Trova il valore del campo magnetico nel punto P, a distanza \( R = 13{,}1 \, \text{cm} \) sulla perpendicolare bisettrice di un filo diritto di lunghezza \( L = 18 \, \text{cm} \) percorso da una corrente \( i = 58{,}2 \, \text{mA} \).
Soluzione
Si applica la legge di Biot-Savart:
\( dB = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \cdot \frac{\sin \theta}{r^2} \, dx \)Ponendo:
\(\begin{cases}
r = \sqrt{x^2 + R^2} \\
\sin \theta = \frac{R}{r} = \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}
\end{cases}
\)
Si ha quindi:
\( dB = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \cdot \frac{R}{(x^2 + R^2) \sqrt{x^2 + R^2}} \, dx \)L’integrale si calcola tra
\( x = - \frac{L}{2} \) e
\( x = \frac{L}{2} \).
B = \frac{\mu_0 i R}{4 \pi} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}
= \frac{\mu_0 i}{4 \pi R^2} \left[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} \right]_{-L/2}^{L/2}
\) \(
B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} \cdot \frac{L}{\sqrt{L^2 + 4R^2}}
\)
Sostituendo i valori numerici:
\(B = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}0582}{2 \pi \cdot 0{,}131}
\cdot \frac{0{,}18}{\sqrt{0{,}18^2 + 4 \cdot 0{,}131^2}}
= 5{,}03 \cdot 10^{-8} \, \text{T}
\)
Il campo magnetico nel punto
P ha intensità
\( B = 5{,}03 \cdot 10^{-8} \, \text{T} \)
ed è diretto perpendicolarmente al piano del filo,
secondo la regola della mano destra.