Calcolo e tipi di bobine

Induttanza, riluttanza e geometrie costruttive delle bobine

Un induttore, detto anche induttanza è un dispositivo utilizzato per generare un campo magnetico. in una regione dello spazio.
Un induttore può essere realizzato tramite un semplice solenoide, costituito da materiale conduttore percorso da corrente elettrica. Un solenoide è un insieme di più spire contigue (adiacenti) avvolte tutte nello stesso verso secondo una geometria cilindrica. Se la lunghezza del solenoide è minore di 10 volte il raggio delle spire si parla comunemente di bobina.

Se una corrente i circola attraverso ciascuna delle N spire di una induttanza, un flusso magnetico φ concatenerà queste spire.


Come grandezza fisica, l’induttanza L di un induttore viene definita come:

L = \frac{N\phi}{i}

L’unità di misura è l’Henry e N è il numero delle spire, i è la corrente circolante e φ è il flusso concatenato.
Nel caso specifico di un solenoide o bobina, questa formula può essere scritta nel seguente modo:

\phi = B S \quad \Rightarrow \quad N\phi = N B S

con il campo magnetico espresso come:

B = \mu_0i \left( \frac{N\cdot i}{l} \right)

e H =( \frac{N\cdot i}{l}) intensità del campo magnetico.

Sostituendo nella definizione iniziale:

L = \frac{N}{i} \cdot \mu_0\left( \frac{N\cdot i}{l} \right) \cdot S

Si semplifica e si ottiene la formula finale:

$$ L = \frac{N^2}{\mathscr{R}} $$

Sappiamo anche che, come la resistenza ohmica di un conduttore percorso da corrente, dipende dalla sezione e dalla conducibilità del materiale, così la riluttanza magnetica dipende dalla lunghezza del percorso del flusso l, dalla sua sezione S e dalla permeabilità μ del materiale nel quale passa il flusso magnetico. Cioè:

$$ \mathscr{R} = \frac{l}{\mu \cdot S} $$

Quindi l’induttanza \(L\) sarà:

L = \frac{N^2}{\mathscr{R}} = \frac{N^2}{\displaystyle \frac{l}{\mu S}} = \mu \cdot \frac{N^2 S}{l}

in cui \(l\) è espresso in m, \(S\) in m \(^2\), \(\mu\) in H/m ed \(L\) in H.
Ricordando che la permeabilità dell’aria è:

\mu = \mu_0 \approx 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{\tfrac{H}{m}}

l’induttanza di una bobina in aria può essere scritta (per una bobina cilindrica lunga):

L = \mu_0 \frac{N^2 S}{l} \qquad\text{con}\qquad S = \frac{\pi d^2}{4}

relazione valida per bobine cilindriche lunghe, cioè con \(l\) molto maggiore di \(d\) (figura 1).

Bobina cilindrica lunga

In questo caso infatti le linee di campo scorrono in grandissima parte parallele tra loro e con densità pressoché uniforme nella regione centrale. La parte non omogenea del campo, agli estremi della bobina, è piccola rispetto all’interno della bobina, dove quindi è concentrata la maggior parte dell’energia magnetica.
Nelle bobine corte (figura 2) invece la parte del campo non omogenea non può essere trascurata. Ci si aiuta nel calcolo dell’induttanza introducendo un fattore di correzione \(K\) (con \(0 \le K \le 1\)) dipendente dal rapporto \(l/d\):

Bobina corta

L_{\text{corta}} = \mu_0 K \,\frac{N^2 S}{l} \qquad\text{con}\qquad 0 \le K \le 1

Nel diagramma riportato è rappresentata questa dipendenza: a partire da \(l/d \gtrsim 10\) il fattore \(K\) è sostanzialmente uguale a 1 (bobine cilindriche lunghe). Applichiamo ora la relazione alla bobina cilindrica lunga riportata sopra.
Osserviamo che all’esterno della bobina la sezione del flusso è multipla di quella all’interno: la maggior parte della riluttanza magnetica compete quindi al percorso del flusso interno. Se la bobina è molto lunga rispetto al diametro, si può prendere con buona approssimazione la lunghezza della bobina come lunghezza del percorso del flusso magnetico.

Induttanze in serie

La tensione elettrica è direttamente proporzionale all’induttanza L tramite la relazione

V_L = -L \frac{di}{dt}

Poiché le tensioni per gli elementi in serie si sommano \((V_1 + V_2)\), allora le induttanze in serie devono sommarsi
( L_{\text{eq}} = L_1 + L_2 ), proprio come avviene per le resistenze.

