Un tubo di lunghezza \(L = 175 \, \text{cm} = 0{,}175 \, \text{m}\), con sezione rettangolare di lati \(25 \times 40 \, \text{mm}\), è immerso in un campo magnetico uniforme \(B = 7{,}5 \, \text{mT}\), parallelo al suo asse.
Protoni generati da un campo elettrico entrano nel tubo in corrispondenza del suo centro, con velocità che forma un angolo di \(45^\circ\) rispetto all’asse del tubo.
A. Determina l’intensità massima della velocità \(v\) affinché i protoni restino confinati all’interno del tubo.
B. Calcola il tempo minimo necessario per attraversare il tubo.
Esercizio 10: soluzione
Il moto dei protoni è elicoidale.
Affinché restino nel tubo, il raggio dell’elica \(r\) deve essere al massimo pari al semilato minimo della sezione, ovvero \(25 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\).
1. Calcolo della velocità trasversa massima
Poiché \(r = \frac{m v_\perp}{qB}\) e quindi \(v_\perp = \frac{qBr}{m}\):
\(
v_\perp =
\frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 7{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 25 \cdot 10^{-3}}
{1{,}67 \cdot 10^{-27}}
\simeq 1{,}8 \cdot 10^4 \, \text{m/s} = 18{,}000 \, \text{m/s}
\)
2. Componente parallela e velocità totale
Poiché \(\theta = 45^\circ\), le componenti della velocità soddisfano \(v_\perp = v_\parallel = v_x = v_y\):
\(
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} =
\sqrt{18^2 + 18^2} = 25{,}455 \, \text{m/s}
\)
3. Tempo minimo di attraversamento del tubo
\(
t = \frac{L}{v_x} =
\frac{0{,}175}{24{,}455} =
6{,}87 \cdot 10^{-6} \, \text{s}
\)
Risultati finali:
- Velocità massima:
\(v = 25{,}455 \, \text{m/s}\) - Tempo minimo di attraversamento:
\(t = 6{,}87 \cdot 10^{-6} \, \text{s}\)