Esercizio 10 -

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Esercizio 10

Sopra un conduttore di resistenza trascurabile si fa scorrere senza interruzione di contatto una bacchetta di lunghezza $l = 2 \, \text{cm}$ e resistenza $R = 10 \, \Omega$ vi è la presenza di un campo magnetico $B = 50 \, \text{mT}$ perpendicolare al piano in cui giace il circuito.
La bacchetta oscilla nella direzione dell’asse $x$ con legge:
$x(t) = x_0 + A \sin(\omega t)$ , con $x_0 = 10 \, \text{cm}$ , $A = 5 \, \text{cm}$ , e periodo $T = 10 \, \text{s}$ .Trovare l’espressione del flusso magnetico in funzione del tempo $t$ e calcolare la corrente circolante nel circuito nel tempo.

Soluzione

Il flusso concatenato è:

$\phi(t) = B \cdot l \cdot x(t) = B l (x_0 + A \sin(\omega t)) = B l x_0 + B l A \sin(\omega t)$

Sostituendo i valori:

$\phi(t) = 5 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot (10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} \sin(\omega t)) = \left[1 + 0{,}5 \sin\left( \frac{\pi}{5} t \right)\right] \cdot 10^{-6} \, \text{Wb}$

Poiché $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$ , allora:

$\phi(t) = \left[ 1 + 0{,}5 \sin\left( \frac{\pi}{5} t \right) \right] \cdot 10^{-6} \, \text{Wb}$

La f.e.m. si ottiene derivando il flusso:

$E(t) = - \frac{d\phi(t)}{dt} = -10^{-6} \cdot 0{,}5 \cdot \frac{\pi}{5} \cos\left( \frac{\pi}{5} t \right) = -\pi \cdot 10^{-7} \cos\left( \frac{\pi}{5} t \right) \, \text{V}$

Infine, la corrente nel circuito è:

$I(t) = \frac{E(t)}{R} = \frac{\pi \cdot 10^{-7}}{10} \cos\left( \frac{\pi}{5} t \right) = \pi \cdot 10^{-8} \cos\left( \frac{\pi}{5} t \right) \, \text{A}$

Risultati finali:

Flusso magnetico: $\phi(t) = \left[ 1 + 0{,}5 \sin\left( \frac{\pi}{5} t \right) \right] \cdot 10^{-6} \, \text{Wb}$
f.e.m. indotta: $E(t) = -\pi \cdot 10^{-7} \cos\left( \frac{\pi}{5} t \right) \, \text{V}$
Corrente: $I(t) = \pi \cdot 10^{-8} \cos\left( \frac{\pi}{5} t \right) \, \text{A}$

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Soluzione

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