Per garantire l’indipendenza dei valori di tensione è importante che gli induttori non siano troppo vicini tra loro. Il requisito fondamentale è che la linea del campo magnetico proveniente da un induttore non debba avere influenza su nessun altro induttore nelle vicinanze; dunque per n induttanze in serie si ha:

L_{\text{eq}} = \sum_{i=1}^{n} L_i

Induttanze in parallelo

Abbiamo visto come la formula della tensione ai capi di un induttore sia direttamente proporzionale all’induttanza L, in completa analogia alla formula della tensione ai capi di una resistenza VR = R·i.

dove c’è proporzionalità diretta tra tensione e resistenza.
Ora, abbiamo visto nei circuiti puramente resistivi che tensioni indipendenti per elementi paralleli sono uguali (V1=V2) mentre le correnti (che sono generalmente funzione del tempo) sommano i1(t)+i2(t)=i(t).

Questo porta a scrivere per le resistenze

i = i_1 + i_2 = V \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)

mentre per le induttanze si ha:

\frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt}

essendo V = -L \frac{di}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{di}{dt} = -\frac{V}{L}

si ha:

\frac{V}{L} = \frac{V}{L_1} + \frac{V}{L_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}

In particolare per due induttanze in parallelo si ha:

L_{\text{eq}} = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}

In generale, per \( n \) induttanze in parallelo si ha:

\frac{1}{L_{\text{eq}}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{L_i}

Esempio – Bobina cilindrica lunga in aria

Con \(l = 12\ \text{cm}\), \(d = 2\ \text{cm}\) e \(N = 240\) spire, la sezione vale:

S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \cdot (0{,}02)^2}{4} = 3{,}14 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2 = 3{,}14\ \text{cm}^2

Utilizzando le unità di misura coerenti (SI):

l = 0{,}12\ \text{m}, \qquad S = 3{,}14 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2, \qquad \mu = \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{\tfrac{H}{m}}

l’induttanza della bobina risulta:

L = \mu_0 \cdot\frac{N^2 S}{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{(240)^2 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-4}}{0{,}12} \approx 1{,}895 \cdot 10^{-4}\ \text{H} = 0{,}189\ \text{mH}

Bobina ad anello (toroide)

La relazione precedente si applica anche alla bobina ad anello, detta toroidale, ovvero una lunga bobina cilindrica piegata su se stessa, le cui estremità si toccano. Non esistono terminali di campo “aperti”, per cui le linee di campo scorrono totalmente all’interno dell’avvolgimento. Per un toroide con diametro dell’anello \(D\) grande rispetto al diametro \(d\) delle spire dell’avvolgimento (figura 3), si assume la lunghezza media del percorso:

l = \pi D, \qquad S = \frac{\pi d^2}{4}, \qquad L = \mu \cdot\frac{N^2 S}{l}

Bobina toroidale

Se \(D = 30\ \text{cm}\), \(d = 3\ \text{cm}\), \(N = 500\) spire:

l = \pi\cdot D = 3{,}14 \cdot 0{,}30 = 0{,}942\ \text{m} S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi ,(0{,}03)^2}{4} = 7{,}07 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2 L = \mu_0 ,\frac{N^2 S}{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{(500)^2 \cdot 7{,}07 \cdot 10^{-4}}{0{,}942} ;\approx; 2{,}356 \cdot 10^{-4}\ \text{H} = 0{,}236\ \text{mH}

Nuclei magnetici, traferro e ferriti

Il toroide viene usato ovunque non si desideri una dispersione del campo magnetico verso l’esterno (né un’influenza del campo esterno sull’avvolgimento). Come molte bobine cosiddette “in aria”, in realtà le spire non sono libere nello spazio: vengono avvolte su supporti amagnetici (plastici, ceramici o compositi). Il principale vantaggio delle bobine in aria è che la loro induttanza è pressoché indipendente dalla corrente, poiché la costante di campo \(\mu_0\) non dipende dall’intensità di corrente.
Costruttivamente per ottenere alti valori di induttanza a parità di lunghezza di bobina, si avvolgono sul supporto parecchi strati di spire, uno sull’altro. Per evitare un cortocircuito fra le spire, il filo possiede uno strato isolante: avvolgimento a tubo. Esistono comunque speciali tipi di avvolgimenti a forma di disco collegabili tra loro uno di seguito all’altro per eliminare la capacità tra i singoli strati che si può manifestare in diversi casi. Se le singole bobine a disco presentano anch’esse capacità rilevanti si adottano bobine a spire incrociate di costituzione talmente robusta e stabile da poter fare a meno del supporto.
Quando occorrono induttanze elevate si inserisce un nucleo di materiale ferromagnetico: l’induttanza può aumentare da \(10^2\) a \(10^5\) volte per via della permeabilità molto maggiore.

