Regimi periodici non sinusoidali, armoniche e fenomeni reali
L’analisi sinusoidale permette di risolvere in modo elegante reti lineari alimentate da sorgenti caratterizzate da una sola frequenza. Negli impianti reali, tuttavia, una tensione o una corrente possono ripetersi periodicamente senza avere andamento sinusoidale: una corrente assorbita a impulsi da un alimentatore elettronico, una tensione generata da un convertitore o una corrente deformata da un carico non lineare ne sono esempi. Il segnale conserva un periodo, ma non può essere descritto con una sola ampiezza e una sola fase sinusoidale.
La serie di Fourier collega questi regimi all’Elettrotecnica sinusoidale: sotto opportune ipotesi, una forma d’onda periodica può essere rappresentata come somma di una componente continua e di sinusoidi aventi frequenze multiple intere di quella fondamentale. Questa rappresentazione rende possibile calcolare valori efficaci, risposta dei circuiti lineari, potenza e conseguenze fisiche delle armoniche. Lo scopo non è attribuire a tutta la forma d’onda un solo fasore, ma applicare correttamente i fasori una frequenza alla volta.
L’articolo completa l’analisi dei circuiti monofase del Blocco B, introducendo anche l’effetto pelle e le perdite reali dipendenti dalla frequenza. Non affronta la teoria generale dei doppi bipoli, delle funzioni di trasferimento e del teorema di Miller, riservata all’Articolo 25.
1. Prerequisiti e ambito di validità
Si considerano acquisite le grandezze sinusoidali e i valori efficaci (Articolo 13), i numeri complessi e i fasori (14), le relazioni costitutive R, L e C (16), impedenze e componenti reali (17), circuiti RLC e risonanza (18, 19, 21), metodi di rete e sovrapposizione (20), potenza sinusoidale (22) e rifasamento monofase (23). Qui tali strumenti vengono estesi, con le necessarie cautele, a grandezze periodiche deformate.
Occorre distinguere due situazioni. Una rete lineare tempo-invariante alimentata da una sorgente non sinusoidale può produrre una risposta non sinusoidale, ma ogni armonica dell’ingresso genera una risposta alla medesima frequenza. Un dispositivo non lineare, invece, può generare nuove armoniche anche quando è alimentato da una sinusoide pura; in questo caso non è lecito risolvere il dispositivo separando semplicemente le armoniche in reti lineari indipendenti. Negli esempi di risposta armonica verranno impiegati circuiti lineari, salvo esplicita indicazione contraria.
2. Regime periodico e frequenza fondamentale
Una grandezza \(x(t)\) è periodica se esiste \(T>0\) tale che \(x(t+T)=x(t)\) per ogni istante in cui è definita. Il più piccolo periodo positivo, quando esiste, è il periodo fondamentale \(T_1\). La frequenza fondamentale e la pulsazione fondamentale sono:
Una sinusoide pura contiene una sola frequenza. Una forma d’onda periodica deformata contiene, in generale, la componente continua e più componenti sinusoidali; la frequenza della n-esima armonica è \(f_n=nf_1\), con \(n=1,2,3,\ldots\). La componente \(n=1\) è la fondamentale; \(n=2\) è la seconda armonica, \(n=3\) la terza, e così via. La componente continua ha frequenza zero e non va confusa con una sinusoide di frequenza fondamentale.
Per esempio, con \(f_1=50\,\mathrm{Hz}\), la terza armonica oscilla a \(150\,\mathrm{Hz}\) e la quinta a \(250\,\mathrm{Hz}\). Il periodo della terza armonica è \(T_1/3\), ma la somma delle componenti si ripete, in generale, dopo \(T_1\). Se alcune armoniche sono assenti, il periodo effettivamente minimo della somma deve essere verificato: non basta assegnare arbitrariamente una frequenza fondamentale.
Una grandezza alternata cambia segno durante il periodo; una grandezza periodica può invece possedere una componente continua tale da rimanere sempre positiva. Anche il termine «deformata» va inteso rispetto alla sinusoide: la periodicità non implica che il segnale sia sinusoidale e, viceversa, un segnale non sinusoidale non è necessariamente periodico.
3. Serie di Fourier e rappresentazione delle armoniche
3.1 Forma trigonometrica
Per una funzione periodica sufficientemente regolare, la rappresentazione trigonometrica di Fourier è:
I coefficienti si calcolano su qualunque intervallo di durata \(T_1\):
\(X_0=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}x(t)\,dt\)
\(a_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}x(t)\cos(n\omega_1t)\,dt\)
\(b_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}x(t)\sin(n\omega_1t)\,dt\)
La componente continua \(X_0\) coincide con il valore medio algebrico della grandezza. I coefficienti \(a_n\) e \(b_n\) hanno la stessa unità di misura di \(x\): volt per una tensione e ampere per una corrente.
