1. Dal circuito RLC serie al circuito RLC parallelo
Nel regime sinusoidale permanente, l’analisi di una rete elettrica richiede di distinguere con precisione la struttura dei collegamenti dalle relazioni costitutive dei componenti. Nei circuiti RLC in serie, studiati nell’articolo precedente, la corrente è identica in tutti i bipoli e le tensioni si sommano in forma fasoriale. Nei circuiti in parallelo accade l’opposto: tutti i rami sono collegati alla stessa coppia di nodi e hanno quindi la medesima tensione; la corrente fornita dal generatore si ripartisce tra essi.
L’impedenza è lo strumento naturale per sommare gli effetti dei bipoli in serie. Per il parallelo risulta invece particolarmente conveniente l’ammettenza, definita come inverso dell’impedenza. I contributi dei diversi rami si sommano direttamente e conducono, mediante la prima legge di Kirchhoff, alla corrente totale.
2. Schema di riferimento, ipotesi e convenzioni
Consideriamo un generatore ideale di tensione sinusoidale applicato a tre rami in parallelo: un resistore ideale di resistenza R, un induttore ideale di induttanza L e un condensatore ideale di capacità C. Indichiamo con A e B i nodi comuni, con la tensione orientata da B verso A e con le correnti di ramo orientate da A verso B. La corrente totale entra nel nodo A e si ripartisce nei tre rami.
Il modello presuppone componenti concentrati, lineari, tempo-invarianti, induttore e condensatore ideali, pulsazione angolare positiva e regime sinusoidale permanente. Gli effetti transitori sono già stati considerati nell’Articolo 12; le perdite e gli elementi parassiti sono stati introdotti nell’Articolo 17. Non sono necessari, in questa fase, né la teoria della risonanza né la trattazione sistematica delle potenze.
Adottiamo fasori riferiti al coseno, espressi in valori efficaci. La tensione è presa come riferimento di fase:
Qui V indica il valore efficace positivo della tensione, mentre il simbolo sottolineato indica la grandezza fasoriale complessa. Le correnti fasoriali verranno indicate con la stessa convenzione.
3. Tensione comune e legge di Kirchhoff delle correnti
Poiché ogni ramo è collegato direttamente alla coppia di nodi A e B, la differenza di potenziale è la medesima. Non si tratta di un’approssimazione: è una conseguenza della topologia del collegamento, nella rappresentazione a parametri concentrati.
La prima legge di Kirchhoff, applicata al nodo A con i versi assegnati, impone che la corrente entrante sia la somma algebrica delle correnti uscenti. In regime sinusoidale, per grandezze alla stessa frequenza, la relazione resta valida sui fasori:
È essenziale non sostituire questa somma complessa con la somma dei moduli: le correnti non sono, in generale, in fase tra loro.
4. Ramo resistivo: corrente in fase e conduttanza
Per il resistore ideale vale la legge di Ohm in forma fasoriale. Definendo la conduttanza G come inverso della resistenza, otteniamo:
La conduttanza è una grandezza reale positiva, misurata in siemens (S). Poiché non introduce un fattore immaginario, la corrente resistiva è in fase con la tensione: con il riferimento adottato il suo fasore giace sull’asse reale positivo.
5. Ramo induttivo: corrente in ritardo e suscettanza negativa
L’induttore ideale soddisfa la relazione costitutiva tra tensione e derivata della corrente. Passando al dominio fasoriale si ha:
Si definisce la suscettanza induttiva algebrica del ramo:
Pertanto la sua ammettenza è puramente immaginaria negativa: \(\underline Y_L=jB_L=-j/(\omega L)\). La corrente è in ritardo di 90° rispetto alla tensione. Il modulo della suscettanza è positivo, \(|B_L|=1/(\omega L)\), ma non va confuso con il valore algebrico B_L, che è negativo.
6. Ramo capacitivo: corrente in anticipo e suscettanza positiva
Per il condensatore ideale la corrente è proporzionale alla derivata della tensione. Nel dominio fasoriale:
La suscettanza capacitiva algebrica è:
L’ammettenza del ramo è \(\underline Y_C=jB_C=j\omega C\). La corrente capacitiva è in anticipo di 90° rispetto alla tensione, perciò il suo fasore è orientato lungo l’asse immaginario positivo quando la tensione è il riferimento reale.
