L’interruttore \(\( T \)\) del disegno viene chiuso a tempo \(\( t = 0 \)\), per iniziare a caricare un condensatore di capacità \(\( C = 15\,\mu\text{F} \)\), inizialmente scarico, attraverso una resistenza \(\( R = 20\,\Omega \)\).
Domanda:
Dopo quanto tempo il potenziale ai capi del condensatore è uguale a quello sulla resistenza?
Soluzione
Il requisito indicato nel problema è che la tensione del resistore sia uguale alla tensione del condensatore, che si carica con legge:
\(v_C(t) = E \left(1 - e^{-t/\tau} \right)
\)
Dobbiamo trovare l’istante \(\( t \)\) tale che:
\(v_R = v_C(t)
\)
Ma:
\(v_R = E - v_C(t) = E - E(1 - e^{-t/\tau}) = E e^{-t/\tau}
\)
Quindi:
\(E e^{-t/\tau} = E (1 - e^{-t/\tau})
\) \(
2 E e^{-t/\tau} = E \Rightarrow e^{-t/\tau} = \frac{1}{2}
\) \(
\Rightarrow -\frac{t}{\tau} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow t = -\tau \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \tau \ln 2
\)
Poiché:
\(\tau = R C = 20 \cdot 15 \cdot 10^{-6} = 3 \cdot 10^{-4} = 0{,}0003\,\text{s}
\) \(
t = \tau \ln 2 = 0{,}0003 \cdot \ln 2 \approx 0{,}000208\,\text{s}
\)
Risultato:
\(t \approx 0{,}208\,\text{ms}
\)