Esercizio n°52 -

Trova il potenziale elettrico ed il campo elettrico in un punto situato sull’asse di un disco che contiene una carica σ per unità di area (conviene dividere il disco in anelli di spessore infinitesimo per poi sommare i loro contributi).

soluzione

Seguendo il suggerimento dato nel testo ed osservando il disegno:

$dq = \sigma \, dA = \sigma (2 \pi y) \, dy$

Calcoliamo il potenziale in P

$dV = k_0 \frac{dq}{(r')^2} \Rightarrow dV = k_0 \frac{\sigma \, 2 \pi y}{\sqrt{r^2 + y^2}} \, dy$

Integrando:

$V = \frac{2 \pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^a \frac{y \, dy}{\sqrt{r^2 + y^2}} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left[ \sqrt{r^2 + a^2} - r \right]$

Il campo elettrico lungo l’asse sarà la derivata del potenziale:

$E = - \frac{dV}{dr} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \frac{r}{\sqrt{r^2 + a^2}} \right)$

Esercizio n°52

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