7. Somma fasoriale e derivazione dell’ammettenza totale
Sostituendo le tre correnti nella legge di Kirchhoff e raccogliendo la tensione comune si ottiene:
L’espressione tra parentesi quadre è l’ammettenza complessa equivalente del collegamento parallelo. Essa riassume, alla frequenza considerata, il rapporto fra il fasore della corrente totale e quello della tensione comune.
La parte reale G è la conduttanza equivalente del modello ideale considerato; la parte immaginaria B è la suscettanza equivalente, somma algebrica delle suscettanze dei due rami reattivi. Per estensione, in un parallelo di più bipoli descritti da ammettenze fasoriali, vale la somma \(\underline Y_{eq}=\sum_k\underline Y_k\).
8. Modulo, argomento e triangolo dell’ammettenza
Il modulo dell’ammettenza e il suo argomento sono:
Quando G è strettamente positivo, si può anche scrivere \(\tan\theta=B/G\). Poiché \(\underline I=\underline Y_{eq}\underline V\), con tensione assunta come riferimento, θ è l’angolo della corrente rispetto alla tensione. Nel triangolo dell’ammettenza G è il cateto orizzontale, B quello verticale con segno e Y l’ipotenusa; la geometria non consente di ignorare il segno della componente verticale.
\(I=VY=V\sqrt{G^2+B^2},\qquad I_R=VG,\qquad I_Q=VB\)
\(I_Q\) rappresenta la componente algebrica della corrente totale in quadratura con la tensione. Se \(G\) è positivo, \(\cos\theta=G/Y\); la funzione coseno, da sola, non determina se la corrente sia in anticipo o in ritardo: occorre controllare il segno di \(B\).
9. Impedenza equivalente e significato dell’inversione
L’impedenza vista dal generatore è l’inverso dell’ammettenza equivalente, purché quest’ultima sia diversa da zero:
Possiamo dunque scrivere \(\underline Z_{eq}=R_s+jX_s\), dove \(R_s=G/(G^2+B^2)\) e \(X_s=-B/(G^2+B^2)\). I parametri R_s e X_s appartengono alla rappresentazione equivalente serie alla frequenza assegnata: non coincidono, in generale, con il valore R del resistore presente in un ramo fisico del circuito originale.
Il modulo soddisfa \(Z=1/Y\) e l’argomento \(\arg(\underline Z_{eq})=-\theta\). L’equivalenza riguarda il comportamento ai morsetti nella condizione sinusoidale studiata; non rende identiche le correnti interne dei due schemi.
10. Casi particolari: R–L, R–C, L–C e R–L–C
10.1. Circuito R–L parallelo
Nel parallelo resistivo-induttivo la corrente resistiva è in fase con la tensione e quella induttiva è in ritardo di 90°. Pertanto:
La suscettanza complessiva è negativa, quindi la corrente totale è in ritardo sulla tensione. La formula del modulo è una conseguenza della perpendicolarità dei due contributi fasoriali, non della somma aritmetica delle correnti.
10.2. Circuito R–C parallelo
Nel parallelo resistivo-capacitivo, la corrente capacitiva anticipa la tensione di 90°:
La suscettanza equivalente è positiva: la corrente totale è in anticipo rispetto alla tensione.
10.3. Circuito L–C parallelo ideale
Nel parallelo esclusivamente reattivo, la corrente dell’induttore e quella del condensatore sono dirette in versi opposti lungo l’asse immaginario. La corrente ai morsetti si ottiene per differenza algebrica:
Se prevale in modulo la componente induttiva, la corrente totale ritarda; se prevale quella capacitiva, anticipa. L’eventuale annullamento della corrente ai morsetti, pur in presenza di correnti reattive di ramo, è segnalato qui soltanto come proprietà della somma fasoriale: la sua interpretazione sistematica, le condizioni di risonanza e l’influenza delle perdite saranno affrontate nell’Articolo 21. Nel limite in cui l’ammettenza complessiva sia nulla, l’impedenza ai morsetti non può essere calcolata mediante un’inversione ordinaria e tende idealmente a un modulo illimitato.
