Esercizio 5 -

Due carichi ohmico–induttivi posti in parallelo assorbono la potenza complessiva
$Q = 1620 \ \text{VAR}$ con $\cos\varphi = 0{,}72$ .
Si conosce $R_1 = 5 \ \Omega$ , la tensione ai capi di $L_1$ è
$V_{X1} = 60 \ \text{V}$ e la tensione di alimentazione
$V = 96 \ \text{V}$ con $\omega = 800 \ \text{rad/s}$ .
Calcolare il valore di tutti i componenti incogniti e la capacità $C$ del
condensatore da inserire in parallelo al carico per portare l’angolo di sfasamento totale a
$\varphi = 30^\circ$ .

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Soluzione

Angolo di sfasamento iniziale:

$\varphi = \arccos(0{,}72) \approx 44^\circ,\quad \tan\varphi = 0{,}96,\quad \sin\varphi = 0{,}69$

Potenza attiva e apparente complessive:

$P = \frac{Q}{\tan\varphi} = \frac{1620}{0{,}96} \approx 1680 \ \text{W}$
$S = \frac{Q}{\sin\varphi} = \frac{1620}{0{,}69} \approx 2334 \ \text{VA}$

Corrente complessiva:

$I = \frac{S}{V} = \frac{2334}{96} \approx 24{,}3 \ \text{A}$

Tensione su $R_1$ :

$V^2 = V_{R1}^2 + V_{X1}^2 \quad\Rightarrow\quad V_{R1} = \sqrt{96^2 - 60^2} = 75 \ \text{V}$

Corrente nel ramo 1:

$I_1 = \frac{V_{R1}}{R_1} = \frac{75}{5} = 15 \ \text{A}$

Reattanza $X_1$ :

$X_1 = \frac{V_{X1}}{I_1} = \frac{60}{15} = 4 \ \Omega \quad\Rightarrow\quad L_1 = \frac{X_1}{\omega} = \frac{4}{800} = 5 \ \text{mH}$

Corrente nel ramo 2:

$I_2 = I - I_1 = 24{,}3 - 15 = 9{,}3 \ \text{A}$

Per la potenza attiva: $P = P_1 + P_2$

$P = R_1 I_1^2 + R_2 I_2^2 \quad\Rightarrow\quad 1680 = 5\cdot 15^2 + R_2 \cdot 9{,}3^2 \quad\Rightarrow\quad R_2 \approx 6{,}4 \ \Omega$

Per la potenza reattiva: $Q = Q_1 + Q_2$

$Q = X_1 I_1^2 + X_2 I_2^2 \quad\Rightarrow\quad 1620 = 4\cdot 15^2 + X_2 \cdot 9{,}3^2 \quad\Rightarrow\quad X_2 \approx 8{,}3 \ \Omega$
$L_2 = \frac{X_2}{\omega} = \frac{8{,}3}{800} \approx 10{,}3 \ \text{mH}$

Calcolo del condensatore di rifasamento

Angolo finale desiderato: $\varphi_1 = 30^\circ,\ \tan\varphi_1 = 0{,}577$ .

$C = \frac{P \big(\tan\varphi - \tan\varphi_1\big)}{\omega V^2} = \frac{1680 \,(0{,}96 - 0{,}577)}{800 \cdot 96^2} \approx 8{,}7 \cdot 10^{-5} \ \text{F} = 87 \ \mu\text{F}$