Esercizio 5 -

Nel circuito riportato il tasto viene aperto all’istante $t = 0$ , quando la corrente ha già raggiunto il suo valore di regime.
Calcola il valore di $v_0$ per $t_1 = 3 \, \mu\text{s}$ .

Dati:
$E = 30 \, \text{V}, \quad R_1 = 3 \, \text{k}\Omega, \quad R_2 = 2 \, \text{k}\Omega, \quad L = 6 \, \text{mH}$

Soluzione

A regime, prima dell’apertura del tasto T, l’induttanza $L$ si comporta come un corto circuito attraversato dalla corrente:

$i = \frac{E}{R_1} = \frac{30}{3 \cdot 10^3} = 10 \, \text{mA}$ , con $v_0 = 0$ .

All’apertura di T, il transitorio sull’induttore è regolato dalla legge:

$i_L(t) = i_f - (i_f - i_i) \, e^{-t R / L}$

Poiché $i_f = 0$ e $i_i = \frac{E}{R_1}$ , allora:

$i_L(t) = \frac{E}{R_1} \cdot e^{-t / \tau}$

La costante di tempo è:
$\tau = \frac{L}{R_2} = \frac{6 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^3} = 3 \, \mu\text{s}$

La tensione ai capi di $R_2$ (cioè $v_0(t)$ ) è:

$v_0(t) = -R_2 \cdot i_L(t) = - \frac{E R_2}{R_1} \cdot e^{-t/\tau}$

Per $t = 3 \, \mu\text{s}$ , cioè $t = \tau$ , otteniamo:

$v_0(t_1) = - \frac{E R_2}{R_1} \cdot e^{-1} = - \frac{30 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{e} = - \frac{60}{e} \approx -7{,}35 \, \text{V}$

$\boxed{ v_0(3 \, \mu\text{s}) \approx -7{,}35 \, \text{V} }$

Esercizio 5

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