Esercizio 2

Esercizio 2

Un carico ohmico–induttivo \(V_o = 380 \ \text{V}\), funziona alla frequenza di rete ed assorbe una corrente di \(40 \ \text{A}\) con un fattore di potenza \(\cos\varphi = 0{,}8\).
La linea elettrica usata per allacciare il carico al generatore ha una resistenza \(R=0{,}25 \ \Omega\) ed una reattanza \(X=0{,}35 \ \Omega\).

Calcola:

1. L’impedenza \(Z_L\) che costituisce il carico;
2. La tensione \(V_i\) necessaria all’ingresso della linea;
3. Il rendimento della trasmissione;
4. La capacità del condensatore da mettere in parallelo al carico per limitare le perdite della linea a soli 324 W.

Soluzione

1) Impedenza del carico

\(Z_L = \frac{V_o}{I} = \frac{380}{40} = 9{,}5 \ \Omega\)

Componenti:

\(R_L = Z_L \cos\varphi = 9{,}5 \cdot 0{,}8 = 7{,}6 \ \Omega\)
\(X_L = Z_L \sin\varphi = 9{,}5 \cdot 0{,}6 = 5{,}7 \ \Omega\)

2) Potenze del carico

\(P = V_o I \cos\varphi = 380 \cdot 40 \cdot 0{,}8 = 12{,}16 \ \text{kW}\)
\(Q = V_o I \sin\varphi = 380 \cdot 40 \cdot 0{,}6 = 9{,}12 \ \text{kvar}\)

Potenze della linea:

\(P_l = RI^2 = 0{,}25 \cdot 40^2 = 400 \ \text{W}\)
\(Q_l = XI^2 = 0{,}35 \cdot 40^2 = 576 \ \text{var}\)

3) Totali assorbiti

\(P_T = P + P_l = 12{,}16 + 0{,}4 = 12{,}56 \ \text{kW}\)
\(Q_T = Q + Q_l = 9{,}12 + 0{,}576 = 9{,}696 \ \text{kvar}\)

\(S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} = \sqrt{12560^2 + 9696^2} \approx 15{,}867 \ \text{kVA}\)

Tensione di ingresso linea:

\(V_i = \frac{S_T}{I} = \frac{15867}{40} \approx 397 \ \text{V}\)

Angolo di fase totale:

\(\varphi_T = \arctan\!\left(\frac{9696}{15867}\right) \approx 37^\circ 40'\)

4) Rendimento

\(\eta = \frac{P}{P_T} = \frac{12160}{12560} = 0{,}968 \ \Rightarrow \ 96{,}8\%\)

Rifasamento

Per ridurre le perdite di linea a soli 324 W occorre che la corrente assorbita diventi:

\(I_x = \sqrt{\frac{P_l}{R}} = \sqrt{\frac{324}{0{,}25}} = 36 \ \text{A}\)

Correnti del carico:

\(I_{G0} = I \cos\varphi = 40 \cdot 0{,}8 = 32 \ \text{A}\)
\(I_{B0} = I \sin\varphi = 40 \cdot 0{,}6 = 24 \ \text{A}\)

Dopo il rifasamento serve un condensatore che assorba:

\(I_{Bx} = \sqrt{I_x^2 - I_{G0}^2} = \sqrt{36^2 - 32^2} \approx 16{,}5 \ \text{A}\)
\(I_C = I_{B0} - I_{Bx} = 24 - 16{,}5 = 7{,}5 \ \text{A}\)

Capacità richiesta:

\(C = \frac{I_C}{\omega V_o} = \frac{7{,}5}{2\pi \cdot 50 \cdot 380} \approx 62{,}9 \ \mu \text{F}\)