Esercizio n°2 -

Nel circuito indicato si ha:

$\begin{aligned} E &= 10\,\text{V} \\ V_0 &= 6\,\text{V} \\ R &= 10\,\text{k}\Omega \\ C &= 2\,\mu\text{F} \end{aligned}$

Gli eventi si succedono nel seguente ordine di tempo:
al tempo $t = 0$ si chiude il tasto T,
al tempo $t = 10\,\text{ms}$ si apre il tasto T.
Determina $v_C(t) \), \( v_R(t)$ e disegnane i diagrammi.

Soluzione

Il condensatore ha tensione iniziale $V_i = 6\,\text{V}$ e si deve caricare per $t \to \infty$ ad una tensione finale che sarebbe $V_f = 10\,\text{V}$ .
Dalla formula:

$v_C(t) = V_f - (V_f - V_i)\,e^{-t/\tau}$

$v_C(t) = 10 - 4\,e^{-t/\tau}$

Con

$\tau = R C = 10^4 \cdot 2 \cdot 10^{-6} = 20\,\text{ms}$

All’istante $t = 10\,\text{ms}$ si avrà:

$v_C(10) = 10 - 4 e^{-10/20} = 7{,}57\,\text{V}$

—

La tensione ai capi della resistenza:

$v_R(t) = (V_f - V_i)\,e^{-t/\tau} = 4\,e^{-t/\tau}$

Valori notevoli:

$\begin{cases} t = 0 &\Rightarrow t/\tau = 0 \Rightarrow v_R = 4e^0 = 4\,\text{V} \\ t = 10\,\text{ms} &\Rightarrow t/\tau = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \Rightarrow v_R = 4\,e^{-1/2} = 2{,}43\,\text{V} \end{cases}$

—

Dalla legge di Ohm:

$i(t) = \frac{v_R(t)}{R}$

Quindi:

$\begin{cases} t = 0 &\Rightarrow i(0) = \frac{4}{10^4} = 0{,}4\,\text{mA} \\ t = 10\,\text{ms} &\Rightarrow i(10) = \frac{2{,}43}{10^4} = 0{,}243\,\text{mA} \end{cases}$

—

Diagrammi:

vc(t): parte da 6 V e cresce esponenzialmente verso 10 V, raggiungendo 7,57 V a $t = 10\,\text{ms}$
vR(t): decresce esponenzialmente da 4 V a 2,43 V
i(t): decresce esponenzialmente da 0,4 mA a 0,243 mA

Esercizio n°2

Articoli correlati

Esercizio n°13

Esercizio n°12

Esercizio n°11