3.2 Ampiezza, fase e convenzione scelta
Ogni coppia di termini isofrequenziali può essere ricondotta a una sola sinusoide:
\(a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)=A_n\cos(n\omega_1t+\theta_n)\)
\(A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\qquad a_n=A_n\cos\theta_n,\qquad b_n=-A_n\sin\theta_n\)
L’angolo \(\theta_n\) deve essere scelto nel quadrante compatibile con entrambi i coefficienti: non è sufficiente prendere il solo arcotangente del rapporto. Introducendo il valore efficace della singola armonica \(X_n=A_n/\sqrt2\), per \(n\geq1\), si ottiene:
\(x(t)=X_0+\sqrt2\sum_{n=1}^{\infty}X_n\cos(n\omega_1t+\theta_n)\)
La fase di un’armonica dipende dall’origine dei tempi. Cambiare tale origine modifica le fasi, ma non le ampiezze efficaci né il valore efficace complessivo. Lo spettro armonico associa a ciascun ordine \(n\) l’ampiezza \(A_n\) o il valore efficace \(X_n\), e separatamente la fase \(\theta_n\). Bisogna dichiarare quale delle due grandezze compare sull’asse verticale.
3.3 Condizioni e significato della convergenza
Le usuali condizioni di Dirichlet, soddisfatte per esempio da funzioni periodiche a tratti regolari con un numero finito di discontinuità e di estremi per periodo, assicurano la convergenza puntuale della serie: nei punti di continuità essa restituisce \(x(t)\); in corrispondenza di un salto converge alla semisomma dei limiti laterali. Una condizione più generale, particolarmente importante per l’energia, è l’integrabilità quadratica su un periodo: in questo caso le somme parziali convergono alla funzione in media quadratica, anche quando la convergenza puntuale richieda ulteriori ipotesi.
Presso una discontinuità le somme parziali possono presentare oscillazioni e sovraelongazioni: è il fenomeno di Gibbs. Aumentando il numero delle armoniche, l’oscillazione si concentra vicino al salto, ma il massimo eccesso relativo al salto non scompare semplicemente aggiungendo termini. Ciò non contraddice la convergenza in media quadratica.
4. Simmetrie e selezione delle armoniche
Le simmetrie permettono di riconoscere coefficienti nulli prima di eseguire gli integrali. Con l’origine dei tempi scelta in modo adeguato, una funzione pari, \(x(-t)=x(t)\), possiede coefficienti sinusoidali \(b_n=0\); una funzione dispari, \(x(-t)=-x(t)\), possiede \(a_n=0\) e \(X_0=0\). Una funzione con simmetria di semionda, \(x(t+T_1/2)=-x(t)\), non presenta né componente continua né armoniche pari.
Una onda rettangolare simmetrica di ampiezza \(\pm A\), definita positiva nella prima metà del periodo e negativa nella seconda, scegliendo opportunamente l’origine dei tempi, ha sviluppo:
Per dimostrarlo si considera \(x(t)=A\) per \(0<t<T_1/2\) e \(x(t)=-A\) per \(T_1/2<t<T_1\). Nell’integrale del coefficiente \(b_n\), le due semionde forniscono \(b_n=2A[1-(-1)^n]/(n\pi)\): il coefficiente è zero per \(n\) pari e vale \(4A/(n\pi)\) per \(n\) dispari. Il valore efficace dell’onda completa è \(A\), non il valore efficace della sola fondamentale \(4A/(\pi\sqrt2)\).
Una onda triangolare simmetrica presenta anch’essa, con opportuna scelta dell’origine temporale, sole armoniche dispari, ma le rispettive ampiezze decrescono proporzionalmente a \(1/n^2\), invece che a \(1/n\) per l’onda rettangolare. La maggior regolarità temporale corrisponde dunque, in questo esempio, a uno spettro che decresce più rapidamente.
5. Ortogonalità, valore medio ed efficace: teorema di Parseval
5.1 Perché le armoniche non si confondono nel calcolo delle medie
Per interi positivi distinti \(m\neq n\), l’integrale sul periodo fondamentale del prodotto di due sinusoidi armoniche vale zero. Per esempio, impiegando l’identità prodotto-somma:
\(\cos(m\omega_1t)\cos(n\omega_1t)=\frac12\cos[(m-n)\omega_1t]+\frac12\cos[(m+n)\omega_1t]\)
I due termini a destra completano un numero intero di oscillazioni nell’intervallo \(T_1\), pertanto hanno media nulla. Analogamente sono ortogonali due seni di ordini distinti e una sinusoide coseno rispetto a una sinusoide seno di ordine appropriato. Inoltre, per \(n\geq1\), il valor medio di \(\cos^2(n\omega_1t)\) e di \(\sin^2(n\omega_1t)\) è \(1/2\).
5.2 Dimostrazione del valore efficace totale
Il valore efficace è definito, qualunque sia la forma d’onda periodica, da:
\(X_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac1{T_1}\int_0^{T_1}x^2(t)\,dt}\)
Elevando al quadrato la somma di Fourier, la media dei prodotti fra ordini diversi si annulla per ortogonalità; rimangono il quadrato della componente continua e la somma delle medie quadratiche delle singole armoniche. Ne segue il teorema di Parseval nella forma elettrotecnica:
I valori efficaci delle armoniche si sommano quadraticamente, non aritmeticamente. La relazione vale anche per tensioni e correnti con molte armoniche e non dipende dalle loro fasi. La componente continua si aggiunge come quadrato del suo valore, senza fattore \(1/\sqrt2\).
