Esercizio n. 9

Un circuito è costituito da una resistenza R = 3 kΩ in serie con un condensatore da C = 100 pF; in esso scorre una corrente di valore efficace i = 5 mA e pulsazione ω = 2,5 Mrad/s.Trovare la caduta di tensione ai capi della resistenza e quella ai capi della serie, disegnando i diagrammi vettoriali e temporali.

Soluzione

Nel circuito R = 3 kΩ e C = 100 pF, i = 5 mA e ω = 2,5 Mrad/s.

Osservando il disegno avremo per la legge di Ohm:

\overline{V_R} = R\,\overline{I} \qquad \text{e} \qquad \overline{V_C} = \overline{X_C}\,\overline{I}.

Si dovrà poi applicare la legge di Kirchoff:

\overline{V} = \overline{V_R} + \overline{V_C}.

\overline{V_R} = iR = 5\cdot10^{-3}\cdot 3\cdot10^{3} = 15\ \text{V}

\overline{V_C} = \overline{X_C}\,\overline{I} = -j\,\frac{1}{\omega C}\,i = -j\,\frac{1}{2{,}5\cdot10^{6}\cdot100\cdot10^{-12}}\cdot 5\cdot10^{-3} = -j\,20\ \text{V}

$\overline{V} = \overline{V_R} + \overline{V_C} = (15 - j\,20)\,\text{V};\ |\overline{V}| = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\,\text{V};\ \angle\overline{V} = \tan^{-1}\left(\frac{-20}{15}\right) = -53^\circ$

Questi sono, tuttavia, i valori efficaci delle grandezze; per la forma trigonometrica valgono i valori massimi:

v = V_M \sin(\omega t + \phi) = \sqrt{2}\,|\overline{V}|\,\sin(\omega t + \phi) = 25\sqrt{2}\,\sin(2{,}5\cdot10^{6}\,t - 53^\circ) = 35{,}3\,\sin(2{,}5\cdot10^{6}\,t - 53^\circ)\ \text{V}.

mentre \(\overline{V_R}\) risulta in fase con la corrente \(\overline{i}\) di cui assumiamo la fase \(\phi = 0\).

v_R = \sqrt{2}\,|\overline{V_R}|\,\sin(\omega t) = 15\sqrt{2}\,\sin(2{,}5\cdot10^{6}\,t) = 21{,}2\,\sin(2{,}5\cdot10^{6}\,t)\ \text{V}.

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