Le grandezze sinusoidali e i fasori, studiati negli articoli precedenti, descrivono come varia una tensione o una corrente. Rimane da spiegare perché una macchina elettrica possa produrre una forza elettromotrice (f.e.m.) con quell’andamento. Il collegamento fisico è l’induzione elettromagnetica: quando cambia il flusso magnetico concatenato con un circuito, si manifesta una f.e.m. indotta. La rotazione uniforme di una spira in un campo magnetico uniforme fornisce il modello essenziale di un generatore sinusoidale.
1. Obiettivi e prerequisiti
Al termine della trattazione il lettore saprà definire il flusso concatenato, stabilire il segno della f.e.m. indotta, derivare la legge sinusoidale a partire dal moto di rotazione, verificare frequenza e ampiezza, distinguere il circuito aperto dal generatore sotto carico e spiegare la conversione di energia meccanica in energia elettrica. Sono richiesti il significato di tensione, corrente e potenza, le grandezze sinusoidali dell’Articolo 13 e le convenzioni di fase dell’Articolo 14, insieme alle nozioni di vettore, prodotto scalare e derivata.
2. Flusso magnetico attraverso una superficie orientata
Il campo magnetico è rappresentato dal vettore induzione magnetica \(\vec B\), misurato in tesla (T). A una superficie \(S\) delimitata da una spira si associa un versore normale \(\vec n\); il suo verso determina anche il verso positivo di percorrenza del contorno secondo la regola della mano destra. Il flusso magnetico attraverso la superficie orientata è definito da:
Se il campo è uniforme, la superficie è piana e \(\theta\) è l’angolo fra \(\vec B\) e \(\vec n\), l’integrale si riduce a \(\Phi_B=BS\cos\theta\). Il flusso è massimo e positivo quando la normale è parallela e concorde al campo, nullo quando la normale è perpendicolare al campo, negativo quando la normale è opposta al campo. Non basta specificare l’inclinazione del piano: l’angolo di questa formula è misurato rispetto alla normale alla superficie. L’unità SI del flusso è il weber: \(1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^2\).
3. Dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz alla f.e.m.
Per un circuito chiuso, il verso positivo della f.e.m. è associato al verso di percorrenza scelto coerentemente con la normale alla superficie. La legge di Faraday-Neumann-Lenz stabilisce che la f.e.m. indotta è l’opposto della derivata temporale del flusso concatenato:
Per una bobina composta da \(N\) spire identiche, tutte attraversate dallo stesso flusso \(\Phi_B\), il flusso concatenato è \(\Psi=N\Phi_B\), e quindi \(e(t)=-N\,d\Phi_B/dt\). Il segno meno codifica la legge di Lenz: la corrente indotta, quando può circolare, produce effetti magnetici che contrastano la variazione del flusso concatenato esterno responsabile dell’induzione, non necessariamente il flusso stesso. Se il circuito è aperto può esistere una f.e.m. indotta senza corrente di conduzione nel carico. La legge vale anche quando la variazione del flusso è dovuta al moto o alla deformazione del circuito, purché si usi correttamente il flusso attraverso la superficie mobile.
La f.e.m. ha unità di volt, poiché \(1\,\mathrm{Wb}/\mathrm{s}=1\,\mathrm{V}\). Il nome storico «forza elettromotrice» non indica una forza meccanica misurata in newton: indica lavoro per unità di carica, espresso in volt.
4. Induzione per variazione del campo e induzione di movimento
La variazione del flusso concatenato può avere cause fisiche diverse. In un circuito fermo, un campo magnetico variabile nel tempo dà origine a un campo elettrico indotto non conservativo. Per un contorno fermo \(C\), orientato coerentemente con la superficie \(S\), la legge di Maxwell-Faraday si scrive:
\(\oint_C\vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S\)
Se il circuito si muove in un campo magnetico, le cariche presenti nei conduttori subiscono anche il contributo magnetico della forza di Lorentz. Per un circuito filiforme materiale mobile \(C(t)\), la velocità \(\vec v\) rappresenta la velocità locale degli elementi del circuito. La f.e.m. totale comprende sia il contributo del campo elettrico sia quello dovuto al movimento dei conduttori nel campo magnetico. La sua relazione con la variazione del flusso vale considerando una superficie orientata che abbia come contorno il circuito mobile, con orientazioni coerenti e nelle ipotesi di validità del modello:
Qui \(\vec v\) è la velocità locale del conduttore. La circuitazione del campo elettrico su un circuito chiuso non deve essere chiamata automaticamente «differenza di potenziale»: un campo elettrico indotto può essere non conservativo. Per le bobine, la somma dei contributi dei diversi avvolgimenti porta alla derivata del flusso concatenato \(\Psi\).