5.3 Esempio numerico: fondamentale e terza armonica
Si consideri \(v(t)=\sqrt2[230\cos(\omega_1t)+46\cos(3\omega_1t+30^\circ)]\,\mathrm V\). Le due ampiezze indicate tra parentesi sono i valori efficaci delle rispettive armoniche. La tensione totale ha valore efficace:
\(V=\sqrt{230^2+46^2}=234{,}55\,\mathrm V\)
Non si deve sommare \(230+46\), né considerare \(230\,\mathrm V\) come valore efficace complessivo: \(230\,\mathrm V\) è soltanto il valore efficace della fondamentale.
6. Sovrapposizione armonica nei circuiti lineari
Per una rete lineare e tempo-invariante, in condizioni di regime periodico stabilizzato e quando la soluzione periodica esiste ed è univoca, l’ingresso \(v(t)=V_0+\sum_n v_n(t)\) produce una risposta pari alla somma delle risposte ai singoli termini. La linearità giustifica la sovrapposizione; l’invarianza nel tempo assicura che una sinusoide a frequenza \(n\omega_1\) resti, nella risposta forzata, alla stessa frequenza. Si assume che eventuali transitori iniziali siano esauriti.
La procedura corretta è: determinare la componente continua; isolare ciascuna armonica; risolvere la rete con le impedenze valutate a quella frequenza; ricavare il fasore della risposta relativa a quell’ordine; riportare ciascun contributo nel dominio temporale; sommare le funzioni nel tempo. Per le armoniche \(n\geq1\) si possono usare fasori efficaci:
Questa relazione rappresenta il caso di un bipolo o di una rete descrivibile tramite l’impedenza di ingresso appropriata. Nelle reti più complesse, a ciascuna frequenza si applicano le equazioni nodali o di maglia con i parametri corrispondenti. Non è corretto sommare direttamente i fasori di frequenza differente, perché non rappresentano sinusoidi che ruotano alla stessa velocità angolare. Per esempio \(\underline I_1+\underline I_3\) non costituisce un «fasore totale» che descriva \(i(t)\).
Per la componente continua, in condizioni stazionarie ideali, un induttore si comporta come un cortocircuito e un condensatore come un circuito aperto. Queste equivalenze valgono con le abituali cautele: si devono rispettare condizioni di compatibilità del circuito, correnti e tensioni ammissibili, sorgenti e topologia.
7. Impedenza e risposta in funzione dell’ordine armonico
Per bipoli ideali a parametri costanti, alla pulsazione \(\omega_n=n\omega_1\):
\(Z_{R,n}=R,\qquad Z_{L,n}=jn\omega_1L,\qquad Z_{C,n}=\frac{1}{jn\omega_1C}\)
Ne segue che il modulo della reattanza induttiva cresce proporzionalmente a \(n\), mentre quello della reattanza capacitiva diminuisce proporzionalmente a \(1/n\). Una rete non trasmette necessariamente tutte le armoniche con la stessa attenuazione né con lo stesso sfasamento. La corrente risultante può essere meno deformata o più deformata della tensione, in funzione della rete e delle armoniche applicate.
In un circuito RL serie ideale:
\(Z_n=R+jn\omega_1L,\qquad |Z_n|=\sqrt{R^2+(n\omega_1L)^2}\)
\(I_n=\frac{V_n}{\sqrt{R^2+(n\omega_1L)^2}},\qquad \varphi_n=\arctan\left(\frac{n\omega_1L}{R}\right)\)
Per \(R>0\) e \(L>0\), ogni corrente armonica ritarda rispetto alla corrispondente tensione; il ritardo aumenta con la frequenza. In un RLC serie si deve invece considerare \(Z_n=R+j(n\omega_1L-1/(n\omega_1C))\): un’armonica può trovarsi vicino alla risonanza anche quando la fondamentale è lontana da essa. Non si ripeterà qui l’intera teoria della risonanza dell’Articolo 21.
8. Esempio completo: circuito RL alimentato da tensione deformata
Un circuito RL serie ideale presenta \(R=20\,\Omega\), \(L=0{,}050\,\mathrm H\) e \(f_1=50\,\mathrm{Hz}\). La sorgente ha fondamentale di valore efficace \(V_1=230\,\mathrm V\) e terza armonica di valore efficace \(V_3=46\,\mathrm V\), entrambe con fase iniziale nulla rispetto al riferimento cosinusoidale:
\(v(t)=\sqrt2[230\cos(\omega_1t)+46\cos(3\omega_1t)]\,\mathrm V\)
Fondamentale. La reattanza è \(X_{L,1}=2\pi 50\cdot0{,}050=15{,}708\,\Omega\), quindi \(|Z_1|=25{,}431\,\Omega\). La corrente efficace è \(I_1=9{,}044\,\mathrm A\) e il suo ritardo è \(\varphi_1=38{,}15^\circ\).
Terza armonica. La pulsazione è tripla: \(X_{L,3}=47{,}124\,\Omega\), \(|Z_3|=51{,}192\,\Omega\), \(I_3=0{,}899\,\mathrm A\) e \(\varphi_3=67{,}00^\circ\).
