Potenza in regime sinusoidale
Nei circuiti in corrente alternata sinusoidale, tensione e corrente possono non raggiungere contemporaneamente i rispettivi massimi. Di conseguenza, per descrivere correttamente il trasferimento energetico non basta il prodotto dei loro valori efficaci: occorre distinguere potenza istantanea, attiva, reattiva, apparente e complessa. Queste grandezze non rappresentano cinque forme indipendenti di energia, ma aspetti complementari dello stesso comportamento elettrico.
1. Obiettivi, prerequisiti e campo di validità
L’obiettivo è ricavare le grandezze di potenza dalle forme d’onda sinusoidali e dai fasori, interpretarne i segni e verificarne le unità di misura. Sono prerequisiti i valori efficaci, il formalismo fasoriale, le impedenze complesse e le convenzioni dei bipoli già sviluppati negli articoli precedenti.
Adotteremo circuiti monofase in regime sinusoidale permanente, frequenza positiva, bipoli lineari e tempo-invarianti, valori efficaci (RMS), fasori riferiti al coseno e, salvo indicazione contraria, convenzione dell’utilizzatore: corrente entrante nel morsetto contrassegnato come positivo per la tensione. Le relazioni generali fra potenza media e potenza istantanea sono più ampie, ma le identità basate su un unico angolo di sfasamento valgono specificamente nel regime sinusoidale considerato.
2. Tensione, corrente e fase
Scegliamo la tensione come riferimento di fase e definiamo \(\varphi=\theta_v-\theta_i\), ossia fase della tensione meno fase della corrente. Le grandezze istantanee sono:
\(v(t)=\sqrt{2}V\cos(\omega t)\)
\(i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t-\varphi)\)
Con \(V\) e \(I\) valori efficaci, \(\omega=2\pi f\) pulsazione e \(\varphi\) angolo di sfasamento. Se \(\varphi>0\), la corrente è in ritardo (comportamento induttivo); se \(\varphi<0\), la corrente è in anticipo (comportamento capacitivo). La scelta del riferimento non modifica la differenza di fase.
3. Potenza istantanea: derivazione completa
La potenza istantanea assorbita dal bipolo è il prodotto algebrico delle grandezze istantanee:
\(p(t)=v(t)i(t)\)Sostituendo le sinusoidi e usando l’identità \(2\cos a\cos b=\cos(a-b)+\cos(a+b)\) otteniamo:
\(p(t)=VI\cos\varphi+VI\cos(2\omega t-\varphi)\)
La potenza istantanea presenta dunque una componente costante e una componente oscillante a pulsazione doppia rispetto a quella della tensione e della corrente. Il termine oscillante ha media nulla su un periodo. Per evidenziare le due componenti fisicamente significative introduciamo:
\(P=VI\cos\varphi\) \(Q=VI\sin\varphi\)Applicando la formula di addizione del coseno si ottiene una seconda rappresentazione:
\(p(t)=P\bigl(1+\cos 2\omega t\bigr)+Q\sin 2\omega t\)
Questa scomposizione è esatta con le ipotesi adottate. Non significa che esistano due potenze istantanee indipendenti; mostra invece come la stessa funzione \(p(t)\) dipenda dalla parte attiva e dalla parte reattiva della potenza complessa.
4. Potenza attiva: valore medio e trasferimento netto
La potenza attiva \(P\) è la media della potenza istantanea su un periodo \(T\):
\(P=\frac{1}{T}\int_0^T p(t)\,dt=VI\cos\varphi\)
La sua unità è il watt (W). L’energia netta assorbita nel corso di un periodo è \(W_T=PT\). Per un bipolo passivo dissipativo \(P>0\); per un dispositivo che eroga potenza secondo la convenzione dell’utilizzatore, \(P<0\). In circuiti RLC passivi ideali la parte media è assorbita dalle resistenze, mentre induttori e condensatori ideali hanno potenza media nulla.