Ovviamente la causa del fenomeno è legata all’aumento consistente della permeabilità che, come sappiamo, si ottiene dalla conoscenza della μr attraverso la relazione:

\mu = \mu_r\cdot\mu_0

 

Valori tipici della permeabilità relativa sono:

cobalto μr sino a 70
nichel μr sino a 200
leghe in ferro μr sino a 105
ferrite μr sino a 104.
L’induttanza di una bobina ad anello o cilindrica con nucleo magnetico chiuso si ottiene tenendo conto di quanto ricordato con l’espressione: L = \mu_r \mu_0 \frac{N^2 S}{l} Poiché tutte le linee di campo scorrono nel nucleo, dobbiamo considerare come valore di S la sezione del nucleo e per l la lunghezza media dello stesso, anche se la lunghezza dell’avvolgimento della bobina è piccola rispetto a quella del nucleo.
Sappiamo che l’induttanza con nucleo ferromagnetico chiuso varia con l’intensità della corrente di bobina. Questa variabilità può essere evitata se si lascia nel nucleo di ferro uno spazio d’aria (traferro).
Il nucleo può essere costituito anche da lamierini sottili separati tra loro da una pellicola di ossido, di carta o di lacca isolante. Con ciò si evita che usando la corrente alternata (variabile) si produca un calore non ammesso, per induzione da correnti parassite.
Inoltre, le bobine con nucleo di lamierino variano la loro induttanza relativamente poco in un campo molto vasto di correnti, ed arrivano alla saturazione solo con valori di corrente molto alti.
Vengono perciò essenzialmente usate nella tecnica dell’energia (come impedenze di rete o per filtraggio nei circuiti di raddrizzamento), mentre non si prestano in applicazioni con le tensioni alternate ad alta frequenza, come si hanno nella tecnica delle radiotrasmissioni, in cui le perdite per correnti parassite sono alte.
In questo caso si ricorre ai nuclei di ferrite consistenti di materiale ceramico, formato da cristalli mescolati con leghe o di ossidi di ferro o di altri ossidi metallici. Il materiale ferritico non è un conduttore elettrico, perciò anche alle alte frequenze si formano solo piccole correnti parassite.
Non sono però adatte per bobine con campi magnetici molto intensi, poiché, già con valori bassi, si portano nel campo della saturazione, in cui l’induttanza diminuisce.
I nuclei di ferrite vengono preparati mediante pressione di materiali polverizzati e cottura in forni. Con questo tipo di preparazione si può ottenere una qualsiasi forma di nucleo: testine per registrazione, antenne a stilo, bobine d’accensione, bobine di deviazione o nuclei per filtri per le radiotrasmissioni.
Due forme particolari dei nuclei ferritici sono il nucleo ad anello e a coppa. Nel primo tipo nessuna linea di campo può uscire nello spazio esterno. Il secondo, composto di due parti, è spesso provvisto di un piccolo traferro, che permette di diminuire le perdite per smagnetizzazione e stabilizzare l’induttanza per lungo tempo.

Costruzione degli avvolgimenti e bobine variabili

Costruttivamente, per ottenere alti valori di induttanza a parità di lunghezza, si avvolgono più strati di spire sul supporto (avvolgimento a tubo). Per evitare capacità parassite tra gli strati si impiegano avvolgimenti a dischi collegati in serie; quando necessario si adottano bobine a spire incrociate, robuste e stabili, anche senza supporto.
Quando l’induttanza deve essere tarata con precisione (circuiti oscillanti, filtri) si usano bobine variabili (variometri):

  • Bobine con numero di spire variabile (una parte delle spire può essere cortocircuitata).
  • Variometri senza ferro: si varia la distanza/posizione relativa di due avvolgimenti in serie, modificando il flusso concatenato.
  • Variometri con nucleo di ferro: il nucleo filettabile viene inserito più o meno all’interno per variare il flusso utile.

il flusso utile viene variato, in quanto il nucleo filettabile può essere inserito più o meno all’interno della bobina.

 

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