Dei protoni in un ciclotrone, immediatamente prima di uscire, percorrono un cerchio di raggio:
\( R = 0{,}4 \, \text{m} \)La frequenza angolare del potenziale alternato applicato tra gli elettrodi è:
\( \omega = 10^7 \, \text{rad/s} \)Dati noti:
- \( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \) (carica del protone)
- \( m = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \) (massa del protone)
Domande:
- Determina il campo magnetico \( B \)
- Calcola la velocità dei protoni \( v \)
- Calcola l’energia cinetica dei protoni \( E_c \)
Soluzioni:
a) Campo magnetico
Nel ciclotrone, la frequenza angolare è legata al campo magnetico da:
\( \omega = \frac{qB}{m} \quad \Rightarrow \quad B = \frac{m \omega}{q} \)Sostituendo:
\( B = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^7}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} = 0{,}1044 \, \text{T} \)Risultato: \( \boxed{B = 0{,}1044 \, \text{T}} \)
b) Velocità dei protoni
\( v = \omega R = 10^7 \cdot 0{,}4 = 4{,}0 \cdot 10^6 \, \text{m/s} \)Risultato: \( \boxed{v = 4{,}0 \cdot 10^6 \, \text{m/s}} \)
c) Energia cinetica
\( E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot (4{,}0 \cdot 10^6)^2 \) \( E_c = 1{,}336 \cdot 10^{-14} \, \text{J} \)Risultato: \( \boxed{E_c = 1{,}33 \cdot 10^{-14} \, \text{J}} \)
Risposte finali:
- \( B = 0{,}1044 \, \text{T} \)
- \( v = 4{,}0 \cdot 10^6 \, \text{m/s} \)
- \( E_c = 1{,}33 \cdot 10^{-14} \, \text{J} \)