Un fascio collimato di particelle alfa con massa \(m = 6{,}64 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\) e carica \(q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{C}\), emesso da una sorgente S con velocità \(v = 6{,}74 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}\), entra in un recipiente cilindrico vuoto di raggio \(R = 0{,}10\,\text{m}\) in cui è presente un campo magnetico uniforme \(\vec{B}\) diretto lungo l’asse del cilindro.
Calcolare l’intensità minima del campo magnetico affinché le particelle non urtino le pareti, sapendo che il fascio viene iniettato con un angolo \(\theta = 45^\circ\) rispetto all’asse.
Esercizio 9: soluzione
1. Decomposizione della velocità
\(v_\perp = v \sin\theta
= 6{,}74 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}\;
\frac{\sqrt{2}}{2}
= 4{,}76 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}\)
2. Condizione di moto circolare uniforme sul piano ortogonale all’asse
\(
F = m a_c = m\frac{v_\perp^2}{R},
\qquad
F = q v_\perp B
\)
Uguagliando le due espressioni della forza si ricava:
\(
m\frac{v_\perp^2}{R} = q v_\perp B
\;\Longrightarrow\;
B = \frac{m\,v_\perp}{q\,R}
\)
3. Calcolo numerico
\(
B =
\frac{6{,}64 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\;
\cdot 4{,}76 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}}
{3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{C}\;
\cdot 0{,}10\,\text{m}}
= 0{,}098\,\text{T}
\)
Risultato: il campo magnetico deve avere intensità
\(B_{\min} \approx 9,8 \times 10^{-2}\,\text{T}\)per impedire alle particelle alfa di urtare le pareti del cilindro.