Ven. Lug 11th, 2025

Esercizio n.8

Nel circuito di figura, determinare l’andamento della tensione ai capi della coppia dei condensatori, sapendo che all’istante $t = 0$ in cui viene chiuso $T$ , i condensatori sono carichi alla tensione $V_0 = -10\,\text{V}$ .
Calcolare in quanto tempo la tensione $v_C$ si porta a 0 V.

$\begin{aligned} E &= 20\,\text{V} \\ R_1 &= 1\,\text{k}\Omega \\ R_2 &= 3\,\text{k}\Omega \\ C_1 &= 100\,\text{nF} \\ C_2 &= 60\,\text{nF} \end{aligned}$

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Soluzione

I due condensatori in parallelo equivalgono ad un unico condensatore:

$C = C_1 + C_2 = 160\,\text{nF}$

A monte del deviatore $T$ , il circuito può essere semplificato col teorema di Thevenin.

Il generatore equivalente vale:

$E_q = E \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 20 \cdot \frac{3}{4} = 15\,\text{V}$

La resistenza equivalente vale:

$R_q = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \cdot 3}{4} = 0{,}75\,\text{k}\Omega$

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A questo punto il circuito diventa:

Schema circuito con Rq e Eq

Dobbiamo pensare che a regime il condensatore $C$ si carichi alla tensione del generatore $E$ , quindi:

$v_f = E, \quad v_i = V_0$

Il fenomeno del transitorio di accensione è regolato dall’equazione:

$v_C(t) = v_f - (v_f - v_i) e^{-t / (R_q C)} = E - (E - V_0) e^{-t / (R_q C)}$

Per trovare il tempo $t_z$ in cui $v_C(t_z) = 0$ , risolviamo:

$0 = E - (E - V_0) e^{-t_z / (R_q C)}$

$(E - V_0) e^{-t_z / (R_q C)} = E \Rightarrow e^{-t_z / (R_q C)} = \frac{E}{E - V_0}$

Applicando il logaritmo:

$- \frac{t_z}{R_q C} = \ln\left( \frac{E}{E - V_0} \right) \Rightarrow t_z = -R_q C \cdot \ln\left( \frac{E}{E - V_0} \right)$

Sostituendo i valori:

$t_z = -0{,}75 \cdot 10^3 \cdot 160 \cdot 10^{-9} \cdot \ln\left( \frac{15}{15 + 10} \right)$

$t_z = -120 \cdot 10^{-6} \cdot \ln\left( \frac{15}{25} \right) = 61{,}3\,\mu\text{s}$

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