Esercizio n°4

L’interruttore $T$ del disegno viene chiuso a tempo $t = 0$ , per iniziare a caricare un condensatore di capacità $C = 15\,\mu\text{F}$ , inizialmente scarico, attraverso una resistenza $R = 20\,\Omega$ .

Domanda:
Dopo quanto tempo il potenziale ai capi del condensatore è uguale a quello sulla resistenza?

Soluzione

Il requisito indicato nel problema è che la tensione del resistore sia uguale alla tensione del condensatore, che si carica con legge:

$v_C(t) = E \left(1 - e^{-t/\tau} \right)$

Dobbiamo trovare l’istante $t$ tale che:

$v_R = v_C(t)$

Ma:

$v_R = E - v_C(t) = E - E(1 - e^{-t/\tau}) = E e^{-t/\tau}$

Quindi:

$E e^{-t/\tau} = E (1 - e^{-t/\tau})$

$2 E e^{-t/\tau} = E \Rightarrow e^{-t/\tau} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow -\frac{t}{\tau} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow t = -\tau \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \tau \ln 2$

Poiché:

$\tau = R C = 20 \cdot 15 \cdot 10^{-6} = 3 \cdot 10^{-4} = 0{,}0003\,\text{s}$

$t = \tau \ln 2 = 0{,}0003 \cdot \ln 2 \approx 0{,}000208\,\text{s}$

Risultato:

$t \approx 0{,}208\,\text{ms}$

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