La corrente totale nel tempo risulta, con valori arrotondati:
\(i(t)=\sqrt2[9{,}044\cos(\omega_1t-38{,}15^\circ)+0{,}899\cos(3\omega_1t-67{,}00^\circ)]\,\mathrm A\)
Grazie all’ortogonalità:
\(I=\sqrt{I_1^2+I_3^2}=9{,}089\,\mathrm A\)
La potenza dissipata dal resistore ideale è la somma dei contributi \(R I_n^2\): \(P_1\simeq1635{,}90\,\mathrm W\) e \(P_3\simeq16{,}15\,\mathrm W\). Il totale è \(P\simeq1652{,}05\,\mathrm W\), pari a \(R I^2\) entro gli arrotondamenti. Il risultato mostra che una terza armonica della tensione pari al 20% della fondamentale non produce necessariamente una corrente armonica pari al 20%: qui l’induttanza ne limita il contributo.
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9. Potenza istantanea e potenza attiva con armoniche
Si adottano la convenzione dell’utilizzatore e le stesse orientazioni per tutte le componenti. Si rappresentino tensione e corrente con:
\(v(t)=V_0+\sqrt2\sum_{n=1}^{\infty}V_n\cos(n\omega_1t+\alpha_n)\)
\(i(t)=I_0+\sqrt2\sum_{n=1}^{\infty}I_n\cos(n\omega_1t+\beta_n)\)
La potenza istantanea resta, per definizione, \(p(t)=v(t)i(t)\). Nel prodotto compaiono termini con la stessa frequenza e termini incrociati con frequenze diverse: essi contribuiscono all’andamento temporale di \(p(t)\), ma i contributi incrociati hanno media nulla su un periodo fondamentale. Definendo \(\varphi_n=\alpha_n-\beta_n\), si ottiene:
Le singole potenze attive armoniche \(P_n=V_nI_n\cos\varphi_n\) si sommano algebricamente; in presenza di componenti attive con segni diversi occorre rispettare la convenzione. Non è necessario che la forma d’onda della potenza sia sinusoidale: può contenere molte componenti oscillanti e anche intervalli nei quali l’energia fluisce in verso opposto.
La somma delle potenze attive di rami e dispositivi, con convenzioni coerenti, resta soggetta ai bilanci energetici delle reti; non va tuttavia applicato automaticamente alle grandezze non sinusoidali il diagramma delle potenze complesso costruito per una sola frequenza.
10. Potenza apparente e fattore di potenza complessivo
La potenza apparente in monofase si definisce mediante i valori efficaci totali:
\(S=V_{\mathrm{RMS}}I_{\mathrm{RMS}}\)
In regime sinusoidale monofrequenza, sotto le convenzioni degli Articoli 22–23, \(\mathrm{FP}=\cos\varphi\). In regime distorto non esiste in generale un unico angolo di sfasamento fra tensione e corrente che esaurisca la descrizione. Di conseguenza il coseno dell’angolo fra le sole fondamentali, \(\cos\varphi_1\), non è generalmente uguale al fattore di potenza totale.
10.1 Caso importante: tensione perfettamente sinusoidale e corrente deformata
Se \(V_0=0\) e la tensione possiede solo la fondamentale \(V_1\), mentre la corrente contiene \(I_1,I_2,\ldots\) e non ha componente continua, allora:
\(P=V_1I_1\cos\varphi_1,\qquad I=\sqrt{I_1^2+\sum_{n=2}^{\infty}I_n^2}\)
Definendo \(\mathrm{THD}_I=\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty}I_n^2}/I_1\), con \(I_1>0\), risulta:
Il fattore \(\cos\varphi_1\) descrive lo sfasamento fondamentale; il denominatore rappresenta l’effetto della distorsione della corrente. Questa relazione particolare non vale indistintamente se anche la tensione è distorta o se è presente una componente continua significativa.
10.2 Esempio numerico: sfasamento e distorsione
Una tensione sinusoidale alimenta un carico con corrente fondamentale \(I_1=10\,\mathrm A\), fattore di spostamento \(\cos\varphi_1=0{,}80\) e contenuto armonico tale che \(\mathrm{THD}_I=0{,}40\). La corrente totale è \(I=10\sqrt{1+0{,}40^2}=10{,}770\,\mathrm A\). Il fattore di potenza complessivo è:
\(\mathrm{FP}=\frac{0{,}80}{\sqrt{1+0{,}40^2}}\simeq0{,}743\)
Pur avendo fondamentale con coseno \(0{,}80\), il carico presenta fattore di potenza totale inferiore. Qualora lo sfasamento fondamentale fosse portato idealmente a zero senza cambiare le armoniche della corrente, il fattore di potenza totale diventerebbe \(1/\sqrt{1+0{,}40^2}\simeq0{,}928\), non uno. Ciò chiarisce il confine con il rifasamento sinusoidale dell’Articolo 23.
11. Potenza reattiva armonica e limiti del triangolo delle potenze
Per ciascuna armonica di tensione e corrente alla stessa frequenza si può introdurre, con la convenzione dell’utilizzatore:
\(Q_n=V_nI_n\sin\varphi_n\)
Per un circuito RLC lineare a ogni frequenza, \(Q_n\) descrive il contributo reattivo relativo a quella frequenza. La somma \(Q_B=\sum_{n\geq1}Q_n\) è una grandezza frequentemente associata alla definizione di potenza reattiva di Budeanu, ma non è sufficiente, da sola, a rappresentare tutti i fenomeni non attivi di un regime deformato. Esistono diverse formulazioni della teoria delle potenze non sinusoidali, adottate per obiettivi di analisi e misura differenti; le definizioni devono essere dichiarate, non mescolate.