10.4. Circuito R–L–C parallelo completo
Con tutti e tre i rami presenti, la componente in fase della corrente è quella resistiva; la componente in quadratura è la differenza algebrica fra il contributo capacitivo e quello induttivo:
Non è corretto descrivere questo collegamento come un generico «circuito reale» soltanto perché contiene R, L e C: ciascun componente resta ideale nel modello adottato. Un circuito fisico reale può richiedere, oltre a essi, resistenze di perdita, capacità parassite e induttanze non intenzionali.
11. Diagrammi fasoriali e interpretazione degli sfasamenti
Il diagramma fasoriale si costruisce assumendo il fasore tensione sull’asse reale positivo. La corrente resistiva è collineare con esso; la corrente induttiva è rappresentata verticalmente verso il basso; la corrente capacitiva verticalmente verso l’alto. La somma geometrica fornisce un vettore risultante con componente orizzontale I_R e componente verticale algebrica I_C−I_L, dove I_C e I_L, in quest’ultima differenza, indicano i moduli positivi delle rispettive correnti di ramo.
Se I_L supera I_C il risultante è sotto l’asse reale; se I_C supera I_L è sopra. La lunghezza del fasore totale non coincide in generale con \(I_R+I_L+I_C\) e può risultare molto minore delle singole correnti reattive. La rappresentazione conferma, a colpo d’occhio, la validità della legge di Kirchhoff.
12. Correnti nel dominio del tempo
La rappresentazione fasoriale descrive sinusoidi reali alla stessa pulsazione. Con tensione \(v(t)=\sqrt2 V\cos(\omega t)\), le correnti istantanee ideali sono:
La corrente totale è \(i(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t)\). Poiché le tre sinusoidi hanno la medesima frequenza, la loro somma è ancora una sinusoide di quella frequenza, descritta dal modulo e dalla fase del fasore risultante:
La rappresentazione temporale e quella fasoriale non sono fenomeni diversi: sono due descrizioni coerenti dello stesso regime sinusoidale permanente.
13. Confronto ragionato con il collegamento RLC serie
| Grandezza o proprietà | RLC in serie | RLC in parallelo |
|---|---|---|
| Grandezza comune | Corrente nei componenti | Tensione ai capi dei rami |
| Legge di Kirchhoff più immediata | Somma fasoriale delle tensioni | Somma fasoriale delle correnti |
| Parametri che si sommano | Impedenze | Ammettenze |
| Espressione naturale | \(\underline Z=R+j(\omega L-1/(\omega C))\) | \(\underline Y=1/R+j(\omega C-1/(\omega L))\) |
| Segno positivo della parte reattiva | Impedenza induttiva | Ammettenza capacitiva |
| Segno negativo della parte reattiva | Impedenza capacitiva | Ammettenza induttiva |
Le due espressioni scritte nella tabella si riferiscono a topologie fisiche differenti. Sostituire meccanicamente R con 1/R oppure L con C non produce, da solo, una dimostrazione dell’equivalenza fra i circuiti. La scelta del metodo deve partire sempre dai nodi, dai rami e dalle relazioni costitutive.
14. Esempi numerici ed esercizi universitari verificati
14.1. Esempio storico Megistone corretto: RLC parallelo induttivo
Siano R = 20 Ω, L = 0,050 H, C = 150 μF, f = 50 Hz e V = 220 V efficaci. Si assume la tensione come riferimento di fase. La pulsazione è \(\omega=2\pi f=314{,}159\ \mathrm{rad/s}\). Si calcolano:
L’ammettenza risultante e la corrente sono:
Le correnti dei singoli rami sono \(\underline I_R=11{,}000\ \mathrm A\), \(\underline I_L=-j\,14{,}0056\ \mathrm A\) e \(\underline I_C=j\,10{,}3673\ \mathrm A\). La loro somma è esattamente la corrente calcolata dall’ammettenza entro gli arrotondamenti mostrati. La corrente totale è in ritardo, poiché il ramo induttivo ha il contributo in quadratura maggiore in modulo.
14.2. Esercizio con comportamento capacitivo
Un parallelo ideale ha R = 60 Ω, L = 0,150 H, C = 80 μF, V = 120 V efficaci e f = 60 Hz. Determinare la corrente totale, lo sfasamento e l’impedenza equivalente.
