Esercizio n. 21

Nel circuito di figura, calcola la corrente che scorre in ciascun ramo.

  • E = 12\ \text{V}
  • f = 15\ \text{kHz}
  • C_1 = 0{,}1\ \mu\text{F},\quad C_2 = 0{,}05\ \mu\text{F},\quad C_3 = 0{,}22\ \mu\text{F}
  • R_1 = 330\ \Omega,\quad R_2 = 180\ \Omega

Soluzione

Riduzione del circuito:

C_p=C_2+C_3=0{,}27\ \mu\text{F},\qquad R_s=R_1+R_2=510\ \Omega.

Reattanza capacitiva equivalente:

X_p=\frac{1}{\omega C_p}=\frac{1}{2\pi f C_p} =\frac{10^{3}}{2\pi\cdot15\cdot0{,}27}=39{,}3\ \Omega, \qquad \overline{X_p}=-j\,39{,}3\ \Omega.

Parallelo tra R_s e \overline{X_p}:

Z=R_s\parallel \overline{X_p} =\frac{\overline{X_p}\,R_s}{R_s+\overline{X_p}} =\frac{-j\,510\cdot39{,}3}{510-j\,39{,}3} =\frac{20043\,e^{-j90^\circ}}{511{,}5\,e^{-j4{,}4^\circ}} =39{,}2\,e^{-j85{,}6^\circ}\ \Omega =(3-j\,39)\ \Omega.

Reattanza per C_1:

\overline{X_1}=-\,j\,\frac{1}{2\pi f C_1} =-\,j\,\frac{1}{2\pi\cdot15\cdot10^{3}\cdot10^{-7}} =-\,j\,106\ \Omega.

Corrente di alimentazione:

i=\frac{E}{Z+\overline{X_1}} =\frac{12}{\,3-j\,39{,}2-j\,106\,} \simeq \frac{12}{j\,145{,}2} = j\,0{,}827\ \text{A} = j\,82{,}7\ \text{mA}.

 

Tensione ai capi del parallelo \((C_{2}\parallel C_{3})\text{ - }R_{s}\):
v_2=i\,Z=39{,}2\,e^{-j85{,}6^\circ}\cdot 0{,}0827\,e^{j90^\circ} =3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}\ \text{V}.
Reattanze dei due condensatori:
X_2=-\,j\,\frac{1}{2\pi f C_2} =-\,j\,\frac{1}{2\pi\cdot15\cdot10^{3}\cdot0{,}05\cdot10^{-6}} =-\,j\,212{,}2\ \Omega, \qquad X_3=-\,j\,\frac{1}{2\pi f C_3} =-\,j\,\frac{1}{2\pi\cdot15\cdot10^{3}\cdot0{,}22\cdot10^{-6}} =-\,j\,48{,}2\ \Omega.
Correnti nei tre rami in parallelo (Ohm): i_2=\frac{v_2}{X_2}=\frac{3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}}{212{,}2\,e^{-j90^\circ}} =0{,}0153\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{A} =15{,}3\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{mA},
i_3=\frac{v_2}{X_3}=\frac{3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}}{48{,}2\,e^{-j90^\circ}} =0{,}0673\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{A} =67{,}3\,e^{j94{,}4^\circ}\ \text{mA},
i_R=\frac{v_2}{R_s}=\frac{3{,}25\,e^{j4{,}4^\circ}}{510} =0{,}00637\,e^{j4{,}4^\circ}\ \text{A} =6{,}37\,e^{j4{,}4^\circ}\ \text{mA}.

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