Sab. Mar 7th, 2026

Esercizio 2

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Esercizio 2

Un carico ohmico–induttivo $V_o = 380 \ \text{V}$ , funziona alla frequenza di rete ed assorbe una corrente di $40 \ \text{A}$ con un fattore di potenza $\cos\varphi = 0{,}8$ .
La linea elettrica usata per allacciare il carico al generatore ha una resistenza $R=0{,}25 \ \Omega$ ed una reattanza $X=0{,}35 \ \Omega$ .

Calcola:

L’impedenza $Z_L$ che costituisce il carico;
La tensione $V_i$ necessaria all’ingresso della linea;
Il rendimento della trasmissione;
La capacità del condensatore da mettere in parallelo al carico per limitare le perdite della linea a soli 324 W.

Soluzione

1) Impedenza del carico

$Z_L = \frac{V_o}{I} = \frac{380}{40} = 9{,}5 \ \Omega$

Componenti:

$R_L = Z_L \cos\varphi = 9{,}5 \cdot 0{,}8 = 7{,}6 \ \Omega$
$X_L = Z_L \sin\varphi = 9{,}5 \cdot 0{,}6 = 5{,}7 \ \Omega$

2) Potenze del carico

$P = V_o I \cos\varphi = 380 \cdot 40 \cdot 0{,}8 = 12{,}16 \ \text{kW}$
$Q = V_o I \sin\varphi = 380 \cdot 40 \cdot 0{,}6 = 9{,}12 \ \text{kvar}$

Potenze della linea:

$P_l = RI^2 = 0{,}25 \cdot 40^2 = 400 \ \text{W}$
$Q_l = XI^2 = 0{,}35 \cdot 40^2 = 576 \ \text{var}$

3) Totali assorbiti

$P_T = P + P_l = 12{,}16 + 0{,}4 = 12{,}56 \ \text{kW}$
$Q_T = Q + Q_l = 9{,}12 + 0{,}576 = 9{,}696 \ \text{kvar}$

$S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} = \sqrt{12560^2 + 9696^2} \approx 15{,}867 \ \text{kVA}$

Tensione di ingresso linea:

$V_i = \frac{S_T}{I} = \frac{15867}{40} \approx 397 \ \text{V}$

Angolo di fase totale:

$\varphi_T = \arctan\!\left(\frac{9696}{15867}\right) \approx 37^\circ 40'$

4) Rendimento

$\eta = \frac{P}{P_T} = \frac{12160}{12560} = 0{,}968 \ \Rightarrow \ 96{,}8\%$

Rifasamento

Per ridurre le perdite di linea a soli 324 W occorre che la corrente assorbita diventi:

$I_x = \sqrt{\frac{P_l}{R}} = \sqrt{\frac{324}{0{,}25}} = 36 \ \text{A}$

Correnti del carico:

$I_{G0} = I \cos\varphi = 40 \cdot 0{,}8 = 32 \ \text{A}$
$I_{B0} = I \sin\varphi = 40 \cdot 0{,}6 = 24 \ \text{A}$

Dopo il rifasamento serve un condensatore che assorba:

$I_{Bx} = \sqrt{I_x^2 - I_{G0}^2} = \sqrt{36^2 - 32^2} \approx 16{,}5 \ \text{A}$
$I_C = I_{B0} - I_{Bx} = 24 - 16{,}5 = 7{,}5 \ \text{A}$

Capacità richiesta:

$C = \frac{I_C}{\omega V_o} = \frac{7{,}5}{2\pi \cdot 50 \cdot 380} \approx 62{,}9 \ \mu \text{F}$

Diagrammi riepilogativi

Triangolo delle potenze totali:
$P_T = 12{,}56 \,\text{kW},\quad Q_T = 9{,}696 \,\text{kvar},\quad S_T=\sqrt{P_T^2+Q_T^2}\approx 15{,}867 \,\text{kVA},\quad \varphi_T=\arctan\!\left(\frac{Q_T}{P_T}\right)\approx 37^\circ 40'$

P_T = 12{,}56 \,\text{kW},\quad Q_T = 9{,}696 \,\text{kvar},\quad S_T=\sqrt{P_T^2+Q_T^2}\approx 15{,}867 \,\text{kVA},\quad \varphi_T=\arctan\!\left(\frac{Q_T}{P_T}\right)\approx 37^\circ 40' — Triangolo delle potenze totali:
$P_T = 12{,}56 \,\text{kW},\quad Q_T = 9{,}696 \,\text{kvar},\quad S_T=\sqrt{P_T^2+Q_T^2}\approx 15{,}867 \,\text{kVA},\quad \varphi_T=\arctan\!\left(\frac{Q_T}{P_T}\right)\approx 37^\circ 40'$

Diagramma vettoriale delle tensioni rispetto alla corrente:
$V_i = V_o + \Delta V,\ \ \Delta V = R\,I + j X\,I,\ \ V_o = 380\,\text{V},\ I=40\,\text{A},\ R=0{,}25\,\Omega,\ X=0{,}35\,\Omega,\ V_i \approx 397\,\text{V}$

V_i = V_o + \Delta V,\ \ \Delta V = R\,I + j X\,I,\ \ V_o = 380\,\text{V},\ I=40\,\text{A},\ R=0{,}25\,\Omega,\ X=0{,}35\,\Omega,\ V_i \approx 397\,\text{V} — Diagramma vettoriale delle tensioni rispetto alla corrente:
$V_i = V_o + \Delta V,\ \ \Delta V = R\,I + j X\,I,\ \ V_o = 380\,\text{V},\ I=40\,\text{A},\ R=0{,}25\,\Omega,\ X=0{,}35\,\Omega,\ V_i \approx 397\,\text{V}$

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