Nel regime sinusoidale si aveva \(S^2=P^2+Q^2\). Con armoniche questa identità non è generalmente valida se \(Q\) indica semplicemente \(\sum Q_n\). È possibile introdurre una componente residua, in determinate convenzioni, mediante \(D_B^2=S^2-P^2-Q_B^2\); non bisogna però considerarla automaticamente una singola potenza fisica indipendente o attribuirle il significato del reattivo sinusoidale. Per evitare ambiguità, in questo articolo si useranno come grandezze primarie \(P\), \(V_{\mathrm{RMS}}\), \(I_{\mathrm{RMS}}\), \(S\) e \(\mathrm{FP}\), precisando le definizioni delle eventuali grandezze aggiuntive.
La disuguaglianza generale \(|P|\leq S\) deriva dalla disuguaglianza di Cauchy–Schwarz applicata alle funzioni periodiche \(v(t)\) e \(i(t)\). Essa non richiede che le forme d’onda siano sinusoidali. A seconda delle convenzioni, il rapporto \(P/S\) può essere negativo per dispositivi che erogano potenza attiva; se interessa la qualità dell’utilizzazione dal punto di vista del modulo si deve specificare \(|P|/S\).
12. Distorsione armonica totale: THD
La distorsione armonica totale confronta il valore efficace delle armoniche di ordine almeno due con il valore efficace della fondamentale, per una grandezza periodica con fondamentale non nulla:
La THD è adimensionale e viene spesso espressa in percentuale. La componente continua non rientra nel numeratore. È necessario distinguere \(\mathrm{THD}_V\) e \(\mathrm{THD}_I\), oltre a dichiarare l’intervallo di armoniche incluso nella misura: nella pratica gli strumenti misurano un numero finito di componenti e possono escludere interarmoniche e disturbi ad alta frequenza.
Se sono presenti fondamentale e armoniche ma non componente continua, vale \(X_{\mathrm{RMS}}=X_1\sqrt{1+\mathrm{THD}_x^2}\). Viceversa, la THD non dice da sola quali armoniche siano presenti, né identifica le loro fasi. Due segnali possono avere la stessa THD e produrre effetti assai diversi in un circuito selettivo o in prossimità della risonanza.
12.1 Esempio numerico: armoniche terza e quinta
Una corrente presenta \(I_1=20\,\mathrm A\), \(I_3=6\,\mathrm A\) e \(I_5=2\,\mathrm A\), senza componente continua né altre armoniche. Si ha \(I_{\mathrm{armoniche}}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\simeq6{,}325\,\mathrm A\), dunque \(\mathrm{THD}_I=\sqrt{40}/20\simeq0{,}3162=31{,}62\%\). La corrente efficace totale è \(I=\sqrt{20^2+6^2+2^2}=\sqrt{440}\simeq20{,}976\,\mathrm A\).
13. Come nascono le armoniche negli impianti reali
La presenza di armoniche può dipendere dalla forma d’onda impressa dalla sorgente, dal comportamento del carico oppure da entrambi. Un generatore elettronico può produrre intenzionalmente tensioni periodiche non sinusoidali. Un carico non lineare, invece, può assorbire una corrente deformata pur ricevendo una tensione quasi sinusoidale. Nei raddrizzatori con condensatore di livellamento, per esempio, la corrente di rete può concentrarsi in intervalli relativamente brevi attorno ai massimi della tensione, generando uno spettro di armoniche.
La non linearità si manifesta quando la caratteristica costitutiva non rispetta la proporzionalità e l’additività: \(i=f(v)\) non lineare. In tale condizione la sovrapposizione delle risposte alle singole componenti non è in generale valida all’interno del componente non lineare. Una volta nota la corrente armonica assorbita, si può però analizzare la sua propagazione in una porzione di rete lineare con metodi armonici, nel rispetto delle ipotesi.
L’impedenza delle linee e della sorgente fa sì che correnti armoniche producano cadute armoniche di tensione: pertanto una distorsione originata nel carico può comparire anche nella tensione ai morsetti di altri utilizzatori. Negli impianti trifase le armoniche hanno ulteriori conseguenze, in particolare sul neutro e sugli sfasamenti fra fasi, ma la trattazione sistematica del trifase appartiene al Blocco C.
14. Effetto pelle: origine fisica e profondità di penetrazione
14.1 Perché la densità di corrente non resta uniforme
In un conduttore percorso da corrente alternata, il campo magnetico variabile associato alla corrente genera, secondo l’induzione elettromagnetica, campi elettrici che modificano la distribuzione spaziale della corrente stessa. A frequenza sufficientemente elevata, la densità di corrente tende a essere maggiore nelle zone prossime alla superficie del conduttore e minore nelle regioni interne: è l’effetto pelle. Non significa che la corrente «corra soltanto sulla superficie» in ogni condizione; significa che la distribuzione diventa progressivamente più disuniforme con l’aumentare della frequenza e delle dimensioni caratteristiche del conduttore rispetto alla profondità di penetrazione.