Occorre distinguere la potenza attiva dall’energia utile: un riscaldatore trasforma la potenza attiva prevalentemente in calore, mentre in un motore parte della potenza attiva assorbita diventa lavoro meccanico e parte si perde. La nozione di rendimento è stata introdotta nell’Articolo 11 e non viene qui ripetuta.
5. Potenza reattiva: scambio reversibile e segno
La potenza reattiva si definisce in regime sinusoidale come:
\(Q=VI\sin\varphi\)
Si misura convenzionalmente in voltampere reattivi (var). Nella convenzione dell’utilizzatore \(Q>0\) per un bipolo induttivo e \(Q<0\) per un bipolo capacitivo. Il suo valore è collegato alla componente in quadratura della corrente rispetto alla tensione.
Induttori e condensatori ideali non consumano energia netta su un periodo: l’induttore la immagazzina nel campo magnetico e la restituisce, il condensatore nel campo elettrico e la restituisce. Tale alternanza corrisponde a intervalli nei quali \(p(t)\) è positiva e intervalli nei quali è negativa. La potenza reattiva non deve essere chiamata semplicemente «potenza dissipata» e non è corretto identificarla numericamente con la massima potenza istantanea in qualsiasi circuito misto. Anche \(Q=0\) non implica assenza di oscillazioni in \(p(t)\): un resistore sinusoidale presenta potenza istantanea variabile, ma sempre non negativa.
6. Potenza apparente: significato elettrico
La potenza apparente è il prodotto dei valori efficaci:
\(S=VI=\sqrt{P^2+Q^2}\)
Si misura in voltampere (VA) e, in questo modello, costituisce il modulo della potenza complessa. La sua importanza applicativa è legata all’impegno elettrico di sorgenti, linee e apparecchiature: a tensione assegnata una corrente maggiore comporta un valore più elevato di \(S\), indipendentemente da quanta parte del prodotto \(VI\) rappresenti potenza attiva. La potenza apparente non è energia consumata per unità di tempo nel senso della media \(P\).
7. Potenza complessa e prodotto coniugato
Indicando con \(\underline V\) e \(\underline I\) i fasori efficaci coerenti con la convenzione dell’utilizzatore, si definisce la potenza complessa:
\(\underline S=\underline V\,\underline I^{*}=P+jQ\)
L’asterisco indica il coniugato complesso; non si deve usare \(\underline V\underline I\) senza coniugazione. Infatti, se \(\underline V=V e^{j\theta_v}\) e \(\underline I=I e^{j\theta_i}\), segue:
\(\underline V\,\underline I^{*}=VIe^{j(\theta_v-\theta_i)}=VI(\cos\varphi+j\sin\varphi)\)Pertanto \(P=\mathrm{Re}(\underline S)\) e \(Q=\mathrm{Im}(\underline S)\). La parte reale ha unità W e quella immaginaria unità var; il modulo \(|\underline S|=S\) si esprime in VA. L’uso di simboli distinti per potenza apparente scalare e potenza complessa evita ambiguità.
8. Triangolo delle potenze e quadranti
Nel piano delle potenze, la componente attiva \(P\) si rappresenta lungo l’asse orizzontale e quella reattiva \(Q\) lungo l’asse verticale. Il vettore dall’origine al punto \((P,Q)\) rappresenta \(\underline S\). Per un carico passivo con \(P\geq0\), il comportamento induttivo si colloca nel semipiano superiore e quello capacitivo nel semipiano inferiore.
\(S^2=P^2+Q^2\) \(\tan\varphi=\frac{Q}{P}\qquad(P\ne0)\)La posizione angolare deve essere ricavata con attenzione ai segni, preferibilmente mediante l’argomento della potenza complessa: \(\varphi=\arg(\underline S)\). Il triangolo usuale con \(P\geq0\) non esaurisce le situazioni in cui è possibile lo scambio attivo fra rete e dispositivo, per esempio quando il bipolo eroga potenza.
