Esercizio n°10

Il condensatore $C$ è carico alla tensione $V_{co} = 50\,\text{V}$ con la polarità indicata, mentre gli interruttori sono aperti.
All’istante $t = 0$ viene chiuso $T_1$ , quindi dopo 20 ms viene chiuso $T_2$ .
Calcola il valore della tensione $V_{AB}$ dopo 30 ms dal tempo $t = 0$ .

$\begin{aligned} E &= 80\,\text{V} \\ R_1 &= 10\,\text{k}\Omega \\ R_2 &= 20\,\text{k}\Omega \\ R_3 &= 30\,\text{k}\Omega \\ V_{co} &= 50\,\text{V} \\ C &= 1\,\mu\text{F} \end{aligned}$

Soluzione

Dall’istante $t = 0$ all’istante $t = 20\,\text{ms}$ , il condensatore si scarica attraverso la serie delle resistenze $R_2 \) ed \( R_3$ :

$i(t) = \frac{V_{co}}{R_2 + R_3} e^{-t/(RC)} = \frac{50}{50 \cdot 10^3} e^{-t/0{,}05} = 1\,\text{mA} \cdot e^{-t/0{,}05}$

Quindi:

$V_{AB}(t) = i(t) \cdot R_3 = 30\,\text{k}\Omega \cdot i(t)$

$A\ \ $ t_0 = 20\,\text{ms} $$ :

$V_{AB}(t_0) = 30 \cdot 10^3 \cdot 1 \cdot e^{-0{,}02/0{,}05} = 20\,\text{V}$

$A\ \ $ t = 0 $$ :

$V_{AB}(0) = 30 \cdot 10^3 \cdot 1 = 30\,\text{V}$

La tensione sul condensatore:

$V_c(t) = V_{co} \cdot e^{-t/(R_2 + R_3)C}$

$V_c(20\,\text{ms}) = 50 \cdot e^{-0{,}02/0{,}05} \approx 33{,}5\,\text{V}$

—

Per $t > 20\,\text{ms}$ :

Il condensatore riprende a caricarsi con costante di tempo:

$T = \left( R_2 + \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} \right) C = (20 + 7{,}5)\,\text{k}\Omega \cdot 1\,\mu\text{F} = 27{,}5\,\text{ms}$

Con:

$E_q = E \cdot \frac{R_3}{R_1 + R_3} = 80 \cdot \frac{30}{40} = 60\,\text{V}$

$R_q = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} = \frac{10 \cdot 30}{10 + 30} = 7{,}5\,\text{k}\Omega$

La corrente di carica del condensatore ha espressione:

$i(t) = \frac{E_q - V_c}{R_q + R_2} \cdot e^{-(t - t_0)/T}$

$i(30\,\text{ms}) = \frac{60 - 33{,}5}{27{,}5 \cdot 10^3} \cdot e^{-(0{,}03 - 0{,}02)/0{,}0275} = \frac{26{,}5}{27{,}5 \cdot 10^3} \cdot e^{-0{,}01/0{,}0275}$