Nel circuito illustrato, disegnare l’andamento della tensione di uscita \( V_{AB} \) a partire dall’istante \( t = 0 \) di chiusura del tasto T.
Calcola, inoltre, il valore della corrente circolante dopo un tempo \( t_x = 0{,}5\,\mu\text{s} \) dalla chiusura del tasto.
- \( E = 100\, \text{V} \)
- \( R_1 = 2\,\text{k}\Omega \)
- \( R_2 = 3\,\text{k}\Omega \)
- \( L = 1\,\text{mH} \)
soluzione
Alla chiusura del deviatore T, la costante di tempo che governa il circuito è:
\( \tau = \frac{L}{R_1 + R_2} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{2000 + 3000} = 0{,}2\, \mu\text{s} \)A regime l’induttanza si comporta come un corto circuito, mentre alla chiusura del tasto come un circuito aperto. Per cui nella fase di carica:
\( i_L(t) = i_f - (i_f - i_i) e^{-t/\tau} \)dove:
\( i_f = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{100}{2000 + 3000} = 20\,\text{mA} \),
\( i_i = 0 \)
L’espressione della tensione \( V_{AB} \) si ricava dalla legge di Kirchhoff:
\( V_{AB} = E - R_1 i_L \)Per \( t = 0 \) il circuito è aperto → \( i_L(0) = 0 \), quindi \( V_{AB}(0) = E = 100\,\text{V} \)
A regime \( t \rightarrow \infty \) → \( i_L \rightarrow 20\,\text{mA} \), per cui:
\( V_{AB}(\infty) = E - R_1 i_L = 100 - 2 \cdot 20 = 60\, \text{V} \)Tutte le variazioni hanno andamento esponenziale decrescente.
Andamento della tensione \( V_{AB}(t) \):
Andamento della corrente \( i_L(t) \):