5. Modello della bobina rotante
Consideriamo \(N\) spire piane di area \(S\), rigide, immerse in un campo \(\vec B\) uniforme e costante nel laboratorio. L’asse di rotazione giace nel piano delle spire ed è perpendicolare al campo. Supponiamo velocità angolare costante \(\omega_m\), flusso identico in tutte le spire e collegamenti ideali. All’istante iniziale, la normale forma l’angolo \(\theta_0\) con il campo; durante la rotazione:
\(\theta(t)=\omega_m t+\theta_0\)
Il flusso concatenato è dunque:
Il coseno non viene postulato come andamento arbitrario: deriva dalla proiezione del campo sulla normale rotante. Nelle ipotesi appena indicate, un giro meccanico corrisponde a un ciclo completo del flusso concatenato.
6. Derivazione della f.e.m. sinusoidale
Applicando Faraday-Neumann-Lenz al flusso precedente, con \(N\), \(B\), \(S\) e \(\omega_m\) costanti, si ottiene:
\(e(t)=-\frac{d}{dt}\left[NBS\cos(\omega_m t+\theta_0)\right]\)
\(e(t)=NBS\omega_m\sin(\omega_m t+\theta_0)\)
Questa è la relazione fondamentale dell’alternatore elementare. L’ampiezza dipende linearmente dal numero di spire, dall’induzione magnetica, dall’area di ciascuna spira e dalla velocità angolare. In questo modello a un solo ciclo magnetico per giro, la pulsazione elettrica \(\omega_e\) coincide numericamente con quella meccanica \(\omega_m\). Nelle macchine con \(p\) coppie polari la relazione generale è \(\omega_e=p\omega_m\); il loro studio costruttivo completo è rinviato agli articoli sulle macchine elettriche.
La fase della f.e.m. non è un parametro indipendente: una volta fissati il verso della superficie, il riferimento temporale e il verso positivo della f.e.m., deriva dall’orientazione iniziale della bobina. Cambiando uno di questi riferimenti può cambiare l’espressione algebrica della fase o il segno, senza cambiare il fenomeno fisico.
7. Rapporto fra flusso e f.e.m. lungo un giro
Per \(\theta_0=0\) e rotazione nel verso positivo scelto, il flusso segue il coseno e la f.e.m. segue il seno. All’inizio del ciclo, per \(0^\circ\), la normale è parallela al campo: il flusso è massimo positivo, la sua derivata è nulla e la f.e.m. è zero. Dopo un quarto di giro, per \(90^\circ\), il flusso attraversa lo zero diminuendo con la massima rapidità, mentre la f.e.m. raggiunge il massimo positivo. A metà giro, per \(180^\circ\), il flusso assume il valore massimo negativo e la f.e.m. torna a zero. Dopo tre quarti di giro, per \(270^\circ\), il flusso attraversa lo zero aumentando e la f.e.m. raggiunge il massimo negativo. Infine, completata la rotazione a \(360^\circ\), il ciclo si ripete.
Il punto da ricordare è che la f.e.m. dipende dalla velocità di variazione del flusso, non dal valore assoluto del flusso. Una grande quantità di flusso immutata nel tempo non produce f.e.m. per induzione.
8. Interpretazione microscopica: forza magnetica sulle cariche
Nella spira in moto, le cariche presenti nel conduttore hanno una velocità locale \(\vec v\) rispetto al campo. Il contributo magnetico alla forza di Lorentz su una carica \(q\) è \(\vec F_B=q\,\vec v\times\vec B\). Tale forza può separare le cariche e sostenere una f.e.m. lungo il percorso conduttore. In un modello di circuito mobile immerso in un campo magnetico statico, la f.e.m. motrice si può esprimere come \(e=\oint_{C(t)}(\vec v\times\vec B)\cdot d\vec l\), con orientazione e geometria coerenti.
La relazione di flusso e la descrizione attraverso la forza di Lorentz sono due modi compatibili di descrivere la stessa induzione nel caso esaminato. Non bisogna tuttavia confondere \(\vec v\times\vec B\) con un campo elettrico elettrostatico conservativo: è il contributo di forza magnetica per unità di carica nel conduttore mobile. Nel caso generale, in presenza di un campo magnetico variabile e di un circuito in movimento, la f.e.m. comprende sia il contributo del campo elettrico sia quello motore.
