290	2,0	2800	40,0	140	5600
0,80	2,7	2370	1,7	2780	2,5	2560	55,0	117	6400
0,90	3,2	2250	2,3	2180	3,1	2320	80,0	90	7200
1,00	4,0	2000	3,3	1700	4,0	2200	110,0	73	8000
1,10	5,0	1750	4,7	1395	5,0	1760	150,0	58	8800
1,20	6,2	1550	8,0	1200	7,0	1370	200,0	48	9600
1,30	8,5	1230	10,5	990	12,0	867	—		10400
1,40	12,0	930	13,5	830	23,0	487	—		11200
1,50	20,0	600	18,0	567	40,0	300	—		12000
1,60	35,0	365	31,0	413	75,0	171	—		12800
1,70	60,0	226	32,0	262	140,0	97	—		13600
1,80	100,0	144	90,0	160	240,0	60	—		14400
1,90	160,0	95	148,0	103	—		—		15200
2,00	250,0	64	300,0	53	—		—		16000

Vettore induzione magnetica e campo magnetico

Induzione magnetica nel vuoto

Campo magnetico all’interno di un toroide

Campo magnetico all’interno di un solenoide rettilineo

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