Esercizio 6 -

Una linea di impedenza $Z = (0{,}2 + j0{,}5)\ \Omega$ alimenta, alla frequenza di 50 Hz, due carichi RL in parallelo che assorbono ciascuno una potenza attiva di $5\ \text{kW}$ con fattori di potenza $\cos\varphi_a = 0{,}6$ e $\cos\varphi_b = 0{,}7$ .

La tensione di alimentazione dei carichi è $220\ \text{V}$ . Calcolare:

la corrente assorbita dalla linea;
il rendimento;
la capacità del condensatore di rifasamento da mettere in parallelo ai carichi per portare il fattore di potenza totale a $0{,}9$ .

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Soluzione

1) Angoli di sfasamento dei carichi:

$\varphi_a = \arccos 0{,}6 \approx 53{,}13^\circ,\quad \varphi_b = \arccos 0{,}7 \approx 45{,}57^\circ$

2) Correnti assorbite dai due carichi:

$I_a = \frac{P_a}{V \cos\varphi_a} = \frac{5000}{220\cdot 0{,}6} \approx 37{,}8 \ \text{A}$
$I_b = \frac{P_b}{V \cos\varphi_b} = \frac{5000}{220\cdot 0{,}7} \approx 32{,}4 \ \text{A}$

In forma complessa:

$\overline{I}_a = 37{,}8\cos\varphi_a + j\,37{,}8\sin\varphi_a \approx 22{,}68 + j\,30{,}24$
$\overline{I}_b = 32{,}4\cos\varphi_b + j\,32{,}4\sin\varphi_b \approx 22{,}68 + j\,23{,}14$

3) Corrente totale di linea:

$\overline{I} = \overline{I}_a + \overline{I}_b = 45{,}36 + j\,53{,}37$
$I = |\overline{I}| = \sqrt{45{,}36^2 + 53{,}37^2} \approx 70{,}2 \ \text{A}$

4) Perdite di linea e potenze:

$P_l = R I^2 = 0{,}2 \cdot 70{,}2^2 \approx 985{,}6 \ \text{W}$
$P_i = P_l + P = 985{,}6 + 10000 = 10985 \ \text{W}$

5) Rendimento:

$\eta = \frac{P}{P_i} = \frac{10000}{10985} \approx 0{,}91 = 91\%$

6) Potenza reattiva complessiva:

$Q = P_a \tan\varphi_a + P_b \tan\varphi_b = 5000 \cdot \tan 53{,}13^\circ + 5000 \cdot \tan 45{,}57^\circ \approx 11767 \ \text{var}$

7) Rifasamento al valore $\cos\varphi_1=0{,}9$ :

$\varphi = \arctan\!\left(\tfrac{Q}{P}\right) = \arctan\!\left(\tfrac{11787}{10000}\right)\approx 49^\circ$
$\varphi_1 = \arccos 0{,}9 \approx 25{,}8^\circ,\quad \tan\varphi_1 \approx 0{,}484$