Un impianto monofase alimenta spesso utilizzatori differenti: apparecchi resistivi, motori, avvolgimenti e dispositivi caratterizzati da correnti sfasate rispetto alla tensione. Per conoscere l’impegno complessivo della rete non basta sommare le potenze apparenti indicate sulle singole utenze: occorre comporre correttamente le potenze attive e reattive. Il teorema di Boucherot fornisce il fondamento di questo calcolo. Una sua applicazione particolarmente importante è il rifasamento monofase, cioè la compensazione controllata della componente reattiva, normalmente induttiva, mediante un condensatore in parallelo al carico.
Le definizioni di potenza istantanea, attiva, reattiva, apparente e complessa sono già state sviluppate nell’Articolo 22. Qui le utilizziamo per passare dal singolo bipolo alla rete con più utilizzatori e dal bilancio delle potenze al dimensionamento di una compensazione. Salvo diversa indicazione, tutte le tensioni e le correnti sono valori efficaci di grandezze sinusoidali alla medesima frequenza.
1. Dalle potenze dei singoli bipoli al bilancio della rete
Consideriamo una rete elettrica a parametri concentrati, in regime sinusoidale stazionario, formata da generatori, collegamenti e utilizzatori. Fissiamo per ogni ramo riferimenti coerenti di tensione e corrente e adottiamo la convenzione dell’utilizzatore: la potenza complessa assorbita dal ramo è
\(\underline{\mathcal S}_k=\underline V_k\,\underline I_k^{\,*}=P_k+jQ_k\)
L’asterisco indica il coniugato complesso della corrente. Un valore negativo di \(P_k\) identifica, rispetto al riferimento prescelto, un’erogazione netta di potenza attiva; analogamente il segno di \(Q_k\) distingue l’assorbimento induttivo dalla compensazione capacitiva. Le potenze di tutti i rami non possono essere interpretate senza dichiarare i riferimenti: la convenzione di segno è parte del teorema.
2. Teorema di Boucherot: enunciato e ipotesi
Enunciato. In una rete elettrica in regime sinusoidale alla stessa pulsazione, rappresentabile mediante il modello circuitale a parametri concentrati e con tensioni e correnti di ramo che soddisfano le leggi di Kirchhoff, la somma algebrica delle potenze complesse assorbite da tutti i rami, adottando ovunque la convenzione dell’utilizzatore, è nulla. Equivalentemente, la potenza complessa erogata complessivamente dalle sorgenti uguaglia quella assorbita complessivamente dagli altri elementi della rete, includendo le perdite dei collegamenti quando modellate.
Separando le parti reale e immaginaria si ottengono due bilanci indipendenti: quello delle potenze attive e quello delle potenze reattive, sempre con i segni corretti.
\(\sum_k P_k=0\qquad\sum_k Q_k=0\)
Se invece si sommano solo le potenze dei diversi utilizzatori alimentati dalla stessa rete, la loro potenza complessa equivalente è la somma delle potenze complesse assorbite dai singoli utilizzatori. Questa seconda formulazione è quella di uso più frequente nel calcolo degli impianti.
Ipotesi da ricordare. Il teorema si applica ai fasori della stessa frequenza, con riferimenti coerenti, in un modello circuitale in cui valgono KCL e KVL. Non richiede, di per sé, utilizzatori tutti in parallelo né necessariamente componenti puramente resistivi o induttivi. L’eventuale presenza di perdite deve essere inclusa nel bilancio. Nelle reti a parametri distribuiti, o quando si trascurano accoppiamenti e scambi non rappresentati dal modello, l’applicazione richiede una modellazione più accurata. I regimi non sinusoidali saranno affrontati nell’Articolo 24.
3. Dimostrazione del teorema mediante le leggi di Kirchhoff
Orientiamo tutti i rami di una rete e indichiamo con \(\underline I_k\) la corrente di riferimento e con \(\underline V_k\) la relativa tensione secondo la convenzione dell’utilizzatore. La legge di Kirchhoff delle tensioni consente di esprimere la tensione di ciascun ramo come differenza dei potenziali dei nodi estremi:
\(\underline V_k=\underline U_{a(k)}-\underline U_{b(k)}\)
La somma delle potenze complesse assorbite da tutti i rami è quindi
\(\sum_k\underline V_k\underline I_k^{\,*}=\sum_k(\underline U_{a(k)}-\underline U_{b(k)})\underline I_k^{\,*}\)
Raggruppando i termini relativi a uno stesso nodo, il coefficiente di ciascun potenziale nodale è la somma algebrica delle correnti coniugate incidenti su quel nodo. Poiché la legge di Kirchhoff delle correnti impone che la somma algebrica delle correnti di ogni nodo sia nulla, è nulla anche la somma dei rispettivi coniugati:
\(\sum_{k\,\in\,\mathrm{nodo}}\pm\underline I_k=0\quad\Longrightarrow\quad\sum_{k\,\in\,\mathrm{nodo}}\pm\underline I_k^{\,*}=0\)
Ogni contributo nodale si annulla e, di conseguenza,
Uguagliando a zero parte reale e immaginaria si ottengono i due bilanci di Boucherot. La dimostrazione evidenzia il carattere circuitale del risultato: si fonda sulle leggi di Kirchhoff, non sull’ipotesi che i carichi siano in parallelo. Per la potenza attiva è direttamente riconoscibile anche il bilancio energetico medio; la potenza reattiva non è invece un’energia consumata, ma una grandezza che descrive lo scambio oscillante associato alla componente in quadratura.