9. Il conduttore rettilineo mobile: dalla forza di Lorentz a Blv
Consideriamo una barra conduttrice rettilinea di lunghezza \(l\), che scorre su due guide formando un circuito chiuso. Il campo magnetico uniforme \(\vec B\) è perpendicolare al piano delle guide e la barra si muove a velocità \(\vec v\) perpendicolare al proprio asse. Le cariche nella barra risentono della forza magnetica \(\vec F_B=q\vec v\times\vec B\). La f.e.m. motrice lungo la barra ha modulo:
Lo stesso risultato segue dalla variazione dell’area concatenata: se \(S=lx\), allora \(|d\Phi_B/dt|=Bl|dx/dt|=Blv\). Il segno della f.e.m. dipende dal verso di percorrenza e dal moto effettivo. La formula \(Blv\) non vale senza le condizioni geometriche appena dichiarate; in generale occorre integrare \((\vec v\times\vec B)\cdot d\vec l\).
Esempio recuperato e verificato. Con \(B=0{,}7\,\mathrm T\), \(l=0{,}40\,\mathrm m\), \(v=25\,\mathrm{m/s}\) e resistenza totale \(R=3{,}5\,\Omega\), si ottengono \(|e|=7{,}0\,\mathrm V\), \(I=|e|/R=2{,}0\,\mathrm A\) e \(P=I^2R=14\,\mathrm W\). In assenza di perdite meccaniche, la forza resistente sulla barra vale \(F=IlB=0{,}56\,\mathrm N\) e \(Fv=14\,\mathrm W\), a conferma della conversione di potenza.
10. Verifica diretta sulla spira rettangolare rotante
La legge ottenuta dal flusso può essere ritrovata mediante la forza magnetica sui portatori. Per una spira rettangolare di lati \(l\) e \(x\), con asse di rotazione nel piano della spira, parallelo ai lati di lunghezza \(l\) e passante per il centro, i due lati attivi distano \(x/2\) dall’asse. La loro velocità è \(v=\omega_m x/2\). Con \(\theta\) misurato tra la normale alla spira e \(\vec B\), le componenti tangenziali della forza magnetica per unità di carica lungo i due lati producono contributi concordi alla circuitazione:
\(e(t)=2l v B\sin\theta=2l\frac{\omega_m x}{2}B\sin\theta\)
Per \(N\) spire identiche in serie, con flussi uguali e versi coerenti, il risultato diventa \(e(t)=NBS\omega_m\sin\theta\). È la stessa relazione dedotta mediante Faraday-Neumann-Lenz. In questa geometria non basta dire che un lato «taglia linee di campo»: contano il prodotto vettoriale e la sua componente lungo ogni tratto conduttore.
11. Frequenza, velocità e valore efficace
Nel modello elementare a una coppia polare, ogni giro completo produce un periodo: \(f=n/60\) se \(n\) è la velocità in giri al minuto, e \(\omega_m=2\pi n/60\). La frequenza elettrica di una macchina con \(p\) coppie polari è invece \(f=pn/60\). Non si deve confondere una velocità in giri/min con una pulsazione in rad/s.
Per il modello sinusoidale ideale, il valore efficace della f.e.m. è \(E=E_{\max}/\sqrt{2}\), quindi \(E=NBS\omega_m/\sqrt{2}\). Si richiama qui una relazione già dimostrata nell’Articolo 13, senza ripeterne l’integrazione. La rappresentazione fasoriale, se necessaria per un collegamento con l’Articolo 14, usa il valore efficace e la convenzione del coseno; non occorre riproporre l’algebra dei numeri complessi.
12. Il coefficiente 4,44 nella f.e.m. sinusoidale efficace
La relazione storica \(E=4{,}44fN\Phi_M\) non è una formula indipendente dalla legge di Faraday: si ricava da essa quando il flusso concatenato è sinusoidale. Sia \(\Psi(t)=\Psi_M\cos(2\pi ft)\), con \(\Psi_M=N\Phi_M\) nel caso di spire identiche attraversate dallo stesso flusso. La f.e.m. indotta è \(e(t)=2\pi f\Psi_M\sin(2\pi ft)\) e ha ampiezza \(E_{\max}=2\pi f\Psi_M\).