Si ha \(\omega=376{,}991\ \mathrm{rad/s}\) e:
La parte immaginaria positiva della corrente evidenzia l’anticipo rispetto alla tensione; coerentemente, l’impedenza equivalente presenta parte reattiva negativa.
14.3. Problema inverso: progetto del ramo capacitivo
Un parallelo ideale RLC deve assorbire una corrente totale in anticipo di 30° sulla tensione, alla frequenza di 50 Hz. Sono noti R = 100 Ω e L = 0,200 H. Determinare C e verificare il risultato. Non è richiesto il valore della tensione, perché la fase dell’ammettenza non dipende dal suo modulo nel modello lineare.
La condizione assegnata è \(\tan30^\circ=B/G\). Di conseguenza:
Sostituendo il valore calcolato si ottiene \(\underline Y=(0{,}010000+j\,0{,}0057735)\ \mathrm S\) e quindi \(\arg(\underline Y)=+30^\circ\), come richiesto. Non si sta progettando una condizione di risonanza: si sta imponendo un preciso anticipo di fase a una frequenza assegnata.
15. Componenti reali e limiti di validità
Nel modello ideale G = 1/R e B è la differenza delle suscettanze pure. Nei circuiti reali, l’induttore può presentare resistenza dell’avvolgimento e perdite nel nucleo; il condensatore può avere perdite dielettriche e resistenza serie equivalente; il resistore può manifestare effetti parassiti a frequenze elevate. In questi casi si deve ricavare l’ammettenza complessa effettiva di ciascun ramo, partendo dal suo modello corretto, e solo successivamente sommare le ammettenze dei rami in parallelo.
Il generatore ideale mantiene la tensione imposta indipendentemente dalla corrente assorbita. Un generatore reale, invece, può presentare impedenza interna: il valore della tensione effettivamente applicata al carico dipenderà allora dall’interazione fra sorgente e circuito. Tali osservazioni richiamano i modelli già trattati nell’Articolo 17 senza ripeterne l’analisi sistematica.
16. Controllo dimensionale ed errori da evitare
La conduttanza e la suscettanza si misurano in siemens. Per la conduttanza \([1/R]=\Omega^{-1}=\mathrm S\). Per l’induttore \([\omega L]=\Omega\), quindi \([1/(\omega L)]=\mathrm S\); per il condensatore \([\omega C]=\mathrm S\). Ne segue che il prodotto di ammettenza e tensione ha dimensioni di corrente: \([YV]=\mathrm S\cdot\mathrm V=\mathrm A\). Il radiante è adimensionale nell’analisi delle unità SI.
- Non sommare i moduli delle correnti quando esse sono sfasate: occorre sommare i fasori.
- Non confondere il modulo positivo \(|B_L|\) con la suscettanza induttiva algebrica negativa B_L.
- Non utilizzare il solo valore di \(\cos\theta\) per stabilire anticipo o ritardo: occorre il segno di B.
- Non identificare il resistore del ramo con la resistenza dell’equivalente serie.
- Non concludere che una corrente totale piccola implichi correnti piccole in ciascun ramo.
- Non estendere indiscriminatamente le formule ideali ai componenti reali o a segnali non sinusoidali.
- Non utilizzare \(1/\underline Y\) quando \(\underline Y=0\) senza discutere il carattere limite del modello.
17. Sintesi operativa e continuità del percorso
Per risolvere un circuito RLC parallelo alimentato in regime sinusoidale si definiscono prima la tensione comune e i versi delle correnti; si calcolano poi le ammettenze dei singoli rami, si costruisce l’ammettenza complessiva e si ricava la corrente del generatore mediante \(\underline I=\underline Y_{eq}\underline V\). Infine si determinano modulo, fase e correnti di ramo e si verifica la prima legge di Kirchhoff.
Questo procedimento completa il confronto fra collegamenti serie e parallelo e prepara l’estensione ai metodi e ai teoremi delle reti in regime sinusoidale dell’Articolo 20. L’analisi sistematica della risonanza serie e parallelo, del fattore di qualità, della banda passante e della selettività resta riservata all’Articolo 21.
