Esercizio n. 21

DiAlfredo Di Fiore
Nel circuito di figura, calcola la corrente che scorre in ciascun ramo.

  • \(E = 12\ \text{V}\)
  • \(f = 15\ \text{kHz}\)
  • \(C_1 = 0{,}1\ \mu\text{F},\quad C_2 = 0{,}05\ \mu\text{F},\quad C_3 = 0{,}22\ \mu\text{F}\)
  • \(R_1 = 330\ \Omega,\quad R_2 = 180\ \Omega\)

Soluzione

Riduzione del circuito:

\(C_p=C_2+C_3=0{,}27\ \mu\text{F},\qquad R_s=R_1+R_2=510\ \Omega.\)

Reattanza capacitiva equivalente:

\(
X_p=\frac{1}{\omega C_p}=\frac{1}{2\pi f C_p}
=\frac{10^{3}}{2\pi\cdot15\cdot0{,}27}=39{,}3\ \Omega,
\qquad \overline{X_p}=-j\,39{,}3\ \Omega.
\)

Parallelo tra \(R_s\) e \(\overline{X_p}\):

\(
Z=R_s\parallel \overline{X_p}
=\frac{\overline{X_p}\,R_s}{R_s+\overline{X_p}}
=\frac{-j\,510\cdot39{,}3}{510-j\,39{,}3}
=\frac{20043\,e^{-j90^\circ}}{511{,}5\,e^{-j4{,}4^\circ}}
=39{,}2\,e^{-j85{,}6^\circ}\ \Omega
=(3-j\,39)\ \Omega.
\)

Reattanza per \(C_1\):

\(
\overline{X_1}=-\,j\,\frac{1}{2\pi f C_1}
=-\,j\,\frac{1}{2\pi\cdot15\cdot10^{3}\cdot10^{-7}}
=-\,j\,106\ \Omega.
\)

Corrente di alimentazione:

\(
i=\frac{E}{Z+\overline{X_1}}
=\frac{12}{\,3-j\,39{,}2-j\,106\,}
\simeq \frac{12}{j\,145{,}2}
= j\,0{,}827\ \text{A}
= j\,82{,}7\ \text{mA}.
\)

 

Tensione ai capi del parallelo \(\((C_{2}\parallel C_{3})\text{ – }R_{s}\)\):
\(
v_2=i\,Z=39{,}2\,e^{-j85{,}6^\circ}\cdot 0{,}0827\,e^{j90^\circ}
=3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}\ \text{V}.
\)
Reattanze dei due condensatori:
\(
X_2=-\,j\,\frac{1}{2\pi f C_2}
=-\,j\,\frac{1}{2\pi\cdot15\cdot10^{3}\cdot0{,}05\cdot10^{-6}}
=-\,j\,212{,}2\ \Omega,
\qquad
X_3=-\,j\,\frac{1}{2\pi f C_3}
=-\,j\,\frac{1}{2\pi\cdot15\cdot10^{3}\cdot0{,}22\cdot10^{-6}}
=-\,j\,48{,}2\ \Omega.
\)
Correnti nei tre rami in parallelo (Ohm):\(
i_2=\frac{v_2}{X_2}=\frac{3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}}{212{,}2\,e^{-j90^\circ}}
=0{,}0153\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{A}
=15{,}3\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{mA},
\)
\(
i_3=\frac{v_2}{X_3}=\frac{3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}}{48{,}2\,e^{-j90^\circ}}
=0{,}0673\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{A}
=67{,}3\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{mA},
\)
\(
i_R=\frac{v_2}{R_s}=\frac{3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}}{510}
=0{,}00637\,e^{j4{,}4^\circ}\ \text{A}
=6{,}37\,e^{j4{,}4^\circ}\ \text{mA}.
\)

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