4. Additività algebrica delle potenze attive e reattive
Se \(n\) utilizzatori assorbono potenze complesse \(\underline{\mathcal S}_1,\ldots,\underline{\mathcal S}_n\), la potenza complessa totale richiesta dagli utilizzatori, al punto di alimentazione ideale comune e senza includere ulteriori perdite di linea, è
\(P_{\mathrm{tot}}=\sum_{k=1}^{n}P_k\qquad Q_{\mathrm{tot}}=\sum_{k=1}^{n}Q_k\)
Per gli utilizzatori passivi la potenza attiva è normalmente non negativa. Con la convenzione dell’utilizzatore, invece, la potenza reattiva di un carico induttivo è positiva, mentre quella di un ramo capacitivo è negativa. Perciò, le potenze reattive si sommano sempre algebricamente: un condensatore può compensare parte della richiesta reattiva di un induttore senza annullarne l’assorbimento di potenza attiva.
5. Potenza apparente risultante e limite della somma dei moduli
La potenza apparente totale non è, in generale, la somma delle potenze apparenti degli utilizzatori. Essa è il modulo della somma complessa delle potenze:
L’uguaglianza con la somma dei moduli si ha solo in condizioni particolari, ad esempio quando tutte le potenze complesse non nulle hanno lo stesso argomento. In presenza di potenze reattive di segno opposto la differenza può essere notevole.
Controesempio immediato. Due utilizzatori assorbono rispettivamente \(\underline{\mathcal S}_1=(2+j1{,}5)\,\mathrm{kVA}\) e \(\underline{\mathcal S}_2=(2-j1{,}5)\,\mathrm{kVA}\). Ciascuno ha potenza apparente \(2{,}5\,\mathrm{kVA}\). La somma dei moduli vale \(5\,\mathrm{kVA}\), ma la potenza complessa totale è \(4+j0\,\mathrm{kVA}\): la potenza apparente risultante vale dunque solo \(4\,\mathrm{kVA}\).
6. Bilancio delle potenze in una rete monofase con più utilizzatori
Per una serie di utilizzatori collegati a una stessa tensione monofase è utile costruire una tabella con \(P_k\) e \(Q_k\), mantenendo il segno delle potenze reattive. Se il dato disponibile è la potenza apparente \(S_k\) con il fattore di potenza \(\cos\varphi_k\), si ricavano
\(P_k=S_k\cos\varphi_k\qquad Q_k=\pm S_k\sqrt{1-\cos^2\varphi_k}\)
Il segno positivo di \(Q_k\) corrisponde a un utilizzatore induttivo, quello negativo a uno capacitivo. Se sono note la tensione efficace \(V\) e la corrente efficace \(I_k\), allora \(S_k=VI_k\). Una volta calcolate le somme, la corrente efficace complessiva richiesta al punto di alimentazione è
\(I_{\mathrm{tot}}=\frac{\sqrt{P_{\mathrm{tot}}^2+Q_{\mathrm{tot}}^2}}{V}\)
Questo rapporto presuppone una tensione efficace comune assegnata al punto di connessione e la contabilizzazione delle potenze riferite a quel punto. Se sono presenti impedenze di linea apprezzabili, le relative perdite vanno aggiunte al bilancio della potenza assorbita dalla sorgente.
7. Fattore di potenza complessivo
Nel regime sinusoidale, per una rete di utilizzatori complessivamente assorbenti potenza attiva positiva, il fattore di potenza totale è
L’angolo globale è determinato da \(\varphi_{\mathrm{tot}}=\arctan(Q_{\mathrm{tot}}/P_{\mathrm{tot}})\) per \(P_{\mathrm{tot}}\gt 0\). Se \(Q_{\mathrm{tot}}\gt 0\), il comportamento è complessivamente induttivo; se \(Q_{\mathrm{tot}}\lt 0\), è capacitivo. Il solo valore numerico del coseno non permette di distinguere questi due casi: occorre conoscere il segno di \(Q_{\mathrm{tot}}\).
