Esercizio n. 10

Nel circuito dato, calcolare la tensione di uscita \(V_o\) e la corrente che scorre nel condensatore.

  • E = 20\sin(10^{6}t)\ \text{V}
  • R_1 = 8\,\text{k}\Omega,\quad R_2 = 40\,\text{k}\Omega,\quad R_3 = 25\,\text{k}\Omega,\quad C = 100\,\text{pF}.

Soluzione

Una possibilità consiste nel semplificare, col teorema di Thevenin, la parte di rete a monte del condensatore.

Il generatore equivalente che stiamo considerando è un partitore di tensione:

\displaystyle E_{EQ}=\overline{V_A}=\frac{(R_2\parallel R_3)}{R_1+(R_2\parallel R_3)}\cdot E.

Dato che:

\displaystyle R_2\parallel R_3=\frac{40\cdot 25}{65}=15{,}38\ \text{k}\Omega,

segue:

\displaystyle E_{EQ}=20\cdot\frac{15{,}38}{8+15{,}38}=13{,}15\ \text{V}.

La resistenza di Thevenin vale:

\displaystyle R_{EQ}=(R_1\parallel R_2\parallel R_3)=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}} =\frac{1}{\frac{1}{8}+\frac{1}{40}+\frac{1}{25}}=5{,}26\ \text{k}\Omega.

La reattanza capacitiva:

\displaystyle \overline{X_C}=-\,\frac{j}{\omega C}=-\,j\,\frac{1}{10^{6}\cdot 100\cdot 10^{-12}} =-\,j\,10\ \text{k}\Omega.

La corrente nel condensatore:

\displaystyle \overline{I_C}=\frac{E_{EQ}}{R_{EQ}+\overline{X_C}} =\frac{13{,}15}{5{,}26-j\,10} =\frac{13{,}15}{11{,}3\,e^{-j62^\circ}} =1{,}16\,e^{j62^\circ}\ \text{mA}.

La tensione d’uscita:

\displaystyle \overline{V_o}=\overline{X_C}\,\overline{I_C} =\big(10\,e^{-j90^\circ}\big)\,\big(1{,}16\,e^{j62^\circ}\big) =11{,}6\,e^{-j28^\circ}\ \text{V}.

La situazione dei vettori sul piano di Gauss è :

In conclusione:
i_c=1{,}16,e^{j62^\circ}\ \text{mA},\qquad v_o=11{,}6,e^{-j28^\circ}\ \text{V}

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