Esercizio n°34 -

Nel disegno, una pallina di massa $m = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{kg}$ e carica $q = 3{,}72 \cdot 10^{-7} \, \text{C}$ , è in equilibrio su un piano inclinato di $\theta = 25^\circ$ .
La pallina è attaccata a una molla di costante elastica $k = 1{,}57 \, \text{N/m}$ ed è immersa in un campo elettrico uniforme orizzontale di intensità $E = 7{,}25 \cdot 10^4 \, \text{N/C}$ .
Il coefficiente di attrito statico tra pallina e piano è $\mu = 0{,}4$ .

Determinare la deformazione della molla e la reazione vincolare del piano.

Esercizio 34: soluzione

La forza peso della molla è:
$p = mg = 2 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 = 1{,}96 \cdot 10^{-2} = 0{,}0196 \, \text{N}$

Si scompone in componenti normale e tangenziale:
$\begin{cases} p_n = p \cos \theta = 1{,}96 \cdot 10^{-2} \cos 25^\circ = 1{,}78 \cdot 10^{-3} \, \text{N} \\ p_t = p \sin \theta = 1{,}96 \cdot 10^{-2} \sin 25^\circ = 8{,}29 \cdot 10^{-3} \, \text{N} \end{cases}$

Analogamente per la forza elettrica $F = qE$ :
$\begin{cases} qE_n = qE \sin \theta = 3{,}72 \cdot 10^{-7} \cdot 7{,}25 \cdot 10^4 \cdot \sin 25^\circ = 1{,}14 \cdot 10^{-10} \, \text{N} \\ qE_t = qE \cos \theta = 3{,}72 \cdot 10^{-7} \cdot 7{,}25 \cdot 10^4 \cdot \cos 25^\circ = 2{,}44 \cdot 10^{-10} \, \text{N} \end{cases}$

Per l’equilibrio delle forze tangenziali:
$kx + R = p_t + qE_t$

dove $x$ è la deformazione incognita della molla, e $R$ è la forza di attrito statico:
$R = \mu (p_n - qE_n) = 0{,}4 \cdot (1{,}78 \cdot 10^{-3} - 1{,}14 \cdot 10^{-10}) = 7{,}11 \cdot 10^{-4} \, \text{N}$

Nota: $p_n - qE_n \approx 1{,}78 \cdot 10^{-3} \, \text{N}$

La reazione vincolare del piano è proprio questa differenza.

Infine, l’allungamento della molla si calcola come:
$x = \frac{p_t + qE_t - R}{k} = \frac{8{,}29 \cdot 10^{-3} + 2{,}44 \cdot 10^{-10} - 7{,}11 \cdot 10^{-3}}{1{,}57} = 7{,}5 \cdot 10^{-4} \, \text{m}$

Esercizio n°34

Esercizio 34: soluzione

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