8. Esempio svolto: quattro utilizzatori e corrente della rete
Riprendiamo criticamente un problema classico del patrimonio storico Megistone. Una linea monofase ideale da \(220\,\mathrm V\), \(50\,\mathrm{Hz}\) alimenta simultaneamente una stufa da \(2000\,\mathrm W\), illuminazione resistiva da \(500\,\mathrm W\), un motore da \(1{,}7\,\mathrm A\) con \(\cos\varphi_1=0{,}8\) e un secondo motore da \(2000\,\mathrm{VA}\) con \(\cos\varphi_2=0{,}7\). I due motori sono induttivi. Si richiede la corrente totale di regime e il confronto con una soglia nominale ipotetica di \(25\,\mathrm A\).
Primo motore. La potenza apparente vale \(S_1=220\cdot1{,}7=374\,\mathrm{VA}\). Seguono:
\(P_1=374\cdot0{,}8=299{,}2\,\mathrm W\)
\(Q_1=374\sqrt{1-0{,}8^2}=224{,}4\,\mathrm{var}\)
Secondo motore. Dalla potenza apparente dichiarata:
\(P_2=2000\cdot0{,}7=1400\,\mathrm W\)
\(Q_2=2000\sqrt{1-0{,}7^2}\simeq1428{,}3\,\mathrm{var}\)
Composizione. Stufa e illuminazione assorbono potenza reattiva nulla nel modello adottato. Pertanto:
\(P_{\mathrm{tot}}=2000+500+299{,}2+1400=4199{,}2\,\mathrm W\)
\(Q_{\mathrm{tot}}=224{,}4+1428{,}3=1652{,}7\,\mathrm{var}\)
\(S_{\mathrm{tot}}=\sqrt{4199{,}2^2+1652{,}7^2}\simeq4512{,}7\,\mathrm{VA}\)
\(I_{\mathrm{tot}}=\frac{4512{,}7}{220}\simeq20{,}51\,\mathrm A\qquad\mathrm{FP}_{\mathrm{tot}}\simeq0{,}931\)
Interpretazione. La corrente complessiva nominale di regime risulta inferiore a \(25\,\mathrm A\). Questa conclusione non certifica da sola l’idoneità di una presa o di un impianto: bisogna verificare le caratteristiche dei dispositivi, la corrente di avviamento dei motori, le protezioni, i conduttori e le condizioni di posa secondo le prescrizioni applicabili. L’esempio serve a verificare la composizione delle potenze, non a progettare un collegamento reale.
9. Perché un basso fattore di potenza può essere sfavorevole
Per un carico monofase che richiede la stessa potenza attiva \(P\) a tensione efficace fissata \(V\), vale
\(I=\frac{P}{V\cos\varphi}\)
A un fattore di potenza più basso corrisponde una corrente maggiore. Tale corrente impegna conduttori, interruttori, trasformatori e generatori, e aumenta le perdite resistive nei tratti attraversati dalla corrente. Il limite di corrente di un apparecchio non dipende soltanto dalla componente attiva della corrente: anche la componente in quadratura contribuisce al riscaldamento ohmico. Il rifasamento può dunque liberare capacità di trasporto della rete a monte del punto in cui è installato il condensatore.
La potenza attiva effettivamente richiesta dal carico, tuttavia, non diminuisce per il solo fatto di aggiungere un condensatore ideale. Per parlare di vantaggio energetico occorre distinguere il consumo degli utilizzatori dalle perdite di distribuzione.
10. Il principio fisico del rifasamento con condensatore in parallelo
Un carico induttivo richiede corrente in ritardo rispetto alla tensione. Se si collega ai suoi morsetti un condensatore ideale in parallelo, la corrente capacitiva è in anticipo di \(90^\circ\) sulla tensione. La corrente totale prelevata a monte è la somma fasoriale della corrente del carico e di quella del condensatore. La componente capacitiva compensa una parte della componente reattiva induttiva, lasciando invariata la componente attiva del carico ideale alla tensione assegnata.
Assumendo la tensione come riferimento reale, per un carico induttivo con potenza \(P+jQ_L\) e \(Q_L\gt 0\), la corrente assorbita dal carico è
\(\underline I_L=\frac{P-jQ_L}{V}\)
Il condensatore assorbe, secondo la convenzione dell’utilizzatore, la corrente fasoriale
\(\underline I_C=j\omega CV\)
La corrente di rete diviene quindi
Questa equazione mostra direttamente che il condensatore interviene sulla componente reattiva della corrente vista dalla rete. Non modifica la corrente interna richiesta dal motore, se il motore continua a ricevere la stessa tensione sinusoidale e a funzionare nello stesso punto operativo.
