Mar. Dic 16th, 2025

Esercizio 12

Nel circuito disegnato l’interruttore T viene chiuso all’istante $t = 0$ . Dopo di che il generatore di corrente mantiene una corrente costante $i$ ai suoi morsetti.
Esprimere la corrente che passa nell’induttanza in funzione del tempo.
In quale istante la corrente che passa attraverso la resistenza è uguale alla corrente che passa attraverso l’induttanza?

soluzione

Dopo la chiusura del tasto T il generatore di corrente eroga una corrente $i$ che si divide in due rami:

$i_1$ : corrente che passa nella resistenza $R$
$i_2$ : corrente che passa nell’induttanza $L$

Dal nodo abbiamo:

$i = i_1 + i_2$

Applichiamo la legge di Kirchhoff alla maglia con $R$ e $L$ :

$Ri_1 - L \frac{di_2}{dt} = 0$

Siccome $i$ è costante, possiamo scrivere anche:

$\frac{di}{dt} = 0 = -\frac{di_1}{dt} - \frac{di_2}{dt} \Rightarrow \frac{di_1}{dt} = -\frac{di_2}{dt}$

Sostituendo nell’equazione di Kirchhoff:

$Ri_1 + L \frac{di_1}{dt} = 0$

Equazione differenziale a variabili separabili. Risolvendo:

$\frac{di_1}{i_1} = -\frac{R}{L} dt \Rightarrow \ln i_1 = -\frac{R}{L}t + C \Rightarrow i_1(t) = i_0 e^{-Rt/L}$

Poiché all’istante $t = 0$ tutta la corrente passa per la resistenza (induttore aperto):

$i_1(0) = i_0 = i$

Quindi:

$i_1(t) = i e^{-Rt/L}$

e quindi:

$i_2(t) = i - i_1 = i \left( 1 - e^{-Rt/L} \right)$

Quando le due correnti sono uguali:

$i_1 = i_2 \Rightarrow i e^{-Rt/L} = i (1 - e^{-Rt/L})$

Risolvendo:

$2e^{-Rt/L} = 1 \Rightarrow e^{-Rt/L} = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{Rt}{L} = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Risultato:

$t = \frac{L}{R} \ln 2$

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