14.2 Derivazione della profondità di penetrazione nel modello classico
Per un buon conduttore omogeneo, isotropo, con conducibilità \(\sigma\), permeabilità \(\mu\) costanti e regime sinusoidale, trascurando la corrente di spostamento rispetto a quella di conduzione, le equazioni di Maxwell portano, in geometria piana e nella regione conduttrice, a un’equazione diffusiva armonica per il campo. Indicando con \(z\) la profondità misurata dalla superficie, una soluzione caratteristica assume la forma:
\(J(z,t)=J_s e^{-z/\delta}\cos(\omega t-z/\delta+\theta_s)\)
Il modulo dell’ampiezza della densità di corrente diminuisce quindi di un fattore \(1/e\) a profondità \(\delta\), mentre cambia anche la fase. La profondità di penetrazione è:
La relazione mostra che \(\delta\) diminuisce al crescere della frequenza e della permeabilità e aumenta al crescere della resistività. La legge in \(1/\sqrt f\) vale a parità degli altri parametri. In materiali ferromagnetici, la permeabilità può variare fortemente con il campo e la frequenza: perciò un semplice valore costante di \(\mu\) può non descrivere il comportamento reale. Per un conduttore cilindrico di raggio comparabile con \(\delta\) serve la soluzione appropriata alla geometria cilindrica; non si deve applicare indiscriminatamente il profilo esponenziale piano.
14.3 Esempio numerico: rame alle frequenze armoniche
Si consideri rame a temperatura di riferimento, con \(\rho=1{,}724\cdot10^{-8}\,\Omega\,\mathrm m\) e \(\mu\simeq\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{H/m}\). Usando il modello classico si ottiene, a \(50\,\mathrm{Hz}\), \(\delta\simeq9{,}35\,\mathrm{mm}\); a \(150\,\mathrm{Hz}\), \(\delta\simeq5{,}40\,\mathrm{mm}\); a \(250\,\mathrm{Hz}\), \(\delta\simeq4{,}18\,\mathrm{mm}\); a \(2500\,\mathrm{Hz}\), \(\delta\simeq1{,}32\,\mathrm{mm}\). Sono valori della profondità caratteristica di penetrazione, non valori di resistenza di un filo determinato: per calcolare quest’ultima occorrono geometria e condizioni elettromagnetiche.
15. Perdite reali in presenza di armoniche
15.1 Riscaldamento Joule e resistenza efficace
In un resistore ideale a resistenza costante, la perdita Joule media è \(P_J=RI_{\mathrm{RMS}}^2\), indipendentemente dalla composizione armonica della corrente. In un conduttore reale, invece, la distribuzione non uniforme della densità di corrente dovuta all’effetto pelle e, in presenza di altri conduttori vicini, all’effetto di prossimità, può aumentare la resistenza efficace alle frequenze elevate. Il valore \(R_{\mathrm{ac},n}\) dipende allora dalla frequenza, dalla geometria, dal materiale e dalla configurazione del circuito.
Per un modello lineare passivo di conduttore che ammette una resistenza efficace distinta per ciascuna armonica, la perdita media è:
La formula discende dalla somma dei contributi medi per frequenza e dall’ortogonalità, per un modello nel quale il comportamento sia lineare e le resistenze efficaci siano definite coerentemente. Non basta conoscere soltanto la THD per stimare la perdita aggiuntiva: due spettri con uguale THD possono produrre perdite diverse se distribuiscono la corrente su frequenze alle quali le resistenze \(R_{\mathrm{ac},n}\) sono differenti.
15.2 Componenti reali e fenomeni tecnici
Nei conduttori e negli avvolgimenti, armoniche elevate possono determinare maggiore dissipazione e temperature superiori. Negli induttori reali possono inoltre contribuire a perdite nel nucleo, il cui modello dipende dal materiale magnetico, dall’induzione e dalla frequenza. Nei condensatori reali la dissipazione è influenzata dalle perdite dielettriche e dalla resistenza equivalente serie, anch’essa dipendente dalla frequenza. Non si tratta di applicare in modo indistinto una sola legge quadratica a qualunque materiale e dispositivo.
La presenza di armoniche può aggravare sollecitazioni termiche e problemi di compatibilità con le condizioni di esercizio, specialmente quando una componente si trova vicino a una frequenza di risonanza della rete. La progettazione di filtri, la verifica normativa dettagliata della qualità dell’energia e il dimensionamento degli impianti richiedono ulteriori modelli e criteri, non sviluppati qui. Il risultato fondamentale è che il valore efficace complessivo misura la sollecitazione quadratica, mentre per una stima accurata delle perdite dipendenti dalla frequenza occorre anche conoscere la distribuzione spettrale.
16. Ulteriori esempi applicativi verificati
16.1 Onda rettangolare: valore efficace e fondamentale
Per un’onda rettangolare simmetrica di ampiezza \(A=100\,\mathrm V\), il valore efficace totale è \(100\,\mathrm V\), essendo \(x^2(t)=A^2\) quasi ovunque. L’ampiezza massima della fondamentale è \(A_1=4A/\pi\simeq127{,}32\,\mathrm V\), e il suo valore efficace è \(X_1=4A/(\pi\sqrt2)\simeq90{,}03\,\mathrm V\). Non vi è contraddizione nel fatto che l’ampiezza massima della fondamentale superi \(100\,\mathrm V\): le altre armoniche concorrono alla forma d’onda risultante.
