Nel circuito disegnato l’interruttore T viene chiuso all’istante \( t = 0 \). Dopo di che il generatore di corrente mantiene una corrente costante \( i \) ai suoi morsetti.
Esprimere la corrente che passa nell’induttanza in funzione del tempo.
In quale istante la corrente che passa attraverso la resistenza è uguale alla corrente che passa attraverso l’induttanza?
Dopo la chiusura del tasto T il generatore di corrente eroga una corrente \( i \) che si divide in due rami:
- \( i_1 \): corrente che passa nella resistenza \( R \)
- \( i_2 \): corrente che passa nell’induttanza \( L \)
Dal nodo abbiamo:
\( i = i_1 + i_2 \)Applichiamo la legge di Kirchhoff alla maglia con \( R \) e \( L \):
\( Ri_1 - L \frac{di_2}{dt} = 0 \)Siccome \( i \) è costante, possiamo scrivere anche:
\( \frac{di}{dt} = 0 = -\frac{di_1}{dt} - \frac{di_2}{dt} \Rightarrow \frac{di_1}{dt} = -\frac{di_2}{dt} \)Sostituendo nell’equazione di Kirchhoff:
\( Ri_1 + L \frac{di_1}{dt} = 0 \)Equazione differenziale a variabili separabili. Risolvendo:
\(\frac{di_1}{i_1} = -\frac{R}{L} dt \Rightarrow \ln i_1 = -\frac{R}{L}t + C \Rightarrow i_1(t) = i_0 e^{-Rt/L}
\)
Poiché all’istante \( t = 0 \) tutta la corrente passa per la resistenza (induttore aperto):
\( i_1(0) = i_0 = i \)Quindi:
\( i_1(t) = i e^{-Rt/L} \)e quindi:
\( i_2(t) = i - i_1 = i \left( 1 - e^{-Rt/L} \right) \)Quando le due correnti sono uguali:
\(i_1 = i_2 \Rightarrow i e^{-Rt/L} = i (1 - e^{-Rt/L})
\)
Risolvendo:
\(2e^{-Rt/L} = 1 \Rightarrow e^{-Rt/L} = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{Rt}{L} = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
\)
Risultato:
\( t = \frac{L}{R} \ln 2 \)