Esercizio 40

Nello schema disegnato la lunghezza è: a = 4{,}7 \, \text{cm} mentre la corrente è: i = 13 \, \text{A} Calcola il modulo, la direzione e il verso del campo magnetico nel punto P.
Soluzione

I tratti collineari al punto P non danno contributo. Bisogna considerare i segmenti perpendicolari e applicare la legge di Biot–Savart: dB = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \cdot \frac{\sin \theta}{r^2} \, dx

Per il tratto orizzontale di lunghezza a distante a , si ha:

r = \sqrt{x^2 + a^2}, \quad \sin \theta = \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}} \Rightarrow dB = \frac{\mu_0 i a}{4\pi (x^2 + a^2) \sqrt{x^2 + a^2}} \, dx

Integrando da x = -a a x = 0 : B = \frac{\mu_0 i a}{4\pi} \int_{-a}^{0} \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi a \sqrt{2}}

Allo stesso modo per il tratto di lunghezza 2a a distanza 2a : B = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{8\pi (2a)} = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{16\pi a}

I due tratti più lunghi producono un campo uscente, quelli corti entrante. La risultante: B = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{8\pi a} - 2 \cdot \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{16\pi a} = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{8\pi a}

Sostituendo:

B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 13 \cdot \sqrt{2}}{8\pi \cdot 0{,}047} \approx 2 \cdot 10^{-5} \, \text{T}

Conclusione: Il campo magnetico nel punto P ha modulo 2 \cdot 10^{-5} \, \text{T} ed è diretto **uscente dalla pagina**.

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