Esercizio n.8

Nel circuito di figura, determinare l’andamento della tensione ai capi della coppia dei condensatori, sapendo che all’istante \( t = 0 \) in cui viene chiuso \( T \), i condensatori sono carichi alla tensione \( V_0 = -10\,\text{V} \).
Calcolare in quanto tempo la tensione \( v_C \) si porta a 0 V.

\begin{aligned} E &= 20\,\text{V} \\ R_1 &= 1\,\text{k}\Omega \\ R_2 &= 3\,\text{k}\Omega \\ C_1 &= 100\,\text{nF} \\ C_2 &= 60\,\text{nF} \end{aligned}

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Soluzione

I due condensatori in parallelo equivalgono ad un unico condensatore:

C = C_1 + C_2 = 160\,\text{nF}

A monte del deviatore \( T \), il circuito può essere semplificato col teorema di Thevenin.

Il generatore equivalente vale:

E_q = E \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 20 \cdot \frac{3}{4} = 15\,\text{V}

La resistenza equivalente vale:

R_q = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \cdot 3}{4} = 0{,}75\,\text{k}\Omega

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A questo punto il circuito diventa:

Schema circuito con Rq e Eq

Dobbiamo pensare che a regime il condensatore \( C \) si carichi alla tensione del generatore \( E \), quindi:

v_f = E, \quad v_i = V_0

Il fenomeno del transitorio di accensione è regolato dall’equazione:

v_C(t) = v_f - (v_f - v_i) e^{-t / (R_q C)} = E - (E - V_0) e^{-t / (R_q C)}

Per trovare il tempo \( t_z \) in cui \( v_C(t_z) = 0 \), risolviamo:

0 = E - (E - V_0) e^{-t_z / (R_q C)}

(E - V_0) e^{-t_z / (R_q C)} = E \Rightarrow e^{-t_z / (R_q C)} = \frac{E}{E - V_0}

Applicando il logaritmo:

- \frac{t_z}{R_q C} = \ln\left( \frac{E}{E - V_0} \right) \Rightarrow t_z = -R_q C \cdot \ln\left( \frac{E}{E - V_0} \right)

Sostituendo i valori:

t_z = -0{,}75 \cdot 10^3 \cdot 160 \cdot 10^{-9} \cdot \ln\left( \frac{15}{15 + 10} \right)

t_z = -120 \cdot 10^{-6} \cdot \ln\left( \frac{15}{25} \right) = 61{,}3\,\mu\text{s}

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