11. Compensazione parziale, totale e sovracompensazione
Indichiamo con \(Q_c=\omega CV^2\gt 0\) il modulo positivo della potenza reattiva capacitiva e con \(Q_C=-Q_c\) la sua potenza reattiva algebrica, secondo la convenzione dell’utilizzatore. Dopo il collegamento:
\(Q_{\mathrm{rete}}=Q_L+Q_C=Q_L-Q_c\)
- Rifasamento parziale: \(0\lt Q_c\lt Q_L\). La rete continua ad alimentare una potenza reattiva complessiva positiva, ma ridotta.
- Rifasamento totale ideale: \(Q_c=Q_L\). La potenza reattiva totale al punto di compensazione è nulla e, per \(P\gt 0\), il fattore di potenza vale uno.
- Sovracompensazione: \(Q_c\gt Q_L\). Il punto di alimentazione presenta potenza reattiva complessiva negativa: il comportamento risulta capacitivo e la corrente può tornare ad aumentare.
Il rifasamento totale è una condizione matematica ben definita, ma non è sempre l’obiettivo operativo ottimale. Nei carichi variabili un condensatore fisso dimensionato sul massimo assorbimento induttivo può produrre sovracompensazione durante il funzionamento a carico ridotto. La compensazione della potenza reattiva al punto di connessione non deve inoltre essere confusa con uno studio completo delle frequenze proprie e dei fenomeni risonanti, già introdotti nell’Articolo 21.
12. Potenza reattiva da compensare: derivazione
Supponiamo che un utilizzatore assorba potenza attiva costante \(P\gt 0\) e presenti inizialmente un fattore di potenza induttivo \(\cos\varphi_1\). Si desidera raggiungere \(\cos\varphi_2\), ancora induttivo ma maggiore. Dalla definizione dell’angolo di potenza:
\(Q_1=P\tan\varphi_1\qquad Q_2=P\tan\varphi_2\)
Poiché il condensatore fornisce una potenza reattiva algebrica negativa, \(Q_2=Q_1-Q_c\), dunque
La formula precedente si applica direttamente al passaggio fra due condizioni induttive con potenza attiva invariata. La forma generale \(Q_c=Q_1-Q_2\) resta valida anche per un valore finale reattivo negativo, purché gli angoli siano trattati con il proprio segno. Dal solo modulo del fattore di potenza non è possibile dedurre se il comportamento sia induttivo o capacitivo.
Quando è noto soltanto il fattore di potenza induttivo, la tangente positiva dell’angolo si può ottenere da \(\tan\varphi=\sqrt{1/(\cos^2\varphi)-1}\). L’impiego della radice positiva non vale indistintamente per carichi capacitivi.
13. Dimensionamento della capacità di rifasamento
Per il condensatore ideale, alla pulsazione \(\omega=2\pi f\), vale \(\underline I_C=j\omega C\underline V\). La sua potenza complessa assorbita è
\(\underline{\mathcal S}_C=\underline V\,\underline I_C^{\,*}=-j\omega CV^2\)
Pertanto la potenza attiva del condensatore ideale è nulla e quella reattiva è negativa:
\(P_C=0\qquad Q_C=-\omega CV^2\)
Identificando \(Q_c=|Q_C|\), si ricava la formula operativa:
Qui \(V\) è la tensione efficace ai morsetti del condensatore. La capacità è espressa in farad; per ottenere i microfarad si moltiplica il risultato in farad per \(10^6\). Un condensatore reale ha perdite, tolleranza, tensione nominale, corrente nominale e condizioni di funzionamento ammissibili: il risultato della formula è un valore elettrico teorico, non una scelta automatica di componente.
14. Corrente di alimentazione prima e dopo il rifasamento
Se la tensione del punto di connessione \(V\) è mantenuta costante e la potenza attiva complessiva \(P\) degli utilizzatori non cambia, le correnti efficaci richieste alla rete sono:
Il valore minimo della corrente si ottiene nel modello ideale quando \(Q_1-Q_c=0\), e vale \(I_{\min}=P/V\). Il rapporto fra corrente finale e iniziale, se entrambe le condizioni sono induttive, può essere espresso anche come
\(\frac{I_2}{I_1}=\frac{\cos\varphi_1}{\cos\varphi_2}\)
È essenziale distinguere la corrente a monte del condensatore dalle correnti che attraversano i rami del carico e del condensatore. Se il rifasamento è locale, la corrente a monte diminuisce; nel tratto fra il punto di collegamento del condensatore e l’utilizzatore, la corrente del carico può restare invariata.