9. Fattore di potenza: significato e limiti
Definiamo il rapporto tra potenza attiva e apparente nel regime considerato:
\(\mathrm{FP}=\frac{P}{S}=\cos\varphi\qquad(S>0)\)
Per carichi passivi assorbenti, il valore è compreso fra zero e uno. Se il carico è puramente resistivo \(\varphi=0\) e \(\mathrm{FP}=1\). Se è puramente reattivo ideale \(P=0\) e \(\mathrm{FP}=0\) per tensione e corrente non nulle. Il valore numerico del coseno, da solo, non distingue carichi induttivi e capacitivi: occorre aggiungere l’indicazione «in ritardo» oppure «in anticipo» o il segno di \(Q\).
Il collegamento semplice fra fattore di potenza e coseno di un solo angolo appartiene al regime sinusoidale. I casi non sinusoidali, nei quali entrano in gioco anche le armoniche, saranno affrontati nell’Articolo 24. Non anticipiamo qui metodi di correzione del fattore di potenza, riservati all’Articolo 23.
10. I tre bipoli ideali: verifica energetica
Resistore ideale
Poiché tensione e corrente sono in fase, \(\varphi=0\). Si ottiene \(P=RI^2=V^2/R\), \(Q=0\) e \(S=P\). Inoltre \(p_R(t)=2RI^2\cos^2(\omega t)\geq0\): il resistore dissipa energia in ogni istante.
Induttore ideale
La corrente è in ritardo di \(90^\circ\): \(P=0\), \(Q=VI=\omega LI^2=V^2/(\omega L)>0\). La potenza istantanea ha parti positive e negative di uguale area su un periodo. L’energia magnetica istantanea è \(w_L(t)=Li(t)^2/2\).
Condensatore ideale
La corrente è in anticipo di \(90^\circ\): \(P=0\), \(Q=-VI=-I^2/(\omega C)=-\omega CV^2<0\). Anche in questo caso il trasferimento netto su un periodo è nullo. L’energia elettrica istantanea è \(w_C(t)=Cv(t)^2/2\).
11. Potenza in un’impedenza e in un’ammettenza
Per un bipolo con impedenza \(\underline Z=R+jX\) e corrente fasoriale \(\underline I\), vale \(\underline V=\underline Z\underline I\). Sostituendo nella definizione di potenza complessa:
\(\underline S=\underline Z|\underline I|^2=(R+jX)I^2\)
Ne conseguono \(P=RI^2\) e \(Q=XI^2\). Il segno di \(X\) determina quello della potenza reattiva. La componente resistiva ha dimensioni \(\Omega\cdot\mathrm A^2=\mathrm W\); quella reattiva è convenzionalmente espressa in var.
Se invece \(\underline Y=G+jB\), con \(\underline I=\underline Y\underline V\), allora:
\(\underline S=\underline V(\underline Y\underline V)^*=(G-jB)V^2\)Pertanto \(P=GV^2\) e \(Q=-BV^2\). Il segno meno davanti a \(B\) è essenziale: una suscettanza positiva produce, con la convenzione dell’utilizzatore, potenza reattiva negativa.
12. Bilanci di potenza e conservazione
In una rete sinusoidale permanente nella quale tutti i fasori siano riferiti alla stessa frequenza e le potenze dei bipoli siano calcolate con convenzioni coerenti, la somma algebrica delle potenze complesse è nulla:
\(\sum_k\underline S_k=0\)Separando parte reale e immaginaria si hanno \(\sum_k P_k=0\) e \(\sum_k Q_k=0\). Questa formulazione, conseguenza delle relazioni di rete, consente di verificare la coerenza dei calcoli. Le potenze assorbite dai carichi compaiono con il loro segno, mentre le sorgenti eroganti possono presentare potenza complessa assorbita negativa. Non significa che la potenza reattiva sia una forma di energia dissipata: il bilancio di \(Q\) è una relazione fasoriale in regime sinusoidale.
