Una tensione o una corrente sinusoidale è una grandezza reale che varia nel tempo. Quando più sinusoidi hanno la stessa frequenza, eseguire direttamente tutte le operazioni con le identità trigonometriche diventa laborioso. La rappresentazione complessa permette di descriverne ampiezza e fase attraverso numeri sui quali si applicano regole algebriche semplici, senza perdere la possibilità di ricostruire il segnale fisico originario. Questo è lo scopo dei numeri complessi e dei fasori in Elettrotecnica.
1. Dal dominio del tempo al problema della rappresentazione
Dall’articolo precedente consideriamo acquisita la forma sinusoidale \(x(t)=X_{\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_s)\), insieme ai significati di valore massimo, pulsazione, fase e valore efficace. Il pedice \(s\) indica qui, e solo qui, che la fase si riferisce alla convenzione basata sul seno. Non ripetiamo la deduzione di periodo, frequenza, media e valore efficace: ci interessa comprendere come rappresentare sinteticamente una sinusoide.
Per fissare le idee, due tensioni isofrequenziali si scrivono \(v_1(t)=V_{1\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_{1s})\) e \(v_2(t)=V_{2\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_{2s})\). La loro somma è ancora una sinusoide della medesima pulsazione; determinarne immediatamente ampiezza e fase richiede però una combinazione di seni e coseni. La forma complessa organizza quelle stesse componenti come coordinate di un punto del piano.
2. Richiamo trigonometrico essenziale
Nel piano orientato si misura un angolo positivo in senso antiorario, a partire dal semiasse reale positivo; un angolo negativo è misurato in senso orario. La misura in radianti è adimensionale nel Sistema internazionale, anche se l’unità rad si indica esplicitamente quando utile. Le conversioni sono:
Sulla circonferenza unitaria, il coseno è la coordinata orizzontale del punto individuato dall’angolo, il seno la coordinata verticale. Entrambi assumono segni diversi secondo il quadrante; la tangente, quando definita, è il rapporto \(\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha\). Per i fasori servono soprattutto:
La conversione fra le convenzioni basate sul seno e sul coseno, che verrà utilizzata ripetutamente, è:
Un angolo \(\alpha+2k\pi\), con \(k\) intero, individua la stessa direzione di \(\alpha\). Ciò non autorizza a trascurare i segni di seno e coseno o il quadrante: l’argomento di un numero complesso non si ricava in ogni caso dalla sola tangente.
3. Numeri complessi: definizione, parte reale e parte immaginaria
Un numero complesso si scrive in forma algebrica \(z=a+jb\), con \(a,b\in\mathbb R\) e \(j^2=-1\). In Elettrotecnica si preferisce la lettera \(j\) alla \(i\) matematica, perché \(i\) indica spesso la corrente. Il coefficiente reale \(a\) è la parte reale e \(b\) è la parte immaginaria: \(\mathrm{Re}(z)=a\), \(\mathrm{Im}(z)=b\). La parte immaginaria è il numero reale \(b\), non il termine completo \(jb\).
Due complessi sono uguali se e soltanto se coincidono le rispettive parti reali e immaginarie. I numeri reali costituiscono il caso particolare \(b=0\). Un numero puramente immaginario ha invece \(a=0\). Il simbolo \(j\) è un’unità matematica; non deve essere interpretato come un vettore fisico o come una corrente.
4. Piano complesso, punto e vettore geometrico
Il piano complesso, detto anche piano di Argand-Gauss, ha un asse reale orizzontale e un asse immaginario verticale. Al complesso \(z=a+jb\) corrisponde il punto \(P(a,b)\). Se si congiunge l’origine \(O\) con \(P\), si ottiene anche il vettore geometrico \(\overrightarrow{OP}\). Questa associazione è utile per sommare graficamente complessi, ma gli oggetti vanno distinti: il numero complesso è un elemento di \(\mathbb C\), il punto è una posizione geometrica, il vettore è uno spostamento orientato.
