Esercizio 8 -

Nel circuito, il tasto T viene chiuso quando la corrente è già a regime. Trovare l’andamento della tensione ai capi dell’induttanza e il valore della corrente dopo 0,5 ms dalla chiusura del tasto.

$E = 42\, \text{V}$
$R_1 = 1\, \text{k}\Omega$
$R_2 = 0{,}4\, \text{k}\Omega$
$L = 0{,}28\, \text{H}$

soluzione

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Prima della chiusura del tasto:

La corrente nel circuito è determinata da:

$i_i = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{42}{1{,}4} = 30\, \text{mA}$

Dopo la chiusura di T:

La nuova corrente a regime sarà:
$i_f = \frac{E}{R_1} = \frac{42}{1} = 42\, \text{mA}$

L’andamento della corrente nell’induttanza è dato da:
$i_L(t) = i_f - (i_f - i_i) e^{-t/\tau} = 42 - (42 - 30)\cdot e^{-t/\tau}$

con:
$\tau = \frac{L}{R_1} = \frac{0{,}28}{1000} = 280\, \mu\text{s}$

Valore della corrente dopo $t = 0{,}5\,\text{ms} = 500\,\mu\text{s}$ :

$i_L(0{,}5\,\text{ms}) = 42 - (42 - 30) \cdot \exp\left(-\frac{500}{280} \right) \approx 40\, \text{mA}$

La corrente $i_L(t)$ ha quindi un andamento **esponenzialmente crescente** da 30 mA a 42 mA.

Tensione ai capi dell’induttanza:

$v_L = E - R_1 i = 42 - 1000 \cdot i_L(t) = 12 \cdot e^{-t/\tau}$

Quindi:
$v_L(t) = \begin{cases} 12\, \text{V} & \text{per } t = 0 \\ 0\, \text{V} & \text{per } t \rightarrow \infty \end{cases}$