15. Perdite Joule e cadute di tensione: ipotesi e limiti
Perdite Joule. Consideriamo un tratto di linea che, nel modello di regime, presenta una resistenza equivalente complessiva \(R_{\mathrm{linea}}\) riferita al percorso di corrente considerato (compresi, quando necessario, andata e ritorno). Se il rifasamento riduce la corrente che attraversa proprio quel tratto e la resistenza resta invariata, le perdite sono
\(P_{J,1}=R_{\mathrm{linea}}I_1^2\qquad P_{J,2}=R_{\mathrm{linea}}I_2^2\)
Se \(I_2\lt I_1\), diminuiscono le perdite in quel tratto. Non si può concludere che diminuiscano della stessa percentuale le perdite dell’intero impianto; devono essere considerati la posizione del condensatore, le perdite dei componenti reali e il profilo di carico.
Caduta di tensione. Per una linea monofase rappresentata da un’impedenza serie \(R+jX\) si ha l’equazione fasoriale esatta del modello:
\(\underline V_s=\underline V_r+(R+jX)\underline I\)
La differenza aritmetica dei moduli \(|\underline V_s|-|\underline V_r|\) non coincide in generale con il modulo della caduta fasoriale \(|(R+jX)\underline I|\). Quando la caduta rispetto alla tensione del carico è piccola, la sua componente longitudinale fornisce l’approssimazione:
\(\Delta V_{\mathrm{long}}\simeq I(R\cos\varphi+X\sin\varphi)\)
Con \(P=VI\cos\varphi\) e \(Q=VI\sin\varphi\), riferiti alla tensione del carico, la stessa approssimazione diviene
\(\Delta V_{\mathrm{long}}\simeq\frac{RP+XQ}{V}\)
Con \(P\) e \(V\) invariati, il rifasamento riduce il termine \(XQ/V\) se la linea è induttiva \((X\gt 0)\) e la compensazione riduce \(Q\). Nel caso limite di linea puramente resistiva \((X=0)\), la componente longitudinale approssimata \(RP/V\) resta invariata a parità di \(P\) e \(V\), anche se il modulo della corrente e le perdite Joule si riducono. Non è quindi corretto affermare che la caduta di tensione sia sempre inversamente proporzionale al fattore di potenza.
Se invece è fissata la tensione a monte e la linea ha impedenza non trascurabile, la tensione ai morsetti del carico può cambiare dopo il rifasamento. In quel caso il confronto richiede di risolvere nuovamente la rete: le formule a tensione di carico costante non vanno applicate automaticamente.
16. Bilancio energetico: che cosa cambia e che cosa resta invariato
Un condensatore ideale non richiede potenza attiva media, perciò il carico ideale alimentato alla stessa tensione continua ad assorbire la stessa potenza attiva \(P\). Il vantaggio diretto del rifasamento è la minore richiesta di potenza reattiva al punto di alimentazione; quello energetico eventualmente conseguente riguarda la diminuzione delle perdite resistive nei tratti di rete interessati.
Per un alimentatore reale, la potenza attiva richiesta alla sorgente è la somma di quella assorbita dagli utilizzatori e delle perdite reali della rete. Dopo un rifasamento appropriato, le perdite possono diminuire e quindi può ridursi leggermente la potenza attiva richiesta alla sorgente, senza che si riduca il lavoro utile o la potenza attiva richiesta dall’utilizzatore ideale. È importante non scambiare questo effetto secondario con una inesistente «eliminazione» della potenza attiva mediante il condensatore.
Il miglioramento del fattore di potenza non equivale neppure a un aumento automatico del rendimento intrinseco del motore: tale rendimento dipende dalle sue perdite interne e dal punto di funzionamento, che potrebbero rimanere invariati.
17. Condensatori reali, variazioni del carico, esercizio e sicurezza
Il dimensionamento matematico precedente considera un condensatore ideale a tensione e frequenza assegnate. Nella pratica occorre verificare la tensione nominale, la tolleranza della capacità, la corrente ammissibile, le condizioni termiche, le perdite dielettriche, la presenza di adeguate protezioni e le indicazioni del costruttore. Per un condensatore ideale a capacità costante, la potenza reattiva varia secondo \(Q_c=\omega CV^2\): una variazione della tensione modifica quindi la compensazione in proporzione al suo quadrato.
Una compensazione fissa è adatta a un carico sufficientemente stabile. Se il carico varia, possono rendersi necessari inserimento/disinserimento controllato o altre soluzioni impiantistiche, che saranno riprese nel contesto trifase dell’Articolo 32. A carico ridotto, mantenere inserito un condensatore troppo grande può determinare sovracompensazione e condizioni indesiderate di tensione.