Il modulo è la distanza del punto dall’origine; l’argomento è l’angolo orientato fra semiasse reale positivo e vettore associato:
Per \(z\ne0\) l’argomento è definito a meno di multipli interi di \(2\pi\). L’argomento principale può essere scelto, dichiarando la convenzione, nell’intervallo \((-\pi,\pi]\). Per \(z=0\) il modulo è zero e l’argomento non è definito.
La relazione \(\tan\theta=b/a\) non è sufficiente a stabilire il quadrante e non può essere utilizzata per \(a=0\). Il calcolo affidabile della fase richiede i segni di entrambe le componenti, ad esempio mediante la funzione numerica \(\mathrm{atan2}(b,a)\).
Esempio. Per \(z=-3+j4\) si trova \(|z|=5\) e, poiché il punto appartiene al secondo quadrante, \(\arg z\approx126{,}87^\circ\); il valore \(-53{,}13^\circ\) ottenuto dalla sola arctangente del rapporto sarebbe nel quadrante sbagliato.
5. Forme algebrica, trigonometrica, polare ed esponenziale
Usando le coordinate del punto nel piano complesso, un numero non nullo può essere scritto in tre forme equivalenti. La forma algebrica esplicita le componenti \(a\) e \(b\); la forma trigonometrica esplicita modulo e direzione; la forma esponenziale sintetizza quest’ultima attraverso l’identità di Eulero.
La notazione \(\rho\angle\theta\) è una scrittura abbreviata di modulo e argomento, non una nuova operazione aritmetica. Il modulo \(\rho\) è non negativo. Se il numero vale zero, qualunque simbolo di fase è privo di significato fisico e matematico.
5.1 La formula di Eulero
L’identità \(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\) collega esponenziali complessi e funzioni trigonometriche. Può essere giustificata confrontando gli sviluppi in serie di esponenziale, seno e coseno, dove le potenze successive di \(j\) seguono il ciclo \(1,j,-1,-j\). È sufficiente conoscerne qui significato e conseguenze: l’esponenziale complesso di argomento reale ha modulo unitario ed è rappresentato da un punto sulla circonferenza unitaria.
Si ricavano anche \(\cos\theta=(e^{j\theta}+e^{-j\theta})/2\) e \(\sin\theta=(e^{j\theta}-e^{-j\theta})/(2j)\). Si tratta di identità matematiche fra numeri complessi; una grandezza fisica sinusoidale resta reale.
5.2 Conversioni
Per passare dalla forma polare alla forma algebrica si calcolano \(a=\rho\cos\theta\) e \(b=\rho\sin\theta\). Per il percorso inverso si determina prima \(\rho=\sqrt{a^2+b^2}\) e poi l’argomento nel quadrante corretto. Ad esempio, \(10\angle(-30^\circ)=5\sqrt3-j5\approx8{,}660-j5\). Viceversa \(-5-j5=5\sqrt2\angle(-135^\circ)\).
6. Operazioni con i numeri complessi
6.1 Somma e differenza
La forma algebrica è la più comoda: si sommano separatamente le parti reali e le parti immaginarie. Geometricamente vale la regola del parallelogramma, applicata ai vettori associati ai numeri complessi.
Per esempio \((3+j4)+(-1+j2)=2+j6\), mentre \((3+j4)-(-1+j2)=4+j2\). La differenza corrisponde a sommare l’opposto del secondo complesso, non a sottrarne soltanto i moduli.
6.2 Prodotto
In forma algebrica si usa \(j^2=-1\); in forma polare il prodotto si ottiene moltiplicando i moduli e sommando gli argomenti.
Ad esempio \((2\angle30^\circ)(3\angle(-60^\circ))=6\angle(-30^\circ)\). Questo è il prodotto di due numeri complessi; più avanti vedremo perché non va confuso con il fasore del prodotto istantaneo di due sinusoidi.
