Esercizio 20

Una barretta conduttrice di lunghezza l = 10\,\text{cm} , massa m = 25\,\text{g} e resistenza elettrica R = 0{,}3\,\Omega ha le estremità incernierate a due guide parallele di resistenza trascurabile e disposte verticalmente, e può scorrere senza attrito mantenendosi perpendicolare ad esse.
Gli estremi inferiori delle guide sono collegati ai poli di una pila di forza elettromotrice E = 6\,\text{V} e il circuito si trova immerso in un campo magnetico uniforme di induzione magnetica perpendicolare al piano del circuito e modulo B = 8 \cdot 10^3\,\text{G} = 0{,}8\,\text{T} .

  1. Trovare l’equazione del moto della barretta.
  2. Determinare la velocità della barretta in funzione del tempo se all’istante t = 0 viene lasciata libera di muoversi con velocità iniziale nulla.
  3. Determinare il valore che dovrebbe avere B affinché la barretta resti in equilibrio.

Soluzione

a) Equazione del moto

Applichiamo la seconda legge di Newton lungo la direzione verticale z . La corrente nel circuito è data da:

i = \frac{E - v l B}{R}

La forza di Lorentz sulla barretta è:

F = i l B = \frac{l B (E - v l B)}{R}

La seconda legge di Newton diventa:

m \frac{d^2 z}{dt^2} = -mg + \frac{l B (E - v l B)}{R}

Riordinando:

m \frac{d^2 z}{dt^2} + \frac{l^2 B^2}{R} \frac{dz}{dt} = -mg + \frac{l B E}{R}

b) Velocità della barretta in funzione del tempo

Sia v(t) = \frac{dz}{dt} . L’equazione differenziale è del primo ordine e si può risolvere per separazione delle variabili. La soluzione è:

v(t) = \frac{R}{l^2 B^2} \left( -mg + \frac{l B E}{R} \right) \left[ 1 - \exp\left( -\frac{l^2 B^2}{m R} t \right) \right]

c) Condizione di equilibrio

Affinché la barretta resti in equilibrio (cioè v(t) = 0 per ogni t ), la forza peso deve bilanciare la forza magnetica. Poniamo:

-mg + \frac{l B E}{R} = 0

Da cui otteniamo:

B = \frac{mg R}{l E}

Sostituendo i dati:

B = \frac{0{,}025 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}3}{0{,}1 \cdot 6} = 0{,}06125\,\text{T} \approx 0{,}06\,\text{T}

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