Esercizio n°39

DiAlfredo Di Fiore

Nel centro di un cerchio di raggio r = 1\,\text{m} è posta la carica positiva q = 4\,\text{nC} .
Che lavoro minimo deve fare una forza esterna per portare quattro cariche uguali -q sulla circonferenza a uguale distanza una dall’altra con energia cinetica nulla?

Soluzione

Il lavoro minimo coincide con l’energia potenziale totale del sistema:

Le interazioni negative (attrattive) sono:

U_{12}(r) + U_{13}(r) + U_{14}(r) + U_{15}(r)

Le interazioni positive (repulsive) sono:

U_{23}(\sqrt{2}r) + U_{24}(2r) + U_{25}(\sqrt{2}r)

U_{34}(\sqrt{2}r) + U_{35}(2r) + U_{45}(\sqrt{2}r)

Le energie si calcolano con:

U = k_e \frac{q_1 q_2}{r}

Parte attrattiva (cariche opposte):

U_{12} + U_{13} + U_{14} + U_{15} = 4 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(4 \cdot 10^{-9})^2}{1} = -5{,}76 \cdot 10^{-7} \, \text{J}

Parte repulsiva tra cariche -q (distanze diverse):

  • 4 termini con \sqrt{2}r :

4 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(4 \cdot 10^{-9})^2}{1{,}41} = 4 \cdot 10^{-7} \, \text{J}

  • 2 termini con 2r :

2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(4 \cdot 10^{-9})^2}{2} = 1{,}44 \cdot 10^{-7} \, \text{J}

Energia potenziale totale del sistema:

U_\text{tot} = (-5{,}76 + 4 + 1{,}44) \cdot 10^{-7} = -2{,}47 \cdot 10^{-8} \, \text{J}

Risultato:
Il lavoro minimo richiesto è:
L = 2{,}47 \cdot 10^{-8} \, \text{J}

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