Qui impieghiamo il bilancio per controlli locali; l’applicazione sistematica della composizione delle potenze a più carichi e il Teorema di Boucherot saranno sviluppati nell’Articolo 23.
13. Forma della potenza istantanea: casi a confronto
Per un resistore \(Q=0\), quindi \(p(t)=P(1+\cos2\omega t)\): la potenza pulsa ma non inverte mai segno. Nel caso di un induttore ideale \(P=0\) e \(Q>0\), sicché \(p(t)=Q\sin2\omega t\). Invece, per un condensatore ideale \(P=0\) e \(Q<0\), con andamento opposto. In un carico misto la potenza media è \(P\) e la componente oscillante ha ampiezza \(S=\sqrt{P^2+Q^2}\).
Ne segue che il minimo della potenza istantanea è \(p_{\min}=P-S\) e il massimo è \(p_{\max}=P+S\). Per un carico passivo con \(Q\ne0\), risulta \(S>P\), dunque intervalli di potenza istantanea negativa: il carico restituisce temporaneamente energia alla sorgente. Per \(Q=0\) e \(P>0\), il minimo è zero.
14. Misura delle potenze: interpretazione degli strumenti
Un voltmetro e un amperometro per grandezze sinusoidali misurano rispettivamente i valori efficaci \(V\) e \(I\). Il prodotto delle loro letture fornisce \(S\) in VA, non direttamente \(P\) in W. Un wattmetro ideale determina la potenza attiva media \(P\). Dal valore di \(P\) e dalla potenza apparente è possibile ricavare il valore assoluto della reattiva mediante \(|Q|=\sqrt{S^2-P^2}\), ma il suo segno richiede un’informazione addizionale sul carattere induttivo o capacitivo del carico. In pratica occorre inoltre rispettare collegamenti, polarità, portate e sicurezza degli strumenti.
Le tecniche specialistiche di misura della potenza nei sistemi trifase, compreso il metodo Aron, restano destinate ai successivi articoli.
15. Esempi numerici svolti
Esempio 1 — Carico monofase induttivo
Un carico assorbe \(V=230\,\mathrm V\) e \(I=10\,\mathrm A\); la corrente ritarda sulla tensione di \(\varphi=36{,}87^\circ\), per cui approssimativamente \(\cos\varphi=0{,}8\) e \(\sin\varphi=0{,}6\). Risultano:
\(S=230\cdot10=2300\,\mathrm{VA}\) \(P=2300\cdot0{,}8=1840\,\mathrm W\) \(Q=2300\cdot0{,}6=1380\,\mathrm{var}\)Il controllo \(1840^2+1380^2=2300^2\) verifica il triangolo delle potenze. La potenza istantanea media è \(1840\,\mathrm W\), mentre la componente variabile presenta ampiezza \(2300\,\mathrm W\).
Esempio 2 — Carico capacitivo
Un bipolo capacitivo non ideale è alimentato con \(V=120\,\mathrm V\), \(I=5\,\mathrm A\) e corrente in anticipo di \(60^\circ\). Quindi \(\varphi=-60^\circ\). Si ottengono \(S=600\,\mathrm{VA}\), \(P=300\,\mathrm W\) e \(Q=-300\sqrt3\,\mathrm{var}\approx-519{,}6\,\mathrm{var}\). Il segno negativo non è un errore: indica natura capacitiva. La parte attiva positiva è coerente con la presenza di perdite resistive nel modello non ideale.
Esempio 3 — Impedenza serie
Per \(\underline Z=(6+j8)\,\Omega\) alimentata da \(V=100\,\mathrm V\) efficaci, il modulo è \(|\underline Z|=10\,\Omega\) e \(I=10\,\mathrm A\). La potenza complessa assorbita è:
\(\underline S=(6+j8)\cdot10^2=(600+j800)\,\mathrm{VA}\)Quindi \(P=600\,\mathrm W\), \(Q=800\,\mathrm{var}\) e \(S=1000\,\mathrm{VA}\). Il fattore di potenza è \(0{,}6\) in ritardo. Il controllo mediante \(VI=100\cdot10=1000\,\mathrm{VA}\) conferma il risultato.