6.3 Coniugato, divisione e inverso
Il coniugato di \(z=a+jb\) è \(z^*=a-jb\). Esso si ottiene riflettendo il punto rispetto all’asse reale; il modulo rimane invariato, mentre il segno dell’argomento si inverte. Il prodotto \(zz^*=a^2+b^2=|z|^2\) è reale e non negativo.
In forma polare il quoziente richiede la divisione dei moduli e la sottrazione degli argomenti:
Esempio: \((6+j2)/(1-j)=2+j4\), come si verifica moltiplicando numeratore e denominatore per \(1+j\).
6.4 Quali operazioni servono davvero
Nell’analisi circuitale, somma e differenza sono convenienti in forma algebrica, prodotto e quoziente in forma polare o esponenziale. La formula di De Moivre \((\rho e^{j\theta})^n=\rho^n e^{jn\theta}\), per \(n\) intero, è una conseguenza immediata del prodotto, ma la teoria generale delle radici complesse non è necessaria al metodo fasoriale elementare e non viene sviluppata qui.
7. Vettore rotante: la geometria di una sinusoide
Fissiamo un numero complesso \(C=Ae^{j\varphi_c}\), di modulo costante \(A\ge0\), e moltiplichiamolo per \(e^{j\omega t}\). Si ottiene un numero complesso dipendente dal tempo, rappresentabile con un vettore che ruota nel piano a velocità angolare costante \(\omega\):
Con \(\omega>0\) la rotazione avviene in senso antiorario. L’angolo iniziale è \(\varphi_c\); il modulo rimane \(A\). La proiezione sull’asse reale è \(A\cos(\omega t+\varphi_c)\), quella sull’asse immaginario è \(A\sin(\omega t+\varphi_c)\). Dunque una stessa rotazione permette di descrivere entrambe le forme sinusoidali, ma occorre dichiarare quale proiezione stiamo utilizzando.
Distinzione fisica. La tensione misurata ai morsetti non è un vettore che ruota materialmente nel piano di Gauss: è il numero reale ottenuto proiettando il modello matematico rotante. Nel caso generale, il moto del vettore è una costruzione geometrica, non la rotazione meccanica di una spira o di una macchina elettrica. Quest’ultimo fenomeno sarà trattato nell’Articolo 15.
8. Definizione rigorosa di fasore e convenzione adottata
Consideriamo una grandezza sinusoidale reale, senza componente continua, di pulsazione fissata \(\omega>0\), scritta in convenzione del coseno:
Qui \(X_{\mathrm m}\) è il valore massimo e \(X=X_{\mathrm m}/\sqrt2\) è il valore efficace della sinusoide. Definiamo il fasore efficace come il numero complesso costante:
Il fasore \(\underline X\) contiene il valore efficace e la fase secondo il coseno. Il fattore \(e^{j\omega t}\) ricostruisce la rotazione; la parte reale fornisce il segnale fisico. Nel formalismo scelto il fasore è costante nel tempo, a pulsazione e riferimento temporale fissati; non bisogna confonderlo con il numero complesso rotante \(\underline X e^{j\omega t}\).
Un’alternativa lecita è il fasore di picco \(\underline X_{\mathrm m}=X_{\mathrm m}e^{j\varphi_c}=\sqrt2\underline X\). Con questa convenzione la formula di ricostruzione non contiene il fattore \(\sqrt2\). L’articolo adotta invece sistematicamente i fasori efficaci, mentre il valore di picco compare soltanto se indicato esplicitamente.
8.1 Raccordo obbligatorio con il seno dell’Articolo 13
L’Articolo 13 usa come riferimento \(x(t)=X_{\mathrm m}\sin(\omega t+\varphi_s)\). Per costruire il fasore con la convenzione efficace del coseno non si copia semplicemente \(\varphi_s\): si converte prima il seno in coseno.
