Esercizio n°3

Nel circuito indicato si ha:

$\begin{aligned} E &= 5\,\text{V} \\ V_0 &= 10\,\text{V} \\ R &= 10\,\text{k}\Omega \\ C &= 1\,\mu\text{F} \end{aligned}$

Gli eventi si succedono nel seguente ordine di tempo:
al tempo $t = 0$ si chiude il tasto T,
al tempo $t = 20\,\text{ms}$ si apre il tasto T.

Determina $v_C(t) \), $ v_R(t)$ e la $corrente \( i(t) $$ , disegnandone i diagrammi.

Soluzione

Dal circuito si vede come il condensatore carico per $t = 0$ ad una tensione iniziale $V_i = 10\,\text{V}$ debba scaricarsi per $t \to \infty$ ad una tensione $V_f = -5\,\text{V}$ .

La formula generale:

$v_C(t) = V_f - (V_f - V_i) e^{-t/\tau}$

Sostituendo i valori:

$v_C(t) = -5 - (-5 - 10) e^{-t/\tau} = -5 + 15 e^{-t/\tau}$

$\tau = R C = 10^4 \cdot 1 \cdot 10^{-6} = 10\,\text{ms}$

$v_C(0) = 10\,\text{V}$

$v_C(20\,\text{ms}) = -5 + 15\,e^{-20/10} = -5 + 15\,e^{-2} \approx -2{,}97\,\text{V}$

—

La tensione ai capi della resistenza è:

$v_R(t) = (V_f - V_i) e^{-t/\tau} = (-5 - 10) e^{-t/\tau} = -15 e^{-t/\tau}$

Valori notevoli:

$\begin{cases} t = 0 &\Rightarrow v_R = -15 e^0 = -15\,\text{V} \\ t = 20\,\text{ms} &\Rightarrow v_R = -15 e^{-2} \approx -2{,}03\,\text{V} \end{cases}$

—

Applicando la legge di Ohm:

$i(t) = \frac{v_R(t)}{R}$

$\begin{cases} t = 0 &\Rightarrow i = \frac{-15}{10^4} = -1{,}5\,\text{mA} \\ t = 20\,\text{ms} &\Rightarrow i = \frac{-2{,}03}{10^4} = -0{,}203\,\text{mA} \end{cases}$

—

Andamenti temporali:

vc(t): da 10 V scende esponenzialmente fino a -5 V, raggiungendo circa -2,97 V a $t = 20\,\text{ms}$
vR(t): da -15 V a circa -2,03 V
i(t): da -1,5 mA a -0,203 mA

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