Esempio 4 — Bilancio di potenze in una rete
Due utilizzatori assorbono rispettivamente \(\underline S_1=(400+j300)\,\mathrm{VA}\) e \(\underline S_2=(200-j150)\,\mathrm{VA}\). La loro potenza complessa complessiva è \(\underline S_{\mathrm{carichi}}=(600+j150)\,\mathrm{VA}\). Il generatore ideale che alimenta soltanto questi carichi, usando la convenzione dell’utilizzatore anche per i suoi morsetti, presenta \(\underline S_{\mathrm{gen}}=(-600-j150)\,\mathrm{VA}\). Pertanto la somma algebrica delle potenze complesse è nulla. Si tratta di una verifica del bilancio, non ancora di uno studio del rifasamento.
Esercizi di verifica
- Un carico alimentato a \(200\,\mathrm V\) assorbe \(4\,\mathrm A\) con fattore di potenza \(0{,}75\) in ritardo. Determinare \(P\), \(Q\) e \(S\) indicando le unità.
- Un bipolo ha \(\underline Y=(0{,}02+j0{,}015)\,\mathrm S\) e \(V=100\,\mathrm V\). Calcolare \(P\), \(Q\) e il segno del comportamento reattivo.
- Spiegare perché un resistore ha \(Q=0\) ma la sua potenza istantanea non è costante.
- Stabilire il segno della potenza reattiva di un condensatore ideale e il valore medio della sua potenza istantanea.
Soluzioni degli esercizi
1) \(S=800\,\mathrm{VA}\), \(P=600\,\mathrm W\), \(Q=800\sqrt{1-0{,}75^2}\,\mathrm{var}\approx529{,}2\,\mathrm{var}\). 2) \(P=200\,\mathrm W\), \(Q=-150\,\mathrm{var}\), capacitivo. 3) \(p(t)=P(1+\cos2\omega t)\) varia da zero a \(2P\) senza diventare negativa. 4) \(Q<0\) e \(P=0\).
16. Controllo dimensionale, errori frequenti e sintesi
Il prodotto di tensione per corrente ha dimensioni \(\mathrm V\cdot\mathrm A\), dimensionalmente equivalenti a \(\mathrm W\). Le denominazioni W, var e VA distinguono il significato operativo delle grandezze, pur non introducendo dimensioni fisiche fondamentali diverse. Analogamente \(RI^2\) ha dimensioni \(\Omega\,\mathrm A^2=\mathrm W\) e \(GV^2\) ha dimensioni \(\mathrm S\,\mathrm V^2=\mathrm W\). Gli angoli e i fattori trigonometrici sono adimensionali.
Gli errori più comuni consistono nello scambiare \(S\) con \(P\), sommare impropriamente i valori assoluti delle potenze reattive, omettere il coniugato nel prodotto fasoriale, trascurare il segno di \(Q\), credere che \(Q\) sia necessariamente dissipazione e applicare \(\mathrm{FP}=\cos\varphi\) indistintamente a forme d’onda non sinusoidali. È inoltre sbagliato dedurre la fase dal solo valore del fattore di potenza senza specificare anticipo o ritardo.
In conclusione, la potenza istantanea descrive come evolve lo scambio energetico, la potenza attiva quantifica il trasferimento netto medio, la potenza reattiva caratterizza lo scambio periodico associato alle componenti in quadratura, mentre la potenza apparente e quella complessa riuniscono i risultati in una rappresentazione coerente. Queste definizioni costituiscono la base necessaria per affrontare, nell’Articolo 23, il Teorema di Boucherot e il rifasamento monofase.