Consideriamo il primo quarto di periodo, durante il quale il flusso concatenato diminuisce dal valore massimo positivo \(\Psi_M\) a zero. Per la convenzione adottata, la f.e.m. indotta è positiva in questo intervallo e il suo valore medio si ricava dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz. Questo valore non va confuso con la media algebrica della f.e.m. sull’intero periodo, che per una sinusoide è nulla. Sul quarto di periodo considerato si ottiene:
\(E_{\mathrm{med},T/4}=\frac{\Psi_M}{T/4}=4f\Psi_M\)
Per una sinusoide, la media del modulo in un quarto di periodo vale \((2/\pi)E_{\max}\). Da questa relazione si ritrova \(E_{\max}=2\pi f\Psi_M\). Dividendo per \(\sqrt 2\) si ottiene il valore efficace:
Il coefficiente \(4{,}44\) è un arrotondamento di \(2\pi/\sqrt 2\). Se il flusso non è sinusoidale, oppure le spire non concatenano flussi identici, questa forma semplificata richiede modifiche: nei generatori reali intervengono anche distribuzione spaziale del campo e fattori di avvolgimento, riservati allo studio successivo delle macchine.
Collegamento con l’autoinduzione. In un circuito magneticamente lineare, a induttanza costante, \(\Psi=Li\). Se la corrente è sinusoidale, il modulo efficace della f.e.m. autoindotta è \(E=\omega LI\). Con \(f=50\,\mathrm{Hz}\), \(L=0{,}200\,\mathrm H\) e corrente efficace \(I=0{,}060\,\mathrm A\), si ottiene \(E=2\pi\cdot50\cdot0{,}200\cdot0{,}060\simeq3{,}77\,\mathrm V\). È un collegamento con l’induzione, non ancora la trattazione completa del bipolo induttivo dell’Articolo 16.
13. Esempio numerico con controllo delle unità
Una bobina ideale di \(N=200\) spire, area per spira \(S=0{,}010\,\mathrm{m}^2\), ruota in un campo uniforme \(B=0{,}50\,\mathrm T\) alla velocità di \(n=1500\,\mathrm{giri/min}\), con una coppia polare equivalente. Determiniamo pulsazione, frequenza, flusso concatenato massimo, f.e.m. massima ed efficace.
\(f=\frac{1500}{60}=25\,\mathrm{Hz};\qquad \omega_m=2\pi f=50\pi\,\mathrm{rad/s}\)
\(\Psi_{\max}=NBS=200\cdot0{,}50\cdot0{,}010=1{,}00\,\mathrm{Wb}\)
\(E_{\max}=\Psi_{\max}\omega_m=50\pi\,\mathrm V\simeq157{,}08\,\mathrm V\)
\(E=\frac{50\pi}{\sqrt 2}\,\mathrm V\simeq111{,}07\,\mathrm V\)
Il controllo dimensionale conferma \((\mathrm{T}\,\mathrm{m}^2)(\mathrm{s}^{-1})=\mathrm{Wb/s}=\mathrm V\). Questi risultati descrivono una f.e.m. ideale indotta, non garantiscono una tensione identica al carico di un alternatore reale.
14. Dalla bobina all’alternatore elementare
Il generatore elementare comprende il sistema magnetico che realizza il campo, la bobina rotante e un collegamento elettrico con l’esterno. Due anelli di contatto separati, ciascuno connesso permanentemente a un capo della bobina, e due spazzole consentono il prelievo della f.e.m. alternata. Gli anelli non rettificano il segnale: la polarità ai morsetti esterni si inverte ogni mezzo periodo. Non devono essere confusi con il collettore a lamelle usato nelle macchine a corrente continua.
La bobina rotante con anelli e spazzole è un modello didattico. Nelle grandi macchine sincrone industriali la struttura più comune prevede invece avvolgimenti d’armatura fissi nello statore e un sistema di eccitazione rotante: la variazione del flusso concatenato dalle fasi statoriche genera comunque f.e.m. alternate. I dettagli costruttivi e la reazione d’indotto appartengono all’Articolo 47.
15. Circuito aperto, circuito chiuso e corrente alternata
Una f.e.m. alternata non implica automaticamente una corrente alternata. Se i morsetti sono aperti, non scorre corrente nel carico esterno. Nel modello a vuoto ideale, la tensione ai morsetti può essere identificata, con polarità opportunamente fissate, con la f.e.m. generata. Se si connette un carico, la corrente dipende dalle proprietà del carico e dalle caratteristiche interne del generatore: non può essere dedotta dalla sola legge di Faraday.
Per mostrare il passaggio senza anticipare la teoria dei bipoli in regime sinusoidale, consideriamo soltanto un carico resistivo ideale \(R\) collegato a una sorgente sinusoidale ideale: \(i(t)=e(t)/R\). La corrente è sinusoidale e, con riferimenti coerenti, in fase con la tensione del carico. Per carichi induttivi, capacitivi e per generatori reali occorre invece l’analisi successiva.