16.2 Verifica della THD dell’esempio a 230 V e 46 V
La tensione dell’esempio della sezione 5 contiene soltanto prima e terza armonica, senza componente continua. La THD di tensione è \(46/230=0{,}20=20\%\), mentre il suo valore efficace totale è \(234{,}55\,\mathrm V\). Il rapporto \(V/V_1=\sqrt{1+0{,}20^2}\simeq1{,}0198\) verifica la relazione fra THD e valore efficace.
16.3 Bilancio di potenza nel circuito RL
Riprendendo la sezione 8, la potenza media totale assorbita dal circuito è \(P\simeq1652{,}05\,\mathrm W\). La tensione efficace totale è \(V\simeq234{,}55\,\mathrm V\) e la corrente efficace totale \(I\simeq9{,}089\,\mathrm A\); di conseguenza la potenza apparente è circa \(S\simeq2131{,}8\,\mathrm{VA}\) e il fattore di potenza complessivo circa \(0{,}775\). Quest’ultimo non coincide con \(\cos38{,}15^\circ\simeq0{,}786\), relativo alla sola fondamentale. Il calcolo di \(P\) mediante \(RI^2\) fornisce una verifica indipendente.
16.4 Perdite con resistenza dipendente dalla frequenza
Una linea percorsa da \(I_1=10\,\mathrm A\) e \(I_5=3\,\mathrm A\) presenta, nel modello ipotizzato, \(R_{\mathrm{ac},1}=0{,}20\,\Omega\) e \(R_{\mathrm{ac},5}=0{,}35\,\Omega\). Le perdite sono \(P_J=0{,}20\cdot10^2+0{,}35\cdot3^2=23{,}15\,\mathrm W\). Trattando erroneamente la resistenza come invariabile e uguale a \(0{,}20\,\Omega\) per tutte le armoniche, si avrebbe \(P'_J=0{,}20(10^2+3^2)=21{,}80\,\mathrm W\), sottostimando le perdite di \(1{,}35\,\mathrm W\). I parametri di resistenza sono dati del modello numerico, non valori attribuiti a un particolare conduttore senza specificarne le caratteristiche.
17. Controllo dimensionale, ipotesi ed errori da evitare
Il periodo è misurato in secondi \(\mathrm s\), la frequenza in hertz \(\mathrm{Hz}=\mathrm{s}^{-1}\), la pulsazione in radianti al secondo, dimensionalmente \(\mathrm{s}^{-1}\) perché il radiante è adimensionale. Nelle formule di Fourier l’argomento \(n\omega_1t\) è adimensionale. Il valore efficace di una tensione si misura in volt, quello di una corrente in ampere; i coefficienti di Fourier hanno la stessa unità della grandezza analizzata.
Nell’impedenza induttiva \(\omega L\) ha dimensione di ohm perché \((\mathrm{s}^{-1})(\mathrm{V\,s/A})=\Omega\); anche \(1/(\omega C)\) è in ohm. Per la profondità di penetrazione, \(\rho/(f\mu)\) ha dimensione \(\mathrm m^2\), quindi \(\delta\) è in metri. La THD e il fattore di potenza sono numeri puri. Le grandezze \(P\) e \(S\) vengono espresse operativamente in watt e voltampere; le potenze reattive armoniche, quando definite, in var.
17.1 Errori concettuali ricorrenti
- Considerare ogni segnale periodico necessariamente sinusoidale o necessariamente a valore medio nullo.
- Confondere ampiezza massima \(A_n\) con valore efficace \(X_n=A_n/\sqrt2\).
- Sommare aritmeticamente i valori efficaci delle armoniche invece dei loro quadrati.
- Sommare fasori di frequenze differenti come se descrivessero una sola sinusoide.
- Applicare la sovrapposizione armonica direttamente a componenti non lineari.
- Calcolare la potenza totale usando esclusivamente la fondamentale, anche quando tensione e corrente hanno armoniche coincidenti ulteriori.
- Affermare \(\mathrm{FP}=\cos\varphi_1\) per qualunque forma d’onda deformata.
- Applicare sempre \(S^2=P^2+Q^2\) con una potenza reattiva sommata sulle armoniche senza dichiarare la definizione impiegata.
- Confondere THD con il rapporto fra il valore efficace totale e quello della fondamentale o includere impropriamente la componente continua nella THD convenzionale.
- Usare \(\delta\) come se fosse automaticamente la profondità oltre la quale la corrente fosse rigorosamente nulla.
- Supporre che la sola THD consenta di calcolare le perdite con effetto pelle senza conoscere le frequenze e le resistenze efficaci.
18. Esercizi progressivi con soluzioni e conclusione
Esercizio 1 — Periodo e ordine armonico
Una tensione contiene componenti sinusoidali a \(50\,\mathrm{Hz}\), \(150\,\mathrm{Hz}\) e \(350\,\mathrm{Hz}\). Determinare il periodo fondamentale della somma, gli ordini armonici e le pulsazioni.
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Le frequenze sono rispettivamente \(1f_1\), \(3f_1\) e \(7f_1\) con \(f_1=50\,\mathrm{Hz}\). Il periodo fondamentale è \(T_1=0{,}020\,\mathrm s\); le pulsazioni sono \(100\pi\), \(300\pi\) e \(700\pi\,\mathrm{rad/s}\).