I condensatori possono mantenere carica elettrica anche dopo la disconnessione. Il loro impiego richiede dispositivi e procedure idonei di scarica, sezionamento, protezione e verifica di assenza di tensione da parte di personale qualificato. Nei collegamenti con motori, in particolare, l’inserzione impropria della compensazione può comportare condizioni operative da valutare specificamente. La possibilità di interazione tra capacità installata e induttanza della rete richiede una verifica tecnica nei casi pertinenti; l’analisi dettagliata delle armoniche è riservata all’Articolo 24. Le regole di fatturazione e gli eventuali corrispettivi per energia reattiva dipendono dalle condizioni contrattuali e regolatorie applicabili: non si adottano come attuali vecchie soglie tariffarie prive di verifica.
18. Esempi numerici completi di rifasamento
18.1 Dimensionamento di un condensatore: recupero corretto dell’esempio storico
Un utilizzatore monofase assorbe \(P=10\,\mathrm{kW}\) alla tensione efficace \(V=400\,\mathrm V\) e alla frequenza \(f=50\,\mathrm{Hz}\). Il fattore di potenza iniziale è induttivo e vale \(0{,}7\); quello finale richiesto è \(0{,}9\), ancora induttivo. La tensione ai morsetti è considerata costante.
\(\tan\varphi_1=\sqrt{\frac{1}{0{,}7^2}-1}\simeq1{,}0202\)
\(\tan\varphi_2=\sqrt{\frac{1}{0{,}9^2}-1}\simeq0{,}4843\)
\(Q_c=10000(1{,}0202-0{,}4843)\simeq5359\,\mathrm{var}\)
\(C=\frac{5359}{2\pi\cdot50\cdot400^2}\simeq1{,}066\cdot10^{-4}\,\mathrm F=106{,}6\,\mu\mathrm F\)
Le correnti assorbite dalla rete sono:
\(I_1=\frac{10000}{400\cdot0{,}7}\simeq35{,}71\,\mathrm A\)
\(I_2=\frac{10000}{400\cdot0{,}9}\simeq27{,}78\,\mathrm A\)
Risultato. Il valore teorico è circa \(106{,}6\,\mu\mathrm F\). La scrittura \(0{,}106\,\mathrm F=106\,\mu\mathrm F\) che compariva nel testo storico era un errore di conversione: \(0{,}106\,\mathrm F\) corrisponde a \(106000\,\mu\mathrm F\). La corrente a monte diminuisce di circa \(7{,}94\,\mathrm A\). Si tratta di un esempio monofase con tensione assegnata di \(400\,\mathrm V\), non di una formula trifase.
18.2 Rifasamento e riduzione delle perdite di una linea
Un carico assorbe \(P=6\,\mathrm{kW}\) a \(V=230\,\mathrm V\) e \(50\,\mathrm{Hz}\). Il suo fattore di potenza induttivo iniziale è \(0{,}75\); si vuole raggiungere \(0{,}95\). Il tratto di linea a monte della compensazione ha resistenza equivalente \(R_{\mathrm{linea}}=0{,}20\,\Omega\). Si assumono tensione al carico costante, resistenza invariata e condensatore ideale.
\(Q_1=6000\sqrt{\frac{1}{0{,}75^2}-1}\simeq5291{,}5\,\mathrm{var}\)
\(Q_2=6000\sqrt{\frac{1}{0{,}95^2}-1}\simeq1972{,}1\,\mathrm{var}\)
\(Q_c\simeq3319{,}4\,\mathrm{var}\qquad C\simeq199{,}7\,\mu\mathrm F\)
\(I_1=\frac{6000}{230\cdot0{,}75}\simeq34{,}78\,\mathrm A\)
\(I_2=\frac{6000}{230\cdot0{,}95}\simeq27{,}46\,\mathrm A\)
\(P_{J,1}=0{,}20\cdot34{,}78^2\simeq242{,}0\,\mathrm W\)
\(P_{J,2}=0{,}20\cdot27{,}46^2\simeq150{,}8\,\mathrm W\)
Nel tratto considerato si risparmiano circa \(91{,}2\,\mathrm W\) di perdite resistive, corrispondenti a una riduzione di circa \(37{,}7\%\). Il valore non equivale a una riduzione del 37,7% della potenza attiva assorbita dal carico. Poiché il modello assume costante la tensione ai morsetti del carico, i numeri non vanno utilizzati per dedurre automaticamente la tensione che risulterebbe con una sorgente reale a tensione di invio fissa.
18.3 Compensazione totale e successiva sovracompensazione
Un carico monofase presenta \(P=3\,\mathrm{kW}\) e \(Q_L=2\,\mathrm{kvar}\). Per ottenere un rifasamento totale ideale occorre \(Q_c=2\,\mathrm{kvar}\). Dopo la compensazione la potenza complessa equivalente è \(3+j0\,\mathrm{kVA}\) e la potenza apparente è \(3\,\mathrm{kVA}\).
Se si installa invece una capacità che fornisce \(Q_c=2{,}5\,\mathrm{kvar}\) alla stessa tensione, il bilancio produce
\(Q_{\mathrm{rete}}=2-2{,}5=-0{,}5\,\mathrm{kvar}\)
\(S_{\mathrm{rete}}=\sqrt{3^2+(-0{,}5)^2}\simeq3{,}041\,\mathrm{kVA}\)
Il fattore di potenza in modulo è \(3/3{,}041\simeq0{,}986\), ma il segno di \(Q\) segnala una rete complessivamente capacitiva. Indicare soltanto «cos φ = 0,986» senza precisarlo nasconderebbe un’informazione tecnica importante.
18.4 Capacità e variazione della tensione
Un condensatore ideale è dimensionato per fornire \(Q_c=1000\,\mathrm{var}\) a \(230\,\mathrm V\) e \(50\,\mathrm{Hz}\). La capacità teorica richiesta è
\(C=\frac{1000}{2\pi\cdot50\cdot230^2}\simeq60{,}2\,\mu\mathrm F\)
Se la tensione effettiva scende a \(207\,\mathrm V\), pari al 90% del valore iniziale, e la frequenza resta invariata, la potenza reattiva capacitiva non resta a \(1000\,\mathrm{var}\):
\(Q_c(207\,\mathrm V)=1000\left(\frac{207}{230}\right)^2=810\,\mathrm{var}\)
L’esempio dimostra perché un condensatore scelto sulla sola capacità nominale non garantisce un identico rifasamento a ogni tensione di esercizio.
19. Controllo dimensionale e principali errori concettuali
Le potenze attive, reattive e apparenti sono omogenee dimensionalmente, ma in elettrotecnica si distinguono rispettivamente con le unità W, var e VA, per rendere esplicito il significato fisico delle grandezze. La somma \(P+jQ\) usa le corrispondenti componenti di una potenza complessa e deve mantenere unità coerenti, ad esempio W e var con scala numerica comune.
\([Q_c]=\mathrm{var}\sim\mathrm V\cdot\mathrm A\)
\([\omega CV^2]=\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm F\cdot\mathrm V^2=\mathrm V\cdot\mathrm A\)
\([C]=\frac{\mathrm V\cdot\mathrm A}{\mathrm{s}^{-1}\mathrm V^2}=\frac{\mathrm A\cdot\mathrm s}{\mathrm V}=\mathrm F\)
\([RI^2]=\Omega\cdot\mathrm A^2=\mathrm W\)
Nell’uso delle formule è necessario evitare alcuni errori ricorrenti:
- Somma dei moduli: calcolare \(S_{\mathrm{tot}}\) come \(\sum_k S_k\) senza verificarne le condizioni.
- Segno della potenza reattiva: attribuire al condensatore \(Q_C\gt 0\) pur adottando la convenzione dell’utilizzatore; il modulo \(Q_c\) è invece positivo per definizione.
- Risparmio energetico: affermare che il condensatore ideale diminuisce direttamente \(P\) dell’utilizzatore.
- Caduta di tensione: trattare il modulo della caduta fasoriale come la differenza esatta dei moduli delle tensioni.
- Posizione della compensazione: attribuire a tutta la rete una riduzione di corrente che si verifica soltanto in determinati tratti a monte.
- Angolo di fase: ricavare da \(\cos\varphi\) il segno di \(Q\), impossibile senza un’indicazione del comportamento induttivo o capacitivo.
- Unità e ordini di grandezza: confondere farad e microfarad oppure kW, kvar e kVA.
- Validità del modello: applicare direttamente le formule ideali a tensione variabile, frequenza diversa o forme d’onda distorte senza riesaminare le ipotesi.
20. Esercizi di verifica
Gli esercizi seguenti sono riferiti a regimi monofase sinusoidali e tensioni efficaci. Quando si richiede il dimensionamento, assumere condensatori ideali e tensione al punto di rifasamento costante. Le soluzioni sono disponibili aprendo ciascuna voce.
Esercizio 1 — Composizione delle potenze
Tre utilizzatori presentano le potenze complesse \(\underline{\mathcal S}_1=(1{,}5+j1{,}0)\,\mathrm{kVA}\), \(\underline{\mathcal S}_2=(2{,}0-j0{,}4)\,\mathrm{kVA}\) e \(\underline{\mathcal S}_3=(0{,}5+j0{,}2)\,\mathrm{kVA}\). Determinare \(P_{\mathrm{tot}}\), \(Q_{\mathrm{tot}}\), \(S_{\mathrm{tot}}\) e il fattore di potenza complessivo.
Mostra la soluzione dell’esercizio 1
\(P_{\mathrm{tot}}=1{,}5+2{,}0+0{,}5=4{,}0\,\mathrm{kW}\). \(Q_{\mathrm{tot}}=1{,}0-0{,}4+0{,}2=0{,}8\,\mathrm{kvar}\). \(S_{\mathrm{tot}}=\sqrt{4^2+0{,}8^2}\simeq4{,}079\,\mathrm{kVA}\). \(\mathrm{FP}=4/4{,}079\simeq0{,}981\), induttivo.
Esercizio 2 — Unità e dimensionamento
Un carico induttivo richiede una compensazione di \(Q_c=1500\,\mathrm{var}\) a \(230\,\mathrm V\) e \(50\,\mathrm{Hz}\). Calcolare la capacità teorica in microfarad.
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\(C=1500/(2\pi\cdot50\cdot230^2)\simeq9{,}03\cdot10^{-5}\,\mathrm F=90{,}3\,\mu\mathrm F\).
Esercizio 3 — Correnti prima e dopo
Un carico assorbe \(P=4\,\mathrm{kW}\) a \(V=200\,\mathrm V\), con fattore di potenza induttivo iniziale \(0{,}8\). Si realizza il rifasamento totale ideale. Determinare la corrente iniziale, quella finale e la riduzione percentuale della corrente a monte.
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\(I_1=4000/(200\cdot0{,}8)=25\,\mathrm A\). Dopo rifasamento totale \(I_2=P/V=20\,\mathrm A\). La corrente si riduce di \((25-20)/25\cdot100=20\%\). La potenza attiva del carico rimane \(4\,\mathrm{kW}\).
Esercizio 4 — Sovracompensazione
Un carico presenta \(P=2\,\mathrm{kW}\) e \(Q_L=1\,\mathrm{kvar}\). Un condensatore fornisce il modulo reattivo \(Q_c=1{,}6\,\mathrm{kvar}\). Calcolare la potenza reattiva complessiva, la potenza apparente e specificare la natura del comportamento.
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\(Q_{\mathrm{rete}}=1-1{,}6=-0{,}6\,\mathrm{kvar}\). \(S_{\mathrm{rete}}=\sqrt{2^2+0{,}6^2}\simeq2{,}088\,\mathrm{kVA}\). \(\mathrm{FP}\simeq0{,}958\), capacitivo: si è verificata sovracompensazione.
Esercizio 5 — Perdite del tratto di linea
In un tratto di linea la corrente diminuisce da \(30\,\mathrm A\) a \(24\,\mathrm A\) per effetto di una compensazione locale. Assumendo resistenza invariata, determinare il rapporto fra perdite finali e iniziali e la loro riduzione percentuale.
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\(P_{J,2}/P_{J,1}=(24/30)^2=0{,}64\). Le perdite Joule nel tratto attraversato da tali correnti si riducono del \(36\%\). Non è detto che la stessa percentuale si applichi all’intero impianto.
Esercizio 6 — Ragionamento sulla caduta di tensione
Una linea monofase ha \(R=0{,}30\,\Omega\) e \(X=0\). Il carico mantiene \(P=2000\,\mathrm W\) e tensione \(V=200\,\mathrm V\). Confrontare la componente longitudinale approssimata della caduta prima e dopo il miglioramento del fattore di potenza da \(0{,}8\) a \(1\). Spiegare perché il risultato non contraddice la diminuzione delle perdite.
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\(\Delta V_{\mathrm{long}}\simeq RP/V=0{,}30\cdot2000/200=3{,}0\,\mathrm V\) in entrambi i casi. Le correnti sono \(I_1=12{,}5\,\mathrm A\) e \(I_2=10\,\mathrm A\); le perdite del tratto sono rispettivamente \(46{,}875\,\mathrm W\) e \(30\,\mathrm W\). La componente longitudinale della caduta è una proiezione fasoriale e non coincide con il modulo della caduta: perciò può rimanere invariata mentre diminuiscono corrente efficace e perdite resistive. Vale l’ipotesi di tensione al carico costante e di approssimazione per piccole cadute.
Conclusione. Il teorema di Boucherot permette di passare dalle potenze dei singoli elementi al comportamento complessivo di una rete. Il rifasamento applica questo bilancio alla compensazione capacitiva: riduce la richiesta reattiva e, sotto ipotesi dichiarate, la corrente a monte e le perdite nei tratti interessati. Restano distinti il modello ideale, gli effetti effettivamente misurabili nella rete e le condizioni di sicurezza dei componenti reali. L’Articolo 24 estenderà il discorso ai regimi periodici non sinusoidali, per i quali il solo angolo di sfasamento non descrive tutti i fenomeni.
