Esercizio 9

Un fascio collimato di particelle alfa con massa m = 6{,}64 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} e carica q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{C}, emesso da una sorgente S con velocità v = 6{,}74 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}, entra in un recipiente cilindrico vuoto di raggio R = 0{,}10\,\text{m} in cui è presente un campo magnetico uniforme \vec{B} diretto lungo l’asse del cilindro.
Calcolare l’intensità minima del campo magnetico affinché le particelle non urtino le pareti, sapendo che il fascio viene iniettato con un angolo \theta = 45^\circ rispetto all’asse.

Esercizio 9: soluzione

1. Decomposizione della velocità

v_\perp = v \sin\theta = 6{,}74 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}\; \frac{\sqrt{2}}{2} = 4{,}76 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}

2. Condizione di moto circolare uniforme sul piano ortogonale all’asse

F = m a_c = m\frac{v_\perp^2}{R}, \qquad F = q v_\perp B

Uguagliando le due espressioni della forza si ricava:

m\frac{v_\perp^2}{R} = q v_\perp B \;\Longrightarrow\; B = \frac{m\,v_\perp}{q\,R}

3. Calcolo numerico

B = \frac{6{,}64 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\; \cdot 4{,}76 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}} {3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{C}\; \cdot 0{,}10\,\text{m}} = 0{,}098\,\text{T}

Risultato: il campo magnetico deve avere intensità

B_{\min} \approx 9,8 \times 10^{-2}\,\text{T}

per impedire alle particelle alfa di urtare le pareti del cilindro.

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