Esercizio 2 — Valore efficace di forma d’onda deformata
Una corrente presenta componente continua \(I_0=2\,\mathrm A\) e armoniche di valori efficaci \(I_1=8\,\mathrm A\) e \(I_3=3\,\mathrm A\). Calcolare \(I_{\mathrm{RMS}}\) e la THD riferita alla fondamentale.
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\(I_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{2^2+8^2+3^2}=\sqrt{77}\simeq8{,}775\,\mathrm A\). La THD esclude la componente continua ed è \(3/8=0{,}375=37{,}5\%\).
Esercizio 3 — Fourier di un’onda rettangolare
Per un’onda rettangolare simmetrica di ampiezza \(A=12\,\mathrm V\), calcolare le ampiezze massime della prima, terza e quinta armonica e spiegare l’assenza della seconda.
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\(A_n=4A/(n\pi)\) per \(n\) dispari. Quindi \(A_1\simeq15{,}279\,\mathrm V\), \(A_3\simeq5{,}093\,\mathrm V\), \(A_5\simeq3{,}056\,\mathrm V\). Le armoniche pari sono nulle per la simmetria di semionda.
Esercizio 4 — Circuito RL alla quinta armonica
In un RL serie con \(R=10\,\Omega\), \(L=20\,\mathrm{mH}\) e \(f_1=50\,\mathrm{Hz}\), la quinta armonica della tensione ha valore efficace \(V_5=30\,\mathrm V\). Calcolare il modulo dell’impedenza e la corrente efficace corrispondente.
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\(X_{L,5}=2\pi\cdot250\cdot0{,}020=10\pi\simeq31{,}416\,\Omega\). Pertanto \(|Z_5|=\sqrt{10^2+31{,}416^2}\simeq32{,}970\,\Omega\) e \(I_5=30/32{,}970\simeq0{,}910\,\mathrm A\).
Esercizio 5 — Fattore di potenza con corrente deformata
Una tensione perfettamente sinusoidale alimenta una corrente senza componente continua, con \(\cos\varphi_1=0{,}90\) e \(\mathrm{THD}_I=50\%\). Determinare il fattore di potenza totale. Ripetere il calcolo se si annulla idealmente lo sfasamento della fondamentale senza modificare il contenuto armonico.
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\(\mathrm{FP}=0{,}90/\sqrt{1+0{,}50^2}\simeq0{,}805\). Eliminando lo sfasamento fondamentale, \(\mathrm{FP}=1/\sqrt{1+0{,}50^2}\simeq0{,}894\), non uno.
Esercizio 6 — Effetto pelle e frequenza
Per un buon conduttore di permeabilità e resistività considerate costanti, la profondità di penetrazione a \(50\,\mathrm{Hz}\) è \(8\,\mathrm{mm}\). Calcolarla a \(200\,\mathrm{Hz}\) e a \(800\,\mathrm{Hz}\). Indicare perché questi valori non determinano da soli la resistenza efficace di un cavo.
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Per la legge \(\delta\propto1/\sqrt f\), a \(200\,\mathrm{Hz}\) si ha \(\delta=8\sqrt{50/200}=4\,\mathrm{mm}\); a \(800\,\mathrm{Hz}\), \(\delta=8\sqrt{50/800}=2\,\mathrm{mm}\). La resistenza efficace richiede inoltre geometria del conduttore, distribuzione del campo, eventuali conduttori vicini e proprietà effettive dei materiali.
Esercizio 7 — Potenza dissipata e spettro armonico
Una linea presenta due armoniche di corrente: \(I_1=12\,\mathrm A\) e \(I_3=4\,\mathrm A\). Le resistenze efficaci sono \(R_{\mathrm{ac},1}=0{,}15\,\Omega\) e \(R_{\mathrm{ac},3}=0{,}24\,\Omega\). Calcolare la perdita media e confrontarla con quella ottenuta impiegando \(0{,}15\,\Omega\) a tutte le frequenze.
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La perdita corretta nel modello assegnato è \(P_J=0{,}15\cdot144+0{,}24\cdot16=25{,}44\,\mathrm W\). La stima a resistenza costante dà \(P'_J=0{,}15(144+16)=24{,}00\,\mathrm W\), sottostimando di \(1{,}44\,\mathrm W\).
Conclusione e collegamento alla Roadmap
La serie di Fourier trasforma il problema delle grandezze periodiche deformate in uno spettro di componenti sinusoidali e in una componente continua. L’ortogonalità consente di calcolare valori efficaci e potenze attive; la linearità e l’invarianza nel tempo permettono di analizzare separatamente la risposta alle armoniche. Questa estensione, tuttavia, non rende universalmente valide le formule monofrequenza: in presenza di distorsione il fattore di potenza totale non coincide, in generale, con il coseno dello sfasamento fondamentale, e il triangolo delle potenze sinusoidale richiede cautele concettuali.
L’analisi spettrale ha inoltre un contenuto fisico concreto: frequenze elevate possono modificare la distribuzione della corrente nei conduttori, aumentare la resistenza efficace e accentuare le perdite. Il passaggio successivo del Blocco B, nell’Articolo 25, introdurrà doppi bipoli, funzioni di rete e teorema di Miller, senza ripetere la teoria armonica qui sviluppata. Il Blocco B non è ancora concluso.