La formula vale anche usando i radianti: \(\varphi_c=\varphi_s-\pi/2\). Viceversa, dal fasore \(\underline X=X\angle\varphi_c\) si ricostruisce \(x(t)=\sqrt2X\sin(\omega t+\varphi_c+\pi/2)\). È possibile lavorare coerentemente con una convenzione fasoriale basata sul seno, ma non si devono alternare le due convenzioni senza convertirle.
8.2 Unità di misura, pulsazione e riferimento temporale
Un fasore di tensione ha unità di misura volt, un fasore di corrente ampere; il suo modulo mantiene l’unità della grandezza rappresentata. L’argomento si misura in radianti (o si esprime in gradi). La pulsazione \(\omega\), espressa in rad/s, non è scritta nel fasore costante: è un parametro comune alla rappresentazione e deve essere noto per ricostruire l’andamento temporale. Un fasore numericamente identico può rappresentare sinusoidi di frequenza differente se cambia la pulsazione associata.
La fase iniziale dipende dall’origine dei tempi. Invece, la differenza di fase tra due sinusoidi isofrequenziali è indipendente da uno spostamento comune dell’origine temporale. Se \(\underline X_1=X_1\angle\varphi_1\) e \(\underline X_2=X_2\angle\varphi_2\), allora \(\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1\), in accordo con l’Articolo 13: per la convenzione temporale \(\cos(\omega t+\varphi)\) e \(\omega>0\), un \(\Delta\varphi>0\) identifica l’anticipo della seconda sinusoide sulla prima, modulo periodi interi.
9. Fasore, rappresentazione cartesiana e lettura geometrica
La corrispondenza fra le forme è \(\underline X=X(\cos\varphi_c+j\sin\varphi_c)=X_a+jX_b\), dove \(X_a=X\cos\varphi_c\) e \(X_b=X\sin\varphi_c\). Le componenti non sono due tensioni fisiche indipendenti misurate ai morsetti: sono le coordinate del numero complesso che rappresenta la sinusoide.
Nel diagramma fasoriale, l’orientamento relativo di più fasori indica le differenze di fase, mentre la lunghezza ne rappresenta il modulo sulla stessa scala. Le frecce di un diagramma non devono essere interpretate come vettori spaziali di un campo elettrico: il piano è un piano matematico delle componenti complesse. La regola del parallelogramma consente la somma, ma il suo risultato è valido come fasore di una somma temporale soltanto alle condizioni precisate nella sezione seguente.
10. Somma e differenza di sinusoidi isofrequenziali
Consideriamo due sinusoidi reali della stessa pulsazione \(\omega\), espresse nella medesima convenzione efficace del coseno:
Poiché la parte reale è un’operazione lineare, si può raccogliere il fattore temporale comune:
Questo risultato giustifica il metodo, senza assumere che la somma di fasori sia una regola isolata. Il fasore della somma o differenza temporale è rispettivamente \(\underline X_1+\underline X_2\) o \(\underline X_1-\underline X_2\). La dimostrazione richiede che la pulsazione sia la stessa e che i fasori abbiano le stesse convenzioni di picco/efficace e seno/coseno.
Il procedimento operativo è: convertire i fasori in forma algebrica; sommare o sottrarre separatamente le componenti; calcolare il modulo della risultante e la fase con il quadrante corretto; ricostruire la sinusoide con il fattore \(\sqrt2\), se il fasore è efficace.
In termini di moduli e sfasamento relativo è utile la formula, ricavata dal teorema del coseno:
Il modulo non è normalmente uguale alla somma dei moduli: due fasori concordi si rinforzano, due opposti possono annullarsi, due ortogonali si combinano secondo Pitagora.