16. Energia e legge di Lenz
Se il generatore eroga energia al carico, occorre fornire lavoro meccanico al sistema rotante. La corrente indotta interagisce con il campo magnetico e produce, nel normale funzionamento da generatore, una coppia elettromagnetica resistente: senza l’azione del motore primo il rotore rallenterebbe. Nel modello ideale privo di perdite, il bilancio energetico deve tenere conto anche dell’eventuale variazione dell’energia immagazzinata nel sistema. In regime periodico stazionario, quando l’energia immagazzinata ritorna allo stesso valore dopo ogni periodo, la potenza meccanica media fornita all’albero coincide con la potenza elettrica media trasferita al circuito. In una macchina reale occorre inoltre considerare le perdite elettriche, magnetiche e meccaniche.
Il campo magnetico rende possibile il processo di conversione, ma non costituisce da solo una sorgente inesauribile di energia. La descrizione quantitativa generale delle potenze in regime sinusoidale e delle macchine sarà sviluppata negli articoli specifici della Roadmap.
17. Ipotesi, limiti e casi non sinusoidali
La legge \(e(t)=NBS\omega_m\sin(\omega_m t+\theta_0)\) presuppone campo uniforme e costante, bobina piana rigida, rotazione uniforme, geometria ideale e flusso concatenato sinusoidale. La legge di Faraday rimane valida anche oltre tali ipotesi, ma il risultato può non essere una sinusoide pura. Variazioni di velocità, non uniformità del campo, distribuzioni spaziali non sinusoidali, saturazione e particolarità costruttive possono generare deformazioni e armoniche. Lo studio sistematico delle armoniche è riservato all’Articolo 24.
Il modello non determina da solo la tensione effettiva sotto carico, la regolazione, il rendimento, la corrente di cortocircuito né le caratteristiche costruttive delle macchine reali. Non è corretto attribuirgli queste capacità predittive.
18. Errori concettuali da evitare
- Confondere il valore del flusso con la sua derivata: f.e.m. massima non significa flusso massimo.
- Misurare l’angolo del coseno rispetto al piano anziché rispetto alla normale, senza cambiare la funzione trigonometrica.
- Attribuire al segno meno di Lenz il significato di una f.e.m. sempre negativa.
- Identificare f.e.m., tensione ai morsetti e corrente sotto qualsiasi condizione.
- Usare \(f=n/60\) per una macchina con più di una coppia polare.
- Confondere gli anelli di contatto con il collettore a lamelle.
- Credere che la tensione sia sempre sinusoidale anche quando flusso o velocità non lo sono.
- Affermare che l’energia elettrica sia prodotta dal nulla oppure fornita indefinitamente dal campo magnetico statico.
19. Verifiche guidate
Verifica A. Se il numero di spire raddoppia mentre gli altri parametri restano costanti, come cambia il picco della f.e.m.? Risposta: raddoppia.
Verifica B. Se la velocità raddoppia nel modello elementare, cosa succede a frequenza e ampiezza? Risposta: entrambe raddoppiano, a \(N\), \(B\) e \(S\) costanti.
Verifica C. Il flusso concatenato è costante e diverso da zero: qual è la f.e.m. indotta? Risposta: zero, perché \(d\Psi/dt=0\).
Verifica D. Una macchina ha quattro poli e ruota a \(1500\,\mathrm{giri/min}\). Qual è la frequenza della f.e.m. fondamentale? Risposta: quattro poli significano due coppie polari, quindi \(f=2\cdot1500/60=50\,\mathrm{Hz}\).
20. Sintesi e continuità del percorso
La rotazione meccanica di una bobina in un campo magnetico uniforme trasforma una variazione geometrica dell’orientazione in una variazione periodica del flusso concatenato. La derivata temporale del flusso, secondo Faraday-Neumann-Lenz, produce una f.e.m. sinusoidale. Le sue caratteristiche discendono da grandezze fisiche misurabili: numero di spire, area, induzione magnetica e velocità di rotazione. L’alternatore elementare fornisce quindi il ponte fra l’elettromagnetismo e le sorgenti sinusoidali impiegate nell’analisi circuitale. Il passo successivo sarà studiare come resistore, induttore e condensatore rispondono a un’alimentazione sinusoidale, senza confondere il meccanismo di generazione con le leggi costitutive dei carichi.
