Esercizio n. 8

La reattanza offerta da un condensatore C quando è applicata la tensione v = \sin(10^{4} t)\ \text{V} è di 50 Ω: si calcoli il valore della capacità e la corrente che scorre in essa.

Soluzione

Con v = \sin(10^{4} t)\ \text{V} si ha X_C = 50\,\Omega; è richiesta C ed i.

La pulsazione è nota come \omega = 10^{4}\ \text{rad/s}; \qquad \text{dato che}\quad X_C=\frac{1}{\omega C}\ \ \text{otteniamo:}

C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{10^{4}\cdot 50} = 2\cdot 10^{-6}\ \text{F} = 2\,\mu\text{F}.

Dal punto di vista vettoriale una reattanza capacitiva come \overline{X_C} = -j\,50\ \Omega è un vettore collocato sull’asse immaginario del piano di Gauss, con verso negativo; mentre la tensione V vale 1 V e ha fase 0°; quindi è collocata sull’asse reale con verso positivo.

In forma polare:

\overline{X_C} = 50\,e^{-j90^\circ}, \qquad \overline{V} = 1\ \text{V}.

Applicando la legge di Ohm:

\overline{I} = \frac{\overline{V}}{\overline{X_C}} = \frac{1}{50\,e^{-j90^\circ}} = \frac{e^{j90^\circ}}{50} = 0{,}02\,e^{j90^\circ}\ \text{A} = 20\,e^{j90^\circ}\ \text{mA}.

In conclusione:
C=2\ \mu\text{F}

i(t)=20\ \sin\left(\omega t+90^\circ\right)\ \text{A}

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