10.1 Esempio completo: somma di due tensioni
Siano \(\underline V_1=20\angle30^\circ\ \mathrm V\) e \(\underline V_2=30\angle(-60^\circ)\ \mathrm V\), entrambi efficaci. La conversione algebrica fornisce:
Numericamente, \(\underline V_\Sigma\approx32{,}321-j15{,}981\ \mathrm V\). Il modulo è \(V_\Sigma=\sqrt{1300}\approx36{,}056\ \mathrm V\) e la fase, nel quarto quadrante, è circa \(-26{,}31^\circ\). Per pulsazione \(\omega=314\ \mathrm{rad/s}\), la tensione nel tempo è quindi:
La presenza di \(\sqrt2\) nel passaggio dal modulo efficace all’ampiezza temporale è obbligatoria. Una verifica indipendente consiste nell’espandere le due sinusoidi con le formule di addizione del coseno e raccogliere i coefficienti di \(\cos\omega t\) e \(\sin\omega t\). Si ottengono esattamente le componenti sopra calcolate.
10.2 Differenza degli stessi fasori
Il modulo è ancora \(\sqrt{1300}\approx36{,}056\ \mathrm V\), perché i due fasori originari sono ortogonali; la fase della differenza è però \(\varphi_\Delta\approx86{,}31^\circ\). Dunque la coincidenza dei moduli non implica l’identità dei risultati.
11. Prodotti, rapporti e significato fisico: una distinzione necessaria
Un prodotto o un rapporto fra fasori è sempre eseguibile come operazione tra numeri complessi, purché il denominatore non sia nullo. Non è però, in generale, il fasore del prodotto o del rapporto istantaneo delle rispettive sinusoidi. Per chiarirlo, consideriamo le due funzioni \(\cos(\omega t+\alpha)\) e \(\cos(\omega t+\beta)\):
Il prodotto temporale contiene in generale una componente costante e una a pulsazione doppia; non è una singola sinusoide alla pulsazione \(\omega\). Analogamente il rapporto istantaneo di due sinusoidi può variare nel tempo o non essere definito in corrispondenza degli zeri del denominatore. Il rapporto dei fasori non va quindi identificato automaticamente con tale quoziente temporale.
Prodotti e rapporti complessi diventano invece strumenti fisici potenti quando rappresentano relazioni lineari tra grandezze sinusoidali isofrequenziali, come avverrà per le impedenze: la teoria relativa sarà introdotta negli Articoli 16 e 17.
12. Derivazione e integrazione: il ponte verso i circuiti
Per una grandezza \(x(t)=\sqrt2\mathrm{Re}\{\underline X e^{j\omega t}\}\) con \(\underline X\) costante, derivare significa moltiplicare il fattore esponenziale per \(j\omega\). La derivata è ancora una sinusoide alla stessa pulsazione:
La moltiplicazione per \(j\) aumenta la fase di \(90^\circ\) e la moltiplicazione per \(\omega\) modifica l’ampiezza con unità coerenti con la derivata. Integrare una sinusoide a media nulla porta, nella sola componente sinusoidale, a dividere per \(j\omega\):
Un’integrazione indefinita ammette anche una costante di integrazione reale, che non è rappresentata dal fasore della componente sinusoidale. Per questo motivo la regola descrive la primitiva sinusoidale e non consente di ignorare condizioni iniziali o componenti continue. Le relazioni costitutive specifiche di resistori, induttori e condensatori in regime sinusoidale saranno studiate nell’Articolo 16.
13. Condizioni di validità e limiti della rappresentazione fasoriale
La rappresentazione elementare usata in questo articolo descrive una componente sinusoidale a pulsazione assegnata. È particolarmente utile nel regime sinusoidale permanente di reti lineari tempo-invarianti, quando si considerano grandezze isofrequenziali. Non descrive da sola il transitorio generale, una componente continua o un segnale composto da più armoniche; questi richiedono rappresentazioni aggiuntive o trattazioni distinte. La presenza di una sinusoide all’ingresso di un sistema non garantisce, senza ipotesi ulteriori, che ogni sua grandezza interna sia una sinusoide alla stessa frequenza.
In particolare, la linearità è la condizione che permette la sovrapposizione delle risposte, mentre l’invarianza temporale garantisce che una singola eccitazione armonica mantenga la propria frequenza nelle risposte del modello. Questa distinzione evita di estendere impropriamente il metodo a sistemi non lineari, parametrici o variabili nel tempo.
I fasori semplificano l’algebra perché conservano le informazioni fondamentali della sinusoide e trasformano derivazione e integrazione sinusoidali in moltiplicazioni e divisioni complesse. Non sostituiscono tuttavia le grandezze reali, né le leggi fisiche: sono un linguaggio matematico per applicarle in modo efficiente.
14. Esempi risolti e verifica dei risultati
Esempio A — Dal seno al fasore efficace
Data \(v(t)=100\sin(314t-3\pi/4)\ \mathrm V\), convertiamo la fase dal seno al coseno: \(\varphi_c=-3\pi/4-\pi/2=-5\pi/4\), equivalente a \(3\pi/4\). Il valore efficace è \(100/\sqrt2\approx70{,}71\ \mathrm V\). Si ottiene:
Verifica inversa: \(\sqrt2\mathrm{Re}\{(-50+j50)e^{j314t}\}=100\cos(314t+135^\circ)=100\sin(314t-135^\circ)\). L’ultima identità deriva dalla conversione fra coseno e seno,
con uno spostamento di fase di \(90^\circ\),
e dall’equivalenza fra \(225^\circ\)
e \(-135^\circ\) modulo \(360^\circ\).
Esempio B — Divisione di numeri complessi
Dati \(z_1=30\angle30^\circ\) e \(z_2=1{,}5-j\), calcoliamo \(|z_2|=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}8028\) e \(\arg(z_2)=-33{,}69^\circ\). Pertanto:
La verifica in forma algebrica si ottiene moltiplicando per il coniugato del denominatore. Non attribuiamo automaticamente a questo rapporto il significato di quoziente istantaneo fra due segnali nel tempo.
Esempio C — Due sinusoidi e rapporto dei fasori
Consideriamo \(v(t)=200\sin(314t+\pi/12)\ \mathrm V\) e \(i(t)=4\sin(314t-\pi/6)\ \mathrm A\). I rispettivi fasori efficaci in convenzione del coseno sono \(\underline V=(200/\sqrt2)\angle(-75^\circ)\ \mathrm V\) e \(\underline I=(4/\sqrt2)\angle(-120^\circ)\ \mathrm A\). Il loro rapporto è:
Si tratta del rapporto fra rappresentazioni complesse isofrequenziali, non dell’espressione del rapporto istantaneo \(v(t)/i(t)\). La sua interpretazione come impedenza è legittima quando tensione e corrente sono associate coerentemente a un bipolo in regime sinusoidale, secondo il modello che verrà studiato successivamente.
15. Esercizi di consolidamento
Gli esercizi sono ordinati dai prerequisiti fino alla ricostruzione temporale. Salvo indicazione contraria, i fasori sono efficaci e basati sul coseno; gli angoli sono in gradi e le approssimazioni numeriche sono arrotondate a due decimali. Le risposte brevi consentono il controllo del risultato, senza sostituire la dimostrazione del procedimento.
- Forme complesse. Convertire \(z=-4+j4\sqrt3\) in forma polare ed esponenziale. Risposta: \(z=8\angle120^\circ=8e^{j2\pi/3}\).
- Quadrante e coniugato. Dato \(z=-6-j8\), determinare modulo, argomento principale e coniugato. Risposta: \(|z|=10\); \(\arg z\approx-126{,}87^\circ\); \(z^*=-6+j8\).
- Somma. Eseguire \((5\angle0^\circ)+(5\angle90^\circ)\). Risposta: \(5+j5=5\sqrt2\angle45^\circ\).
- Prodotto e quoziente complessi. Per \(z_1=4\angle20^\circ\), \(z_2=2\angle(-40^\circ)\), determinare \(z_1z_2\) e \(z_1/z_2\). Risposte: \(8\angle(-20^\circ)\) e \(2\angle60^\circ\).
- Sinusoide e fasore. Data \(i(t)=6\sin(100\pi t+30^\circ)\ \mathrm A\), determinare il fasore efficace. Risposta: \(\underline I=3\sqrt2\angle(-60^\circ)\ \mathrm A\).
- Ritorno nel tempo. Dato \(\underline V=12-j5\ \mathrm V\) a \(\omega=200\ \mathrm{rad/s}\), determinare \(v(t)\). Risposta: \(v(t)\approx18{,}38\cos(200t-22{,}62^\circ)\ \mathrm V\).
- Somma isofrequenziale. Sommare \(\underline I_1=3\angle0^\circ\ \mathrm A\) e \(\underline I_2=4\angle90^\circ\ \mathrm A\); ricostruire la corrente risultante per \(\omega=100\ \mathrm{rad/s}\). Risposta: \(\underline I=3+j4=5\angle53{,}13^\circ\ \mathrm A\); \(i(t)\approx7{,}07\cos(100t+53{,}13^\circ)\ \mathrm A\).
- Interpretazione critica. Stabilire se \((2\angle0^\circ)(3\angle0^\circ)=6\angle0^\circ\) sia il fasore del prodotto temporale delle sinusoidi rappresentate. Risposta: no; il prodotto temporale contiene una componente continua e una a frequenza doppia.
- Limite di frequenza. Spiegare perché \(\cos(100t)+\cos(200t)\) non è descritto da un solo fasore costante alla pulsazione \(100\ \mathrm{rad/s}\). Risposta: contiene due pulsazioni distinte e manca un fattore temporale comune.
- Derivazione. Dato \(x(t)=10\cos(50t-30^\circ)\), trovare la derivata nel tempo e il fasore efficace della derivata. Risposta: \(x'(t)=500\cos(50t+60^\circ)\); \(\underline X_{\mathrm{der}}=(500/\sqrt2)\angle60^\circ\), con unità coerenti con quelle di \(x\) per secondo.
16. Errori concettuali da evitare
Primo: non confondere la parte immaginaria \(b\) con il termine \(jb\). Secondo: non identificare il numero complesso con un vettore fisico nello spazio. Terzo: non attribuire al fasore costante la rotazione temporale del prodotto \(\underline Xe^{j\omega t}\). Quarto: non trasferire senza conversione la fase del seno nel fasore basato sul coseno. Quinto: non confondere modulo efficace e valore massimo. Sesto: non usare \(\arctan(b/a)\) senza controllare il quadrante. Settimo: non sommare direttamente fasori che appartengono a pulsazioni differenti. Ottavo: non considerare il prodotto complesso di due fasori come il fasore del prodotto istantaneo delle sinusoidi. Nono: non applicare l’integrazione fasoriale a una componente continua né dimenticare le costanti di integrazione. Decimo: non dedurre dal solo formalismo matematico proprietà fisiche dei bipoli che devono essere stabilite dalle loro relazioni costitutive.
17. Sintesi operativa e continuità del percorso
La sinusoide temporale e il fasore non sono due fenomeni differenti: sono due rappresentazioni collegate della stessa componente armonica reale. Il dominio del tempo mostra l’evoluzione istantanea; il dominio fasoriale raccoglie in un numero complesso costante, rispetto a una pulsazione assegnata, valore efficace e fase. La ricostruzione attraverso \(\sqrt2\mathrm{Re}\{\underline Xe^{j\omega t}\}\) rende esplicito il legame; l’algebra complessa e le operazioni sulle sinusoidi isofrequenziali ne rendono evidente l’utilità.
Nell’Articolo 15 verrà studiata l’origine elettromagnetica di una forza elettromotrice sinusoidale. L’Articolo 16 applicherà il linguaggio fasoriale alle relazioni fra tensione e corrente di resistore, induttore e condensatore; l’Articolo 17 svilupperà impedenze e ammettenze. Questi argomenti non sono anticipati qui: la loro comprensione poggia sul